2019年高考数学（文）考点一遍过 考点31 直线、平面垂直的判定及其性质（含解析）.pdf

2019年高考数学（文）考点一遍过考点3 1直线、平面垂直的判定及其性质考拥雇次（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面垂直1 .定义如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面。互相垂直.记作：图形表示如下:【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.2 .直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直=线面垂直图形语言符号语言7 a,ILb,H U a,Z x z a,a 力=P=/J _ a作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直,而不是任意的两条直线.3.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直=线线平行ab图形语言77个1r.符号语言a L ah.La =a/b作用证明两直线平行；构造平行线.4.直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的镣扁，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于9 0；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角a的范围是 0,2 .25.常用结论(熟记)(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.二、平面与平面垂直1 .定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面。与 平 面 垂直，记作a，/?.图形表示如下：2 .平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直=面面垂直图形语言1y符号语言7 a,1 u 0 0。1 B作用判断两平面垂直3.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直n线线平行图形语言aa符号语言a l。a。=1Quaa A-l=Q_L/7作用证明直线与平面垂直4.二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做三面扁.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：0,兀 .5 .常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.三、垂直问题的转化关系平面几何的定理线线垂直、7T S T考向一线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略：(1)与命题真假判断有关的问题.解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定.(2)证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(a/b,a，。_ L a)；面面平行的性质(a_ L a,。尸尸)；面面垂直的性质.(3)线面垂直的证明.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(4)线面垂直的探索性问题.对命题条件的探索常采用以下三种方法：a.先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例引领典 例1如图所示，A/WB和A4DC都是以。为直角顶点的等腰直角三角形，且/B4C=60。，下列说法中错误的是A.4DJL 平面BDCC.DC_L 平面4BD【答案】DB.BD1 平面4DCD.B C L平面力BD【解析】易知AD LBD.AD 1 DC,所以月D 1 平 面 BDC,又&A B D与匕A D C均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以=NG AD=DC=走.2又 修 立=60。