2023届福建省龙海高三压轴卷数学试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1 .答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已 知-是 球。的球面上两点名品翔,=掰吗。为 该 球 面 上 的 动 点.若 三 棱 锥 体 积 的 最 大 值 为 3 6,则球。的表面积为()A.36K B.6 4 n C.1 4 4 兀 D.256Kjr 3 IT2.已知函数/(X)=ACOS(5：+。)(A o,C O0,(P O,O 0 sin40 log3 4C.cos（20）sin 65 lgllB.向右平移看 个单位D.向左平移3个单位6B.tan226 In0.4 sin 80 log5 226.若AA5c的内角A满足sin2A=-,则sin A cos A的 值 为()A屈 R V15 n 5A.-B.-C-D.-3 3 3 37.设“，b，c是非零向量若。刁=1人c=5 (a+/?)c,贝u ()A.+c)=0 B.a h -c)=0 C.(6f+/?)(?=0 D.(d-h)-c=0y+18.若点C v,”泡于由曲线=8-2|+/与=3围成的封闭区域内(包括边界)，则 的取值范 围 是()x-2A.-3,1 B.-3,5 C.(-0 0,-3 U5,+o o)D.(-0 0,-3 Ul,+0 0)9.已知函 数/(x)=3sin x+o),(3 0,0 2),则“1 9=()A.2 B.5 C.7 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，且周期为2,当()时，/(x)=x +1,则 的 值 为%1 0,1 4 .已知x,y满足约束条件 x+2 y -4 0,则z =3 x +4 y的最小值为.2 x-y-6 0)的焦点，点4在。上，A到,轴的距离比I人用小1.(1)求C的方程；(2)设直线A尸与C交于另一点8,M为A3的中点，点。在x轴上，|/讯|=|。例.若|。知|=后，求直线A尸的斜率.f v211 8 .(1 2分)已知椭圆C：+人=1伍 。0)的焦点为冗，F-离心率为不，点P为椭圆C上一动点，且尸耳入a b-2的面积最大值为6,。为坐标原点.求椭圆C的方程；设点M(%，x),N(%,%)为椭圆C 上的两个动点，当玉龙2 +乂%为多少时，点 0 到直线M N 的距离为定值.1 9 .(1 2分)已知函数/,。)=2丁+加/+，*+1.(1)讨论A x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间。,+0。)上的最小值为-3,求，的值.2 0 .(1 2 分)如 图，在四棱锥 中，R 1 _ L平面 4 5 c),ZABC=ZBAD=90,A D=A P=4,A B=B C=2,M 为P C 的中点.p(1)求异面直线A P,5M所成角的余弦值；-4(2)点N在 线 段 上，且A N=2,若直线MN与平面P 3 C所成角的正弦值为不，求2的值.2 1.(1 2分)已 知 q ,也 ,匕 都是各项不为零的数列，且满足。也+2 4+。也=。,6*,其中5,是数列 4的前项和，g 是公差为d(d。0)的等差数列.(D若数列%是常数列，d=2,。2=3,求数列 4的通项公式；(2)若4(X是不为零的常数)，求证：数列%是等差数列；(3)若%=5=d =k(%为常数，kwN*),2=c,(N 2,e N*).求证：对任意之2,e N*,%媪 的 恒an at t+成立.2 2.(1 0分)已知数列2满足4=2,a,=2 a“+2(e N),其前项和为S”.(1)通 过 计 算*,学，去，猜想并证明数列 勺 的通项公式；设 数 列 也 满足仇=1,么+|=与么(6)，=若数列 c,是单调递减数列，+2、I求常数f的取值范围.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面A OB的直径端点时，三棱锥O-A BC的体积最大，设球。的半径为R,此时%-ABC=%.AOB=!X!R 2XR=，R3=36,故R =6 则球。的表面积为S =4%穴2 =1 4 4,故选 c.3 2 6考点：外接球表面积和椎体的体积.2.B【解析】先根据图象求出函数g(x)的解析式，再由平移知识得到/(x)的解析式,然后分别找出任+4直(2 1 2 J 3/。)=：和8的等价条件，即可根据充分条件，必要条件的定义求出.【详解】设g(x)=As in(x+),根据图象可知,Y 3 e 71A=-T =4 67乃77=T=冗=s =2,3 7 1将函数g。)的图象向右平移了个单位长度，得到函数/的图象,cosI 4 f2;v_lJ L I 4 J 3 J I 3)“=*4 2 恭(三 登 卜 小 高 邛,令。=x-工，则 s in 6 =c os 2 6 =1 -2 s in?6 =!,显然,c os 2。=N s in 6 =6 3 3 3/（幻=（是8的必要不充分条件.故 选:B.