2022年新高考北京数学高考真题解析.pdf

2022年新高考北京数学高考真题一、单选题1.已 知 全 集=3-3 3 ,集合A =X-2 x W l,则4，A=()A.(-2,1J B.(-3,-2)U 1,3)C.-2,1)D.(-3-2 U(1,3)2.若复数z 满足i.z =3 4 i,则忸=()A.1 B.5 C.7 D.253 .若直线2x +y-l=0 是圆(x-a)2+/=1 的一条对称轴，贝()A.g B.C.1 D.1224.己知函数/(=3,则对任意实数x,有()1 +2A./(-x)+/(x)=0C./(-x)+/(%)=15.已知函数f(x)=c o s 2x-s in 2x,则(A./(x)在卜多-高上单调递减C./(x)在(0,上单调递减6.设 依 是公差不为0的无穷等差数列,B.f(-x)-/(x)=OD./(-x)-/(x)=1)B.f(x)在(-今,总上单调递增D./在J上单调递增则”q 为递增数列是存在正整数,当时，/0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和电尸的关系，其中7 表示温度，单位是K P表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的 是()A.当 T =220,P =10 26时，二氧化碳处于液态B.当T =2 7 0,尸=128 时，二氧化碳处于气态C.当T =3 0 0,P =9 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当7=3 60,2=729 时，二氧化碳处于超临界状态8.若(2x-1)4=%x4+%/+q x +q ,贝!|%+42+4=()A.4 0B.4 1C.-4 0 D.-4 19.已 知 正 三 棱 锥 的 六 条 棱 长 均 为 6,S 是AABC及其内部的点构成的集合.设集合T =Q e S|P Q 4 5 ,则 T 表示的区域的面积为（）3 冗A.B.乃 C.2 D.3 7r410 .在A/W C 中，A C =3,BC =4,NC =9 0。.P为A/WC所在平面内的动点，且PC=,则 丽丽 的取值范围是（）A.-5,3 J B.-3,5 C.-6,4 J D.M,6二、填空题11.函数/（数=+J l-x 的定义域是.X12.已知双曲线产+工=1 的渐近线方程为y =迫 x,则*.m 313 .若函数/（x）=A s in x-G c o s x 的一个零点为?，则 4=;/（森）1 4 .己知数列 可 各项均为正数，其前项和S“满足a jS“=9（=l,2 .）.给出下列四个结论：叫 的 第 2项小于3；%为等比数列；%为递减数列；4 中存在小于志的项.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、双空题-a x +1,x a.a的最大值为.四、解答题1 6.在 AABC中，s i n 2 C =7 3s i n C .求 N C；若 b=6,且 的 面 积 为 6 6,求 的 周 长.1 7 .如图，在三棱柱48C-A8C中，侧面8 C C 6为正方形，平面B C C g,平面A 叫 A，A B=B C =2,M,N 分别为4与，AC的中点.求证：平面BCC#；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线A B 与平面3 MN 所成角的正弦值.条件：A BA.MN-.条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.1 8 .在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m 以上(含 9.5 0 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲:9.8 0,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9 35,9.30,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.36,9.32,9.2 3；丙：9.8 5,9.65,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)1 9 .已知椭圆：E:+Z =l(a b 0)的一个顶点为40)，焦距为2 G.a-b-求椭圆E的方程；(2)过点尸(-2,1)作斜率为的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线4 B,AC分别与x轴 交 于 点N,当|A Z N|=2时，求火的值.2 0 .已知函数f(x)=e*ln(l+x).(1)求曲线y=/(幻在点(o,/(o)处的切线方程；(2)设g(x)=r(x),讨论函数g(x)在 0,一)上的单调性；(3)证明:对任意的 s,f e(0,+o o),有/(s +f)/(s)+/(f).21.已知。