,所以加C 为等边三角形,故8C=4B二代BD,所以Z5DC=9O。,即8D J.DC.所以BD评面幺DC,同理DC坪面幺BD一故选D.变式拓展1.如图，在棱长为1的正方体ABC。A 4 G A中，点E、F分别是棱8 C、CG的中点，p是底面ABCD上（含边界）一动点，且满足APJLEE，则线段4P长度的取值范围是J 1当2C.1,7 3 典例引领典例2 如图，在三棱柱4 B C-4 B 1 G 中，各个侧面均是边长为2 的正方形，。为线段4 c 的中点.（1）求证：平面A C C/i；（2）求证：直 线 响 I I 平面BCW；（3）设”为 线 段 上 任 意 一 点，在 B Q。内的平面区域（包括边界）是否存在点E,使C E J L D M?请说明理由.【解析】（1）.三棱柱4 8。-4 3 1 4 中，各个侧面均是边长为2 的正方形,.CCIJ.BC,cqiac,./C1 1 平面 A B C,又平面4 B C,：CC LBD9又底面为等边三角形，D为线段AC的中点,：.BD LAC,又4C n CC=C：.BD 1 平面（2）如图，连接B，C交B g于点0,连接。D,则。为B i C的中点,D是4 c的中点，.0D I I 瓦,又。D u平面B g D,AB1评 面.直线幺为II平面B C Q.（3）在B q。内的平面区域（包括边界）存在点M 使C ELO M,此时E在线段C/上，证明如下:如图，过C作C E C W,交线段的 于点E,由（1）可知，BD _L平面”CCA,又CE u 平面BD 1 CEt由C/?1CD,BD C JD =D,得CEJ,平面.DM u 平面B g”,变式拓展2.如 图 1 所示，在 R t Z A B C 中，/e 9 0,D,分别为4 8 的中点，点尸为线段切上的一点，将沿龙折起到 4。石的位置，使 4 d 微 如图2所示.(1)求证：A.F 1 B E；(2)线段AB上是否存在点0,使 4C，平面。EQ?说明理由.考向二面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角).(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.典例引领E F=E B=FC=2 E A=FD典例3 已知在梯形4 B C D 中，AB/CD,瓦尸分别为底4 B,C D 上的点，且E F U B,2,2,沿E F 将平面力E F D 折起至平面4 E F D L 平面E B C F,如图.(1)求证：平面BCD1平面BCF；(2)若4 E=2,求多面体4BCDEF的体积.【解析】(1)由平面月后 方。J 平 面EB。孔 且DF LE广 知D F评 面EBCF.而D尸u平面BDF,所以平面BDF J _平面EBCF.由 B F =2垃,B C =2 0 F C =4,B F2+B C2=F C2,即BC_LBF,又以C u平面EBCF,所以BC坪 面BDF.又方C u平面BCD,所以平面BCD呼 面RDF.(2)依题意知，多面体4BCCEF是三棱台4BE-DCF,易得高为E=2,两个底面面积分别是2和8,2,_,28-x(2+8+J2 x 8)=故体积为3 3典例4如图,直三棱柱4BC-4 指也1中,D,E分 别 是 的 中 点,AB=BC(1)证明:B明平面41CD；(2)证明:平面4/C _L平面4CG4.【解析】-A 4 G R的棱力反B C,，上的点.(1)若=,求证:无论点P 在 D D、上如何移动，总有BP V M N-,MA NC(2)棱能上是否存在这样的点只 使得平面A P C，平面4A C G?证明你的结论.考向三线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.典例引领典例5正三棱柱A B C-4 4 G 的所有棱长都相等,是4 G 的中点，则 直 线 力 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为A-1B.C-ID.45旦5【答案】B1I析】左一：由正三慢口的肉含接长物 号，体IHfiS0住，可的&DJ 平 面/8,，BQ，DC,S7A1QC为 鱼 三 设 嚏 性 为 i,.4 D-y .)D-.DC,I/小而 X X =.0 4到 干 圈&频 力 帆Q府I.1 ie.I.7B 1 V?1 .2-X R XaJ.A W*X J S dJ .