【点 睛】本题主要考查利用图象求正（余）弦型函数的解析式，三角函数的图形变换，二倍角公式的应用，充分条件,必要条件的定义的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.3.C【解 析】分 别 求 解 出M,N集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【详 解】因 为 集 合 =|%2 1,N =x e N|-2 4 x W 2 =0,I,2,所以 M N =1,2 故选：C【点 睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.4.C【解 析】根据正弦型函数的图象得到j/(x)=s in(2 x +y,结合图像变换知识得到答案.【详 解】,T In 7 1由图象知：-=-21 2 1 2=/=，co=2.2T T又x =77时函数值最大，1 2所 以2x耒+=3 +2女7r=0=2+2攵7.又夕（0,4），.(p、y,从而/(x)=s in(2 x +yj,g(x)=c os 2 x =s in 1 2 x+17T1 232.J 71 7Cs in 2 x-b H73只 需 将“X）的 图 象 向 左 平 移 展 个 单 位 即 可 得 到g（x）的图象,故 选c.【点 睛】已 知 函 数y=Asin(a)x+)+3(A 0,。0)的图象求解析式(1)|A|=海-，皿,B =+y她.由函数的周期T求 包T=2三.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求。，一般用最高点或最低点求.5.D【解 析】根 据sin4()1 log,4,In 0.4 0 sin 65,利用排除法，即可求解.【详 解】由 sin 40 1 log3 4,In 0.4 0 sin 65,可 排 除A、B、C选 项，又由 tan410=tan50 1 sin80 -=log5 log5 2,所以 tan 410 sin80 log5 2.故 选D.【点 睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.A【解 析】由sin 2A=2sinAcosA=g,得 到sinAcosA=；0,得 出A e l,%),再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详 解】21由题意，角 A满 足sin2A=2sinAcosA=，则sinAcosA=8sA,因 为(sin A-cos A)-=1 -2sin Acos A=l-(-)=,所以 sin A-cos A=m 5.3故选：A.【点 睛】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.7.D【解析】试题分析：由题意得：若 a-c=b-c，贝!|（。一 ）1 =0;若 a-c =b-c，则 由。q=怜，。=g （a+/?c 可知,a-c=b-c=Q 故（&-/?）?=0 也成立，故选 D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解（较难）；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.8.D【解析】V+J画出曲线x=8-21+/与.V =5围成的封闭区域，-表 示 封 闭 区 域 内 的 点 和 定 点（2,-连线的斜率，然后结合图形x-2求解可得所求范围.【详解】画出曲线 =|y-21+/与.、=3围成的封闭区域，如图阴影部分所示.设/：=匕 L结合图形可得A25或/：1,x-2由题意得点A,B的坐标分别为4（3。不,24.1 2-（-1）3,1-2 kN/或k y 4-J 取 值 范 围 为(-8,3+00).X2故 选D.【点睛】V 4-J解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把 看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲x-2线所围成的封闭区 域.考 查 转 化 能 力 和 属 性 结 合 的能力，属于基础题.9.C【解 析】根 据/（X）的零点和最值点列方程组，求 得 。的 表 达 式（用k表 示），根 据/（X,）在兀 711 595上有且只有一个最大值,求得切的 取 值 范 围，求得对应攵的取值范围，由攵为整数对攵的取值进行验证，由此求得。的最大值.【详 解】由题意知兀 ,-G)(p 勺兀，贝 卜71,兀 co+(p=k2Ti+,3(2 女+1)co=-(2匕)兀 其 中 一3i+k、.方T-上有且只有一个最大值，所 以 四 E=242T,得0。4 3 0,即3（2攵+1）3 0,所以5 1 5 1 5 4左1 9.5,又ZGZ,因此攵1 9.117 Q当上=1 9时，c o-,此时取 二 可 使，4 4兀 ,-C D +(P=%九,3 成 立，当x e7 1 ,71CD(p /兀+5?兀 兀1 59?时,x+,e（2.7兀,6.6兀），所 以 当（七+?