吗,电,4为有穷整数数列.给定正整数?，若对任意的“e 1,2,加,在 Q 中存在卬，4+2，%/()2)，使得4 +4+i +4+2+,+%(=，则称 0为切一连续可表数列.(1)判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若为8-连续可表数列,求证：k的最小值为4；若。：4,%，M*为20 连续可表数列，且4+%+%7.参考答案:I.D利用补集的定义可得正确的选项.解：由补集定义可知：Q,A=x|-3 x 4-2 或l x 3 ,即Q,A=(-3,-2U(l,3),故选：D.2.B利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.解：由题意有2=芋=今昔义=-4-3 i,故|Z|=J(-4)2+(-3)2 =5.故选：B.3.A若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.解：由题可知圆心为(4 0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即为+0-1=0,解得a=L2故选：A.4.C直接代入计算，注意通分不要计算错误.1解：/(-x)+/(x)=-+!=7V+1!=1,故 A 错误，c 正确；.=-L =1一-不 是 常 数，故 BD 错误;八 八 1 +2-1 1 +2，1 +2 1 +2*2r+l 2*+1故选：C.5.C化简得出/(x)=c o s 2 x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.解：因为/(x)=cos2x-sin2x=cos2x.对于A 选项，当-g x -g 时，-乃 2 x -g,则/(x)在上单调递增，A错；对于B 选项，当-时，-g 2 x B，则“X)在上不单调，B 错；4 12 2 6 4 IZy答案第1 页，共 14页对于C 选项，当0 x (时，0 2 x 与，则 f(x)在(。5)上单调递减，C 对；对于D 选项，当时，g 2 x 0,若可2 0,则当“22 时，0；若 q 0 可得取%=1 *+1,则当 乂 时，a 0,所以，“4 是递增数列”=“存在正整数时,当乂 时，若存在正整数M，当乂 时，a 0,取 履 N*且%,a*0,假设d 0,令a“=4+(n-k)d k-?,S.k-k,当”k.+1时，an 0,即数列“是递增数列.所以，是 递 增 数 歹“存在正整数乂，当 乂时，4 0”.所以，“%是递增数歹 是存在正整数M，当 乂 时，。“0”的充分必要条件.故选：C.7.D根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.解：当T=220,P=1026时，但尸 3,此时二氧化碳处于固态，故 A 错误.当T=270,P=128时，2 lg P 3,此时二氧化碳处于液态，故 B 错误.当T=300,P=9987时，IgP 与 4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，7=300时对应的是非超临界状态，故 C 错误.当7=3 6 0,2=729时，因2 lg P A=,所以F:一，解得X1且XW0,x 0答案第4 页，共 14页故函数的定义域为(F,0)u(0,1 ；故答案为：(-8,0)=(0 1 2.-3首先可得，0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到、h,再跟渐近线方程得到方程，解得即可；解：解：对于双曲线V+=l,所以加/c o sx =2 si n(x-1)“M)=2 si n(E/)=-2 si f=-&1 2 1 2 3 4故答案为：1,1 4.9 9推导出q=-,求出力、出的值，可判断；利用反证法可判断；利用数列单4%调性的定义可判断.解：由题意可知，VMGN*,%0,当=1 时，=9 ,可得 q=3 ；9 9 9 9当2 2时，由S=一 可得S,i=,两式作差可得q=-,%an an-9 9 9所以，-=-4,则-4=3,整理可得。；+3 小-9 =0,%4%-因 为%0,解得年口o,可得为%，所以，数列%为递减数列，%a,i 4%对；假设对任意的 eN*,4 2 士，则 SD2100000X与=1 0 0 0,1 0 0 1 0 09,9 1 _所以，4 0 0 0 0 0 =-7 7 寸 赤，与假设矛盾，假设不成立，对.,IOOOOO 1 U 3 1 U U故答案为：.关键点：本题在推断的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.1 5.0 (答案不唯一)1根据分段函数中的函数丫=+1 的单调性进行分类讨论，可知，。=0 符合条件，。0 时函数 =-双+1 没有最小值，故/(X)的最小值只能取y =(x-2)2的最小值，根据定义域讨论可知-6+120 或+12(4-2)2,解 得 o c.1 ,x 0若a v O时，当时，/(外=一公+1单调递增，当工7 8时，/(x)-o o ,故/没有最小值，不符合题目要求；若。