一 ”内，.森 jw3 R 3133 8 i 2 2 H设且续M与 平 面 从/用n m为 九 四sR=-?=：解法二：在正三棱柱中，由为AG中点可证用。，平面A4CC，如图，作AH，。，；耳。_ LA H.又BQ C D =D,忆 平 面 用CD，；/”为所求的线面角.4 x/5设棱长为2,在 八48中由等面积法得4=耍4 7 5c 4A s i n Z A D H =-9 故选 B.V 5 5典例6如图，直三棱柱ABC-AAG的底面是边长为2的正三角形，瓦F分别是5 C,C G的中点(1)证明：平面A E F，平面BB C C；(2)若直线AC与平面4ABg所成的角为4 5 ,求三棱锥E-AEC的体积.【解析】因为三棱柱3c-4 4 G是直三棱柱，所以4后_|_ 班1，又E是正三角形如c的边刀c的中点，所以XE _ LB C,因 此 翘，平面B/C G，而 丝 u平面A E F ,所以平面A E F 平面B M G.(2)如图，设 A B 的中点为。，连接A。,。，因为a w是正三角已，又三楼在A B C-4AG是叁三检柱,所以CD 1&.因此CD 1平面A.ABB,T ZCX,DU?14 c与平直域/占用所成的角由 14龙知/。4。=45 所以4n=a)=Y i.u=&,在 R t Z A 4 Q 中，A 4,=网 叮-A。?=VT=VLi 5所以 R 7 =A A =,2 2故三棱锥F AEC的体积V =；S 2 c XF C =；x#x=杏.变式拓展4.如图，四边形4 B C D为矩形，四边形B C E F为直角梯形，BF/CE.BF BC.BF c _ L 4 B.bu /3 n b _ L ca”仇c 是a在月内的射影b/cC.bu ac(Z a3.如图，在三棱锥P-/B C 中，P A J _ 底面力B C,P A=ACf则直线P C 与平面A B C 所成角的大小为 =c/aa/aD.b L a=b.L aA.30 C.6 0。D.9 04.如图，三条相交于点P的线段为，P B,用 两两垂直，尸在平面力回外，P/LL平面脑。于&则垂足是/回的A.外心C.垂心B.内心D.重心5.如图,4 B,C,，为空间四点，在力笈中，AB=2,A伉B O*,等边三角形AD B以四为轴旋转，当平面4%江平面ABC时，CD-A.乖C.依D.16.如图，已知六棱锥人4比颇的底面是正六边形，阳，平面48。，P A=2AB,则下列结论正确的是A.P BLADB.平面必员L平面P BCC.直线式平面用D.直线外与平面4笫所成的角为457.九章算术卷 五 商功中有如下问题：今有刍薨，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍薨”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如 图 1,该几何体可由图2 中的八边形4BCDEFGH沿BG,CF向上折起，使得4H与DE重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1,则 此“刍薨”中E尸与平面BCFG所成角的正弦值为A/15A.5y i oC.58.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为4的中点,现分别沿BE,CE 将丛ABE,应翻折,使得点4。重合于点F,此时二面角-8。-尸的余弦值为3A.-42C.一3(1)(2)B.D.也439.已 知%是 平 面，/、是直线，给出下列命题：若勿_1 _ o,g B,则。_ L ；若/n c i a,u a,勿 ,贝l j。；如 果 归a,/XI a,m,是异面直线，那么与。相交；若 a n =/，n/m,且 点。，血 B,则。且“.其 中 命 题 正 确 的 是.1 0.如图,三棱锥P-4 BC,平面P 4 B，平面P BC,若P B 1 B C则 BC的形状为11.在四面体 48。中，M J 平面 4BC,AB 1 AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱 BC上一点，且平面4DE JL 平面 BCD,则 DE=.12.如图，在三棱锥产一/欧中，RLL底面力以7,/BAC=90,厂 是 4 c 的中点，是 上 的 点，且 既 L 6 G 则PEEC=13.