=4.5兀或6.5兀时，/（玉）=3都成立，舍去;当左=1 8时，=山，此 时 取9 可 使 4 4兀 f-C D +(p=K|7 l,3 成 立，当x e兀 ,7 1-0)-(p=&兀+,7 1 1155时，4 x +7 (2.1兀,5.8兀),所以当:占+（=2.5兀或4.5兀时，/（%）=3都成立，舍去;当攵=1 7时，。=些，此时取=型 可 使 4 47 1 7-C D （p=K|7 l,3 成 立，当兀 .n co-（p=K2TI+,兀 7 11 595,1 0 5 3兀 /.、时，-x H （2.5兀,6兀）9所 以 当 了“丁 4.5兀时，少3成立;综 上 所 得。的 最 大 值 为 器故选:C【点 睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.10.D【解 析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详 解】解：事 件A发 生，需 满 足xWy,即 事 件A应 位 于 五 边 形B C D内P（A）=1-X x2178故选：D【点 睛】考查几何概型，是基础题.11.B【解 析】由共甄复数的定义得到W，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详 解】27r 27r由题意得彳=-sin-zcos ,3 3H O,.2万 也 八 2 7 r l e因 为 一sin =-cos =0 3 2 3 2所 以2在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B【点 睛】本题考查了共挽复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.12.B【解 析】求 出 白，b2,瓦,b4,b5,b6,判 断 出 g,是 一 个 以 周 期 为6的周期数列，求出即可.【详 解】2*解：a“=-xlO,h=a,b=an-1 Oiz,1(n e N,n 2),20jr200n 4-2-瓦,1-28 t瓦=28 10 x 2=8,同理可得：q=285,4=5；%=2857,/?4=7；%=28571,Z=l.ci=2S5714,b()=4；%=2857142,4=2,b,=b-故 也 是 一 个 以 周 期 为6的周期数列，则”2019 6x336+3 4 5.故选：B.【点 睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分。13.0【解 析】由题意可得：/(x)=x+,0 x 130,x=0a.八x,一lx 03,周 期 为2,可得=可 求 出a=0,最 后 再 求/(。)的值即可.【详解】解：函数“X)是定义在R上的奇函数,x+,0 x 130,x=0 x 1 x 0,一 是 计 算 番%+必 必，二是计算原点到直线MN的距离，两者比较可得结论.【详 解】(1)因为尸在椭圆上，当P是短轴端点时，P到X轴距离最大，此时公尸耳鸟面积最大，所 以g x 2cXb=bc=6,由Vhc=y/3C 1a 2a2=b2+c2a=2,解 得 卜=百，c-1v2 V2所 以 椭 圆 方 程 为 上+匕=1.4 3m(2)在 玉 声x,时，设 直 线 方 程 为、=依+加，原点到此直线的距离为1=刀 上,即2=V l+F l+k2y=kx+m由*J1 4 3,得(3+4攵2)工2+8 k n x +4/2-1 2=0,A =M k2m2-4(3+42)(4/n2-1 2)0,m2 32=0时，点。到直线MN的距离为定值2叵.7【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力.解题方法是“设而不求”法.在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式.19.(1)见解析(2)m =-3【解析】(1)先求导，再 对m分类讨论，求出/)的单调性；(2)对m分三种情况讨论求函数/(x)在区间 0,+8)上的最小值即得解.【详解】(1)/(%)=6丁+2mx=2x(3x+m)若/“0；当 x e时./(X)0,当xe 1-00,-1 =(0,+00)时，fx)0；当尢卜辛0)吐 八 x)0,所以/(%)在 -8,-T),(0,+8)上单调递增，在(一，上单调递减(2)由(1)可知，当加2 0 时，X)在 0,+8)上单调递增，则/G)m i n=/(0)=m+l=-3.则加=4 不合题意当“0 时，/(X)在 0,一 上单调递减，在 一 1,+8上单调递增.则/，(/X)、m i n =/r(-in s|=_2/+-m3+/?2+,1 =-3 即机二3+根+4=0 J J 2/y 273又因为g。)=既+加+4 单调递增，且 g(-3)=0,故加=3综上，m=3【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.(1).(2)13【解析】(1)先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量3 M和向量AP的坐标，再利用线线角的向量方法求解.