0 时，当工 f(a)=-a2+,0 (0 a 2)/-a2+1 2 0 或一a?+l 之(。一 2)2,解得0 t z 0,由已知可得百sin C=2sin Ceos C,可得cosC=,因此，C =j.26(2)解：由三角形的面积公式可得是人%=3“庆皿。=|。=6 6,解得a=4/L由余弦定理可得。2=42+从一2 cosC=48+36-2x4石 x 6 x g =12，:.c=2在，所以，AABC的周长为a+c=6 6 +6.17.(1)见解析(2)见解析(1)取A 8的中点为K,连接MK,NK,可证平面M K N H平面C B B ,从而可证M N H平面 CBBC.(2)选均可证明3隹_ 1平面A B C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.(1)取 A 8的中点为K,连接”K,NK,由三棱柱A B C-A 8 c 可得四边形A84 A 为平行四边形，而 B、M =M%,B K =K A,则 MK/BB,而平面C 84G，平面C8BC，故MK平面CBgC一而 C N =NA、B K =K A,则 NK/BC,同理可得 NK 平面，而 NK 口 MK=K,NK,MK u 平面 M K N,故平面M K N H平面C B B ,而MN u 平面M K N,故M N H平面C B B ,答案第7 页，共 14页（2）因为侧面CB与G 为正方形，故CB BB、,而 C 8 u 平面C B B ,平面C B B J平面ABBlAl,平面 C B B c 平面 ABB,Al=BB,故 C8 J_ 平面 ABB】A1,因为 NK/BC,故 NK，平面 ABB、A,因 为 平 面 4BA A，故NK_LA8,若选，则 AB_LM7V,而 N K 工 A B,N K M N =N,故 平面 M N K,而 M K u 平面 M N K,故 AB_LMK,所以 A B L B 4，而 C B 1 B B-C B c A B =B,故 平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,（）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,设平面B N M的法向量为 =（x,y,z）,则 _ _ _ _ _,从而；八，取 z=l,则=（-2,2,T）,n-BM=0 y+2z=0设直线AB与平面BMW所成的角为9,则sin 0=|cos（,若选，因为NK B C,故 NKJ 平面而KMU平面MKN,故 N K 1 K M ,而 4 例=8K=1,NK=1,故 B、M =N K ,而 g 8 =MK=2,M B =M N,故.ABB,M 祥 M K N ,所以 NBBM=N M K N=90,故 其 片 _L ,而C 8 L 8 4，C B c A B =B,故平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则 3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,加=（0,1,2）,设平面B N M的法向量为 =（x,y,z）,答案第8 页，共 14页则n_ _-_B_N_，=0从 而:x+八 y=，0 取 z =1,则 二一（一 2,.2,1）,、nBM=0 y+2z=0设直线4 8与平面BM W所成的角为。，则s i n 0=|COSH,48）=.18.(1)0.4丙(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A 2,丙获得优秀为事件人-3P(X=0)=P(y 41A A3)=0.6 x 0.5x 0.5=,P(X=i)=P(A 无 无)+嗝4 A)+P(4 4A)答案第9页，共14页Q=0.4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5=,20P(X=2)=尸(A&A)+p(A 4 4)+p(A 4 A)7=0.4 x 0.5 x 0.5+0.4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5=,202尸(x =3)=P(A A2 A3 )=0.4x 0.5 x 0.5=.；.x的分布列为X0123P3208207202203X72E(X)=0 x +l x +2x +3x =20 20 20 2075(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩,比赛一次，丙获得9.8 5的概率为5，甲获得9.8 0的概率为上，乙获得9.7 8的概率为并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数1()o越多，对丙越有利.r219.(1)+/=14 Q)k=Yb=l(1)依 题 意 可 得 区=2石，即可求出。