如图所示，在四棱锥P-A B C D 中，为，底面4 8 s 且底面各边都相等，是用上的一动点，当丘时，平面也切，平面尸.14.四棱锥4-BCDE中，E B/D C,且EB J平面4BC,EB=1,Z)C=BC=4B=4C=2,尸是棱4D的中点.(1)证明：EFJ平面AC。；(2)求三棱锥。-4CE的体积.1 5.如图，已知四边形4 BCD是正方形,P D_ L平面力BCD,CD =P D =2E A,P D/E A,F,G,H分别为P B,BE,P C的中点.(1)求证：GH平面P D4 E；(2)求证：平面FGH 1平面P CD.1 6.如 图，在正方体4 8 CZ)-A 4C Q中,为棱G A的中点，夕为棱比 的中点.(1)求证：直 线 直 线 为I；(2)在线段4 4 上求一点G,使得直线力吐平面 K?并说明理由.1 7 .如图，已 知 三 棱 锥 中，/必=9 0 ,CB=4,4 层2 0,为4 8 的中点，且 P D 5 是正三角形，P AL P C.(1)求证：平面为CJ _ 平面ABC,(2)求二面角正加 C 的正弦值；(3)若 为 阳 的 中 点，求三棱锥材一时的体积.1 8 .如图，已知多面体P 4 BCCE的底面4 BCD是边长为2的菱形,P 4 _ L 底面4 BCD,ED/P 4,且P 4 =2E D=2.(1)证明:平面P1平面P C面(2)若直线尸。与平面4 BCC所成的角为4 5。,求 直 线 与 平 面 P CE所成角的正弦值.*通高考i.（2 0 1 7 新课标全国i n文科）在正方体ABCOA 4G 2中，2为棱必的中点，则A.A|E_ L ）GB.AELBD2.C.D.AEA-AC（2 0 1 7 浙江）如图，已知正四面体。-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P,Q,分别为4 6,B C,。上的上 BQ CR点，AP=P B,=QC RA2,分 别 记 二 面 角 -/-。，D-P Q-R,。-的平面角为7,则A.y a/3C.a/3yB.a y PD.fi y同理，得 庭=逝，又CD=2,则3）2=。炉+。后2,即 与 后,.，又 加i_LCE,DEClDDi=D,故CEJL平面DQE.又4 E u平面DQX,故DE工CE.（2）由（1）可知NAE D是所求二面角。一 E C-。的平面角.在 R t a Q E。中，DD=1,DE=O ,故t anZ D,=鬓=乎.即 二 面 角。一 E C -。的正切值为字.考点冲关H z：-1 .【答案】A【解析】对于选项A,1 平 面。，/可能在平面 内，/可能与平面平行，/可能与平面相交.故本题选A.2 .【答案】D【解析】对于选项D,可能还有6。，或 者6在a内，所以D不正确.3 .【答案】B【解析】由题意可知，底面4B C,所以N P O为直线P C与平面4B C所成的角，因为/M =4C,所以尸6为等腰直角三角形，所以/P C 4=45,故选民4.【答案】C【解析】连接4H并延长交B C于，连接P D,P 4_ L P B,P Z1 P C,P Bn P C=P.P 4_ L平面P B C,则P 4 B C,又P H I 平面 4B C,则 P H 1 B C,又 P 4C P H =P,平面 P 4D,则 B C，4 D,同理 故垂足是放的垂心,选C.5.【答案】B【解析】取 的 中 点 连 接 能 口;因为力如是等边三角形，所以。质L/6.当 平 面，平面4a 1时，因为平面/%C平 面/吐4?,所以 1平 面 力 比 可 知 以_ L C 由己知可得般收,氏1,在R t%T中,CD-jD E2+CE 2.6.【答案】D【解析】在A中，因为A D与 P B在平面内的射影A B不垂直所以不成立；在B中，因为平面H L 8 1平 面 吵 所 以 平 面PM1平 面P B C也不成立,所以不正确；在C中，因为5Q Z/1 D 5c不在平面P A D内4 D在 平 面 尸 皿 所 以 平 面R 1 D手斤以直线BCII平 面P AE也不成立，所 以C不成立一在D中，在直角三角形P A D中，P A=AD=2ABf所以直线P D与平面4 B C所成的角为45。，所以是正确的，故 选D.7 .【答案】A【解析】如图，取F G中点M,连接E M,过点E作EO _ L平面B C F G,连接产。