2020-2021学年宁夏吴忠市青铜峡高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf

2020-2021学年宁夏吴忠市青铜峡高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1 .容量为1 0 0的某个样本数据分成1 0组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.7 9,则剩下3组的频率之和为（）A.0.2 1%B.0.2 1 C.2 1 D.无法确定2 .某公司从三位大学毕业生甲、乙、丙中录用二人，这三人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）A.|B.|C.|D.3 .若变量x,y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点（）A.(2,6)B.(3,8)C.(4,9)D.(5,1 0)X1245y7691 04 .圆心为（0,1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A.（x-1产+y2 =1 B.（x+I）2+y2=1C.x2+（y l）2=1 D.x2+（y+l）2=15 .设椭圆C；卷+9=1的左、右焦点分别为生，F2,P是C上任意一点，则心尸出的周长为（）A.9 B.1 3 C.1 5 D.1 86 .顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（-4,-2）的抛物线的标准方程是（）A.y2=x B.x2=8yC.y2=8%或/=y D.y2=r 或/=_8 y7 .双曲线?3=1的渐近线方程是（）A.y=j x B.y=|x C.y=x D.y=x8 .执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2 B.-C.-D.72 3 59.抛物线y=的准线方程是（）4A.%=-7 B.%=：C.y=-1 D.y=216 810.过椭圆W 1内 一 点 引 一 条 弦，使弦被点M 平分则这条弦所在直线的斜16 4率（）A.-2 B.j C.D.211.已知居，尸 2是双曲线E：一 1=1 的左，右焦点，点”在 E 上，M&与x 轴垂直，sinNMF2&=：,则 E 的离心率为（）A.V2 B.I C.V3 D.212.设 A,B 是椭圆C：+”=1 长轴的两个端点，若 C 上存在点M 满足N4MB=?,3 7n 3则，”的取值范围是（）A.（0,V3 U 9,+oo）B.（0,1 U 9,+oo）C.（0,1 U 4,+00）D.（0,V3 U 4,4-00）二、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）13.双 曲 线 的 焦 点 坐 标 为14.一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上爬来爬去，它 最 后 停 留 在 黑 色 地 板 砖 上 的 概 率 是 .15.某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较 极端 的样本，相第2页，共16页对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；丙同学说：“茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加”丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.以上四人中，观 点 正 确 的 同 学 是.16.已知抛物线好=的焦点为凡 过点尸的直线AB交抛物线于A,8 两点，交准线于点 C,若|BC|=2|B F|,则|4B|=.三、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.已知点N(4,0),点MQoQo)在 圆 炉+*=4 上运动，点P(x,y)为 线 段 的 中 点.(1)求点P(x,y)的轨迹方程；(2)求点尸到直线3无+4 y+4=0的距离的最大值和最小值.18.近年来，国家大力实施精准扶贫战略，据统计2014年至2018年，某社区脱贫家庭(单位：户)的数据如表：年份20142015201620172018年份代号X12345脱贫家庭户数y2030506075部分数据经计算得:Sf=iX i=845,乙 数=55.(1)求 V关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数的变化情况，并预测该社区在2020年脱贫家庭户数.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b=器器I”=炉,；a _-y-D.X;19.已知离心率e=号的椭圆C：，+曰=l(a b 0)一个焦点为(-1,0).(I)求椭圆C 的方程；(口)若斜率为1的直线/交椭圆C 于 4,B两 点,且|/B|=竽，求直线/方程.20.日前，W匕京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告(2016 2017)公布，其中提到，2015年 9 月至2016年 9 月，北京市年度综合阅读率较上，年增长1%且数学媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率.为了调查某校450名高一学生(其中女生210名)对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了 15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下(单位：小时)：学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15数字阅读时间 23 58 30 60 41 51 64 53 55 67 51 25 33 45 47纸质阅读时间 28 66 36 53 45 62 48 47 42 52 5()21 30 42 42(1)求被调查的15名学生中男生的人数；(2)请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；(3)平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40 小时的概率.第4页，共16页21.已知抛物线C：y2=2px过点A(l,2).(1)求抛物线C的方程；(2)求过点P(3,-2)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为自，k2,求证：七 七为定值.22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：5+=1 9 6 0)的离心率为当，点(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/与圆O：/+丫2=2相切，与椭圆C相交于P,Q两点，求证：/POQ是定值.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查频率的求法，考查频率分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.由频率分布表的性质能求出剩下3 组的频率之和.【解答】解：容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7 组频率之和为0.79,则由频率分布表的性质得剩下3 组的频率之和为P=1-0.79=0.21.故选：B.2.