(2,由AN=2,设 N(0,入 0)(0 z 4),则 MN=(1，21，-2),再求得平面尸5 c 的一个法向量，利用直线MN4IM N -m I I 2 2 1 4与平面P B C所成角的正弦值为一，由|cos MN，加 尸J-1=k=八，区=-求解.5 MNm j 5+(/l-l)2 4 5 5【详解】(1)因为乃1 _ 1 _ 平面 A B C。，且 A B,A O u 平面 A B C。，所以 P 4J _ A 8,PA L A D.又因为N B A D=9 0。，所 以 必，A B,AO两两互相垂直.分别以A 3,A D,A 尸为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则由 A O=2 4 8=2 8 C=4,4=4 可得4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),尸(0,(),4).又因为M 为 PC的中点，所以M(l,1,2).所以 8 M=(1，1，2),A P=(。，0，4),所以 co s A,P B M)AP BMA PB M0 x(-l)+0 x l +4 x 2 _ 84 x 7 6 3所以异面直线A P,所成角的余弦值为逅.(2)因为 AN=2,所以 N(0,九 0)(0 2 3即可.k k J an an+l【详解】（1）解：d=2,c=3,c=2 n-l.a,是各项不为零的常数列，则S,尸4，则由 cnS=a f y+a2b2+.+anbn,及 q,=2 T,得“（2 T）=4 +b2+.+bn,当之 2 时,（T）（2-3）=4 +b2+.-+bn_i,两式作差，可得=4-3.当=1时也=1满足上式，则a=4-3；（2）证明：q 4+a2ba+.+anh=cnSn,当 N 2 时,3+a2b2+.+。-1%=%5“一1,两式相减得：S,c“-S“_T=4九，即（S”-i S-T（C -c T）+a“c c inbn.即 S _/+A ncf=A n bfl.2 -d+Anc=Anh,2_ _ n 1 t,即 万d+g=%fj 2二 当3 时,一 -+c,i =b,i，两式相减得：d 2 T=gd(N 3).数列 仇 从第二项起是公差为|d 的等差数列.又当=1时，由SR=4 4，得q=4,2-1当/?2时，由仇21 3 3d c 2 =d+q+d Z?|+6?，得b?-b、=d,故数列也 是公差为|d 的等差数列；(3)证明：由，当N2时,S -i (c 一 c7)+a,一即 S八7dan(勿-q j,bn=c“+k，,也=g+kd,即b“-c=kd,S“_d=a,jkd,即 Sn.=kan.S =S,r+%=gl)Q ,k+J当 N 3 时,S“_=(k+l)a,”i=ka“,即 an=a _,.k故从第二项起数列 ,是等比数列，当 2 2 时,an=a2k+lY2 T :=cn+iccn+kd=C+(-1)4+攵-=k+(“一 1)攵+4-=左(+左).另外，由已知条件可得(q +4)，2=也+a2b2,又 c1=Q,k,Z?|k,b,=z Z f (2+Z r),2=1,因而、k)令 4,%mdn+X%。_=(+k +1伙 _1=_ 口立恒成立.a%【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用，需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等，需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项，再利用作商法证明.属于难题.22.(1)a“=(+l 2 T,证明见解析；(2)Q,+o o j【解析】(1)首先利用赋值法求出去墨枭的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数f的范围.【详解】(1)数列/满足q=2,a,用=2q,+2(eN*),其前项和为S”.所以&=2。+2=6 ,a3=2a2+22=16,则 胃=2,a=3,冬=4,2 2 22所以猜想得：%=(+1).2，证明：由于a“M=2 a“+2”,所以=%+工,2,+|2 2则：貂一(常数)，所以数列 换 是首项为1，公差为;的等差数列.所 以 祟=l +g(-l)=：+,整理得%=(+1).2。(2)数列的J满足=1,b+=一42(e N*),n+2所以，n +2b b.人K*h2 _ n-n-2 2 1-.一b、n+1 n 4 3,2所以将布则，2 (+I),7 9 4?所以 CM-C”=2 向(一 )2(7 f)=2(7 2,-+/),n+2 n+1 +2 n+A o4 2 2n 2所以.t-0,整理得 7/4-2 +1 n2+3/1+2 2,+2 7 2+1 +二+3n2 2 1 1由于+女+3.6,所以 3 3,即 一.n +一 +3 3n【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型.