，0 M,贝必EF O为直线EF与平面B C F G所OE J 3 J15l r-sin.E FO=-成的角，易知F M =1,0 M =1,E F=E G=&所以EM =2,0 E =#,则 E F 5.8.【答案】B【解析】如图所示,取回的中点只连接E P,FP,由 题 意 得 正 华2,所以P FLBC.又 E B=E C =J(|+22=|,所以欧所以N 厅斗 为二面角-心-尸的平面角,而/EP2+FP2-EF2在 尸 中 c E P F=2EP-FP,7 94 +-/74 4 =c c 4，2 x 2 x 2.7所以二面角6 8”的余弦值为9.【答案】【解析】是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，血，八不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确;中，还可能”所以不正确；中，由 于 孙 g c,?wua,贝 ijM/a,同 理 所 以 正 确.故填.io .【答案】直角三角形【解析】平面尸4 8 J.平面尸B C,平面P4B C平面尸BC=PB,PBL 8aB e u平面PBC,BC 1平面P 4 B,BC 1 ABf.4BC为直角三角形，故答案为直角三角形.1311.【答案】丁【解析】过力作4H因为平面4D EJ.平面B C D,且平面4DE ri平面BCD=DE,.4H JL 平面BCD,:.AH L BCt又4 D J.B C,B C _ L 平面4Z)E,BC 1 AE,12.【答案】1【解析】在三棱锥产一46，中，因为川，底面46a NBAC=90,所以四，平面加五因 为 跖=平 面 为4 所以跖J_48,因为 EF1BC,BCAB=B,所 以 见 底 面1 8 C,所以必必；因为b 是 的 中 点，是用上的点,所以后是用的中点，所 以 一=1.EC1 3 .【答案】P C【解析】由相关定理可知，BD _ LP C.当 D M LP C时,则有/T L平面，监 而P C u平面P CD,所以平面M BD L平面P CD.所以应填P C.1 4 .【解析】(1)如图，取幺。中 点 连 接 FMBM,TF 是 AD 中点,，FMDC 且广 M=1.又因为反8。,二.尸 用 艮又:E B=1,：.FM =E B,.二四边形是平行四边形二.EFBM,又BC=AB 是等边三角形，：.BM 1 AC,:E B 评 面 ABC,EBDC,.CD ABC,：.CD 1 BM,：.BM，平面月CD,，EF 评面幺CD-(2)三棱锥0-4 C E即4-D C E,取B C的中点N,连接4 N,如图，.13,/4 B C是正三角形，；N BC.AN =BC=：E B J.平面4 B C,；.E B J.4 N,./I N _L平面B C D E/N是三棱锥力一D C E的高.，三棱锥 4-D C E 的体积 V =1.AN.L.C O.8 C =XV X，X2X2 =2 V .3 2 3 2 31 5 .【解析】（1）如图，分别取PD的中点M,区4的中点N.连接MH,NG,MN,因为G,H分别为BE,PC的中点，所以M U Z C O,N G -A B,2 2因为AB与CD平行且相等，所以MH平行且等于NG,故四边形GMN是平行四边形.所以GHMN.又因为GHU平面ZZ4E,MN u平面PZME,所以G”平面PD4E.（2）因为PD 评面月BCD,BCu平面月B C D,所以尸D_LBC-因为 BC L C D,PD n CD=D,所以 HC 评 面 PCD.因为F,/分别为PB、PC的中点，所以FH/BC.所以F/f评 面 PCD-因为FH u平面F G H,所以平面FGH _L 平面PCD.1 6 .【解析】（1）如图，连接A q,8 C 1,由正方体的性质可知，DA,A DX,DA,1 A B ,又 A 5 A Dt=A,：.DA,，平面 A B G R ,又A E u平面A B G，D A,1AE.（2）所求G点即为小点、，证明如下:由（1）可知K E J _Z）4,取C D的 中 点 连 接 力H,即，如图,由D F 工 血 D F 工,可证。尸1平面AHE,H E u 平面 AHE,：.DF1AE.又。尸。4口=口，.HS 1平面D F AX,即力E 1平面DFG.17【解析】（1）.是48的中点，p3是正三角形，4#20,:.PD=-AB=W,2:.APLPB.