，从而求出椭圆方程；c2=a2-b2(2)首先表示出直线方程，设C(x2,y2),联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB、AC的方程，表示出如、XN，根据|MV卜|年-加|得到方程，解得即可；(1)解：依题意可得6 =1,2c =2 6,又c2-b2,所以a =2,所以椭圆方程为+9 =1；答案第10页，共14页解：依题意过点网-2,1)的直线为-1 =刈尢+2),设 B(X QJ、C(x2,y2),不妨令-2 X j x2 0,解得出 0),即证巩x)m(0),由第二问结论可知加在0,4-00)上单调递 增,即得证.(1)解：因为/(x)=e ln(l+x),所以.4 0)=0,即切点坐标为(0,0),又/,(x)=er(ln(l+x)+-),1 +x 切线斜率4 =/(0)=1二切线方程为：(2)解：因为 g(x)=f(x)=ex(ln(l+x)+J),1 +x2 1所以 g(x)=e (ln(l+x)+立，-0+,令即M)+工 一 号 产M,1 2 2 x2+1 _贝l j h(x)=-7 +-r=-?0,1 +x (l+x)2(1+x)3(1+x)3 (x)在0+8)上单调递增，/./I(X)/J(0)=10g(x)0在0,E)上恒成立，g(x)在0,+O上单调递增.(3)解：原不等式等价于/(s+/)/(s)/(f)-/(0),令 m(x)=/(x+t)-/(x),(x,t 0),即证 m(x)m(0),mx)=f(x+t)-f(x)=ex+,ln(l+x +?)-e ln(l+x),答案第12页，共14页mx=ex+z ln(l+x +O +-ex ln(l+x)-=g(x +，)一g(x),l+x+r l+x由(2)知 g(x)=/(x)=e X(ln(l+x)+j )在 0,+8)上单调递增,.g(x +，)g(x),m(x)0.，(x)在(O,+e)上单调递增，又因为x,r0,所以命题得证.21.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.(2)证明见解析.(3)证明见解析.(1)直接利用定义验证即可；(2)先考虑A V 3不符合，再列举一个=4合题即可；(3)无M 5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k =6时，由4+%+6 2 0可知里面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.(1)“2=1,4=2,at+a2=3,=4 ,a2+a3=5,所以。是5-连续可表数列；易知，不存在i，j使得4 +4+1+4+j =6,所以。不是6-连续可表数列.(2)若A M3,设为Q：则至多a +/J,b +c,a +b +c,a,6,c,6个数字,没有8个，矛盾；当&=4时，数列 Q：1,4,1,2 ,满足4=1,4=2,a3+a4=3,4=4,at+a2=5 ,4 +。2+3=6 ,2+。3+=7 ,4 +。2+%+。4=8 ,1/m in =4.(3)Q:q,“2,若7=，最多有&利I,若 i#j,最多有C：种，所以最多有人+(：；=岑9种，若烂5,则4,%，至多可表变士8=1 5个数，矛盾，2从而 若%7,则4 =6,a,c,d,e,/至多可表”=2 1个数，而a +6 +c +d +e +/2 0 ,所以其中有负的，从而a/,c,d,e,/可 表1 2 0及 那 个 负 数(恰2 1答案第1 3页，共1 4页个），这 表 明/中 仅 一 个 负 的，没有0,且这个负的在中绝对值最小，同 时/中没有两数相同，设那个负数为一见力2 1）,则所有数之和 2机 +1 +机+2 4-t-m+5 m =4m+15 ,4/W +1 5 m=1,.a,4 c,4 e,/=-1,2,3,4,5,6,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足2 0个，,.-1 =-1 +2 （仅一种方式），;.一1与2相邻，若T不在两端，则？,-1,2,形式，若x =6,贝I J 5=6 +（-1）（有2种结果相同，方式矛盾），.*6,同理“5,4,3,故-1在一端,不妨为 B，2,A区Q。”形式，若A =3,则5=2+3 （有2种结果相同，矛盾），A =4同理不行，A=5,则6 =-1 +2 +5（有2种结果相同，矛盾），从而A =6,由于7=-1 +2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能-1 2 6,3,5,4,或-1,2,6 4,5,3,这2种情形，对：9 =6 +3=5+4,矛盾，对：8 =2 +6 =5+3,也矛盾，综上工6:.k 7 关键，先理解题意，是否为机-可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到“中间的任意一个值.本题第二问43时，通过和值可能个数否定A M3；第三问先通过和值的可能个数否定Z45,再验证&=6时，数列中的几项如果符合必然是-1,2,3,4,5,6）的一个排序，可验证这组数不合题.答案第1 4页，共1 4页