又 APPC,PBH PC=P,4 刊_平面PBC.又BCu平面PBC,:.AP1BC.X ACLBC,APAC=A,.比工平面PAC.又BCu平面ABC,平面胡CJ_平面ABC./1 ,*8=VD-BCM=g X 5&x 2 0 1 =1 0 【名师点睛】本题的题设条件有三个：A/W C 是直角三角形，B C 1 A C；是正三角形；是47的中点，小 旌 10.解答本题（1）,只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对 于（2）,首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解 答 第（3）小题的关键是用等体积法求解.1 8.【解析】（1）如图，连接B。,交4C于点。，设PC中点为F,连接0F,EF.,/。/分别为4&PC的中点，；.0F/PA,且0F=JDE/PA,且DE=；P4：.OF/DE,且。尸=DE,四边形OFED为平行四边形，：.OD/EF,即 BDEF,：PA 1.平面u 平面4ECD,:.PA IBD,.4BCC是菱形，LAC.:PA C i AC=A,：.BD 1 平面PAC,：BD/EF,：.EF L n P AC,平面/34。，平面。及力,V(2)直线PC与平面月BCD所成的角为45。,：.zPCA=45,：.AC=PA=2,.XC=幺瓦故MBC为等边三角形，设CD的中点、为M,如图，连接力M,则月M_LCD,设点D到平面PCE的距离为七，点P到平面CDE的距离为九2,则由_FCE=%-U D E，得:5cPCE，h q$匕C D E 九 式*），,：ED 评面月BCDMM u 平面月BCD,：.ED J.AM,又AM 1 CDfCD A OF=D,./“1平面。瓦V PA/DEtPA(t n C D EfDE u 平面CDE,P4平面CDE,点P到平面CDE的距离与点4到平面CDE的距离相等,即 占4M二信:PE=EC=gPC=2也:忑昕后二季,又SRCDE=1,代入(*)得 福 3 1 13,./!=则CD与平面PCE所成角的正弦值为&=也.CD 4直通高考H z-i.【答案】c【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影，人若4 E，D G，那么DiE_LQG，很显然不成立；B.若4E_LAD,那 么 助_LNE,显然不成立；C若 砧 工 B G ,那么B G工B】C,成立，反过来3G_LB】C时，也能推出用G，4后，所 以C成立；D.若4E _L 4C,则KE_LHC,显然不成立，故选C.【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.2.【答案】B【解析】设。为三角形4%中心，则。到P 0距离最小，。到必距离最大，。到我距离居中，而三棱锥的高相等，因此所以选B.3 .【解析】(1)在平行六面体的C D 4 A G 中，ABZ/Ax B,.因为A B a平面Ay Bx C,4 8 u平面A、B C所以4 8平面AiBx C.(2)在平行六面体1岫4 5 4中，四边形/仍M为平行四边形.又因为力4=4 6,所以四边形加科4为菱形，因此 4 5 _L 4 6.又因为熊6 4,BCBC,所以力反，比：又因为4 6 C 除6,4 6 u平面4 6 G 6 C u平面4 6 C,所以4 A _L平面Ax BC.因为4 3 u平面ABBiAi,所以平面力仍4 _1 _平面Ax BC.4 .【解析】(1)由已知可得，Z B A C =90 ,BA AC.又B A UD,所以4 6 _L平面又A B u平面ABC,所 以 平 面 平 面ABC.(2)由已知可得，DC=CA8=3,DA=3a.又BP=DQ=g ll 4,所以我=动.作 QEVAC,垂足为E,贝 股E DC.由已知及(D 可得0cl平面乂BC,所 以 平 面 ABC,0E=.因此，三棱锥。-丝 P 的体积为-JBP=X0 XAABP=X lx X3X2A/2SUI 450=1 .5.【解析】因为4户 小4 4,。为/。的中点，所以勿工亦，且 好2 6.连 结 必 因 为46=7哙 乃A C,所以加，为等腰直角三角形，且 仍，4C,0 B=-AC=2.2 2由。尸+082=P/知，0 P V 0 B.由 OP L OB,0HL 4C 知 P 0 L 平面 ABC.R逋5（2）作C H 1 0 M,垂足为H.又 由（1）可得O P l C H,所 以 平 面POM.故C H的长为点C到平面P O M的距离.由题设可知 0 C 5=/C=2,=母,4c5=4 5 .由、J a 郊 m OC M C sin ZACB所以02亍，CH=-所以点C到平面P O M的距离为 观.6.【解析】（I）由 45=2,=4,=2,A4,J_ A民 BB J_ A3 得 Ag=4 g =2 0 ,所以 B-+AB；=A4：.故 A B _ L A g .由 8C=2,=2,CG=1,B B J B C,C C J B C B =,由 AB=BC=2,ZABC=120。得 AC=2 6，由 C C|_LA C,得 4；=折，所以 A3：+gC：=AC；，故4 4 -L B .因此Ag _L平面4 4 c.(ID如图，过点G作交直线A用于点。，连结AD.由AB,，平面A B 6得平面AB|G _L平面A B B-由C Q，4 4得CQ _L平面A B B,所以NG A。是AC,与平面A B BX所成的角.由 4G =6 A&=2及,4cl=拘 得 cos N G 44,sin/C|A 4正1所以GZ)=G，故 sin Ng AO=C Q _屈Aq-I T因此，直线AG与平面ABg所成的角的正弦值是叵137.【解析】(I)；P A =P D,且E为AD的中点，P E L A D.：底面 A8C 为矩形，.BC A,P E Y B C.(II)二.底面4 BCD为矩形，./5 _ L 4 D.平面尸/。-L平面&C D ,，NS JL平面孔切 一：.AJB1PD.又尸X_ L PD,.,.尸D_ L平面尸二.平面P A B，平面P C D.(Ill)如图，取PC中点G,连接f G,GO.二四边形KBCD为矩形，目牙为血的中点，：.EDll JBC,DE=-BCf2.即“尸G,且 郎=FG,.,.四边形即如 为平行四边形,EFil GD.又 即 平面PCD,GDu平面PCD,EFII 平面 PCD.8.【解析】(I)由平面16UL平 面 仍9,平面/伙71平面/阱 四，AD LAB,可 得 平 面46C,故40L8C(I I)取棱/。的 中 点 也连接M N,N D.又因为 为棱4?的中点，故M N/BC.所以/肠V (或其补角)为异面直线BC与协所成的角.BC在 R t的，中，4沪 1,故沪 jA b+A M A.因为在，平面46G 故 4?_ L/C.在 R t W中，AN-,故 砰q AD +AN?=9-MN ir z在等腰三角形I W 中，肝 1,可得8$/仞7=三 二 =汩.所以，异 面 直 线&1 与，初所成角的余弦值为坐.(I I I)连接口.因为力回为等边三角形，为 边 的 中 点，故。匕 典 6於百.又因为平面 WJ _平面ABD,而。仁 平 面ABC,故。归_ 平面ABD.所以，为直线切与平面46 所成的角.在 R t 0。中，CD=y jAC2+A D2=4.在 R tZ C初中，sin N CD M =-=2.C D 4所以，直线切与平面4即所成角的正弦值为且.49.【解析】在 平 面 期 D内，因为N51ND,E F L A D,所以EFNAB.又因为EF C 平面ABC,AB c 平面ABC,所以町“平面4 BC.(2)因为平面HBQ1平面BCD,平面。平面6CD=5D,B C u平面6GD,BCA.BD,所以夕CJL平面WSD.因为4D u 平面ABD,所以 HCJLND.又4 814D,BCCAB=B f 仁平面RBC,J C u 平面 NSC,所以疝)1 平面4 SC,又因为/C=平面H S g 所以力D_UC.10.【解析】(1)取 4C的中点。，连接加，取因为/介G9,所以4C 一 Q又由于A A B C 是正三角形，所以ACL 6Q从而4C_ L 平面D OB,故 J _(2)连接E。.由(D及题设知乙山0 9 0,所以D M。在RtZk/OB 中,B O2+A O2=AB3.又 AB=BD)所以3。2+D 01=B O2+A O2=A B2=B D2,故/D0B=9(T由 题 设 知 为 直 角 三 角 形，所以E0=：4C.又 如C是正三角形，且 右=如，所以笈。=区D.2故E为助的中点，从而E到平面R5C的距离为D到平面庭C的距离的1,2面体A B C D的体积的g,即四面体A B C E与四面体力的的体积之比为1:1.2四面体4BCE的体积为四