【答案】A【解析】解：由古典概率的计算公式可得：甲被录用的概率为P=,=|,故选：4.根据古典概率的计算公式即可求解.本题考查了古典概率的运算公式，涉及到排列组合的应用，属于基础题.3.【答案】B【解析】解：由表格中的数据可得：1=上 弓 空=3,=7+6：9+10=g.4 4则样本点的中心的坐标为(3,8).即回归直线必过定点(3,8).故选：B.由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求.本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题.第 6 页，共 16页4.【答案】C【解析】解：设圆方程为/+(y-1)2=2,.直线y=2 与圆相切，.圆心到直线的距离等于半径r,；.r =l故圆的方程为：/+(y-=1,故选：C根据题意设圆方程为/+(y-1)2 =,由圆心到直线的距离得到半径r,代入即可得到所求圆的方程本题考查了点到直线的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题.5 .【答案】D【解析】解：根据题意，椭圆C；江+日=1,2 5 9其中。=同=5,b=炳=3,则 c =V 2 5-9 =4，P 是 C上任意一点，则4 P&F 2 的周长2 =|P&|+PF2 +FrF2=2 a +2 c =1 0 +8 =1 8；故选：D.根据题意，由 椭 圆 的 方 程 求 出 b的值，计算可得c 的值，而42 片 尸 2 的周长1 =I PF i l +PF2+F1F2,计算可得答案.本题考查椭圆的定义，注意由椭圆的方程求出。、。的值.6 .【答案】D【解析】【分析】设抛物线方程分别为/=m x,或/=ny,代入点(-4,-2),解方程，即可得到机，加进而得到抛物线方程.本题考查抛物线方程的求法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题.【解答】解：设抛物线方程为y2 =m x,代入点(一 4,一 2)可得，4 =-4 m,解得，m=1,则抛物线方程为*=-x,设抛物线方程为M=ny,代入点(4,2)可得，16=-2n,解得，n=-8,则抛物线方程为/=-8y,故抛物线方程为丫 2=-X,或/=-8y.故选：D.7.【答案】B【解析】解：双曲线正一日=1 的a=3,b=2,9 4则双曲线的渐近线方程为：y=+-ax,即为y=|x.故选：B.求出双曲线的a,b,再由渐近线方程，即可得到.本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体后，k=l,S=2,不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，k=2,S=|,不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，k=3,S=|,满足退出循环的条件；第8页，共16页故输出S 值为:故选：C.9.【答案】C【解析】解：抛物线y=2 即为M=4y,由抛物线/=2py的准线方程为y=-今可得/=4y的准线方程为y=1.故选：C将抛物线方程化为标准方程，由抛物线/=2py的准线方程为丫 =一会 计算即可得到所求准线方程.本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，属于基础题.10.【答案】C【解析】解：设弦与椭圆的交点坐标分别为4（3力）,B（x2,y2）.代入椭圆方程可得:两式作差可得:（与+毛 乂/一 毛）（加+力）（乃一乃）16 40.,又 M 是 的 中 点，则%1+%2=4,丫 1+丫 2=2,代入化简可得:呼=-3 所以这条弦所在直线的斜率为%1一N 2故选：C.设出弦的两个端点的坐标，并代入椭圆方程，利用点差法以及中点坐标公式即可求解.本题考查了椭圆的性质，涉及到点差法和中点坐标公式的应用，属于基础题.11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题.由条件M&_LFIF2,sinMF2F1=列出关系式，从而可求离心率.【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则|=9,|M F2|=J 4 c 2 +（今 2,s i n z M F =?可得：2 b4=a2c2,即企 挟=a c,X c2=a2+b2,可得V 5 e 2 -e -&=0,e 1,解得e =V 2.故选：A.1 2 .【答案】B【解析】解：当椭圆的焦点在x 轴上时，则0?n 1 2 0,所以N 4 M。6 0 ,则t a n 乙4 M。=理 工 百，解得0 cm W 1,y jm当椭圆的焦点在y 轴上时，则机 3,假设M位于短轴的端点时，乙4 M B 取得最大值，要使椭圆C上存在点M满足乙4 M B =1 2 0 ,则乙4 M B 1 2 0,所以乙4 M。6 0 ,则Tt a n NA M。=唱 2 g,解得m 2 9,所以m的取值范围为（0,1 U 9,+8）,故选：B.对椭圆的焦点的位置分两种情况讨论，然后利用椭圆的几何性质以及特殊位置即可求解.本题考查了椭圆的方程以及几何性质，考查了学生的运算能力以及分类讨论思想，属于中档题.1 3 .【答案】（2,0）第10页，共16页【解析】解：由双曲线的方程可知，a2=3,b2=l,Me2=a?+炉=3 +1 =4,即c =2,故双曲线的焦点坐标为：（2,0）,故答案为：（2,0）根据双曲线的方程和性质即可得到结论.本题主要考查双曲线的性质和方程，根据，儿。之间的关系是解决本题的关键.1 4.【答案【解析】解：一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上爬来爬去，地板砖共有9块，其中黑色地板砖有4块，二它最后停留在黑色地板砖上的概率是p=i故答案为:g.地板砖共有9块，其中黑色地板砖有4块，由此能求出它最后停留在黑色地板砖上的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 5.【答案】乙丙【解析】解：由频率分布直方图的性质得：在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1,故甲同学的观点错误；由随机抽样的性质得：简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较 极端 的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，故乙同学的观点正确；由茎叶图的性质得：茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示，故丙同学的观点正确：由标准差的性质得标准差越大，数据的离散程度越大，故丁同学的观点错误.故答案为：乙丙.利用频率分布直方图、随机抽样、茎叶图、标准差的性质直接求解.本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图、随机抽样、茎叶图、标准差的性质等基础知识，考查数据分析能力，是基础题.16.【答案】y【解析】解：作 AM、BN垂直准线于点M、N,贝准线与x 轴交于G,又|BC|=2|B F|,得|BC|=2|BN|,鬻=蜉=|,得|BN|=3P=*|CF|=3|BN|=4,B F,设 瑞唱二导解 得 的=%.-.AB=BF+A F=l+4=,故答案为：费.分别过A、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合己知即可得的，A F,则|4B|可求.本题考查抛物线的定义与几何性质，考查化归与转化、数形结合的解题思想，考查运算求解能力，是中档题.17.【答案】解：(1)因为点P(x,y)是 MN的中点，.x=.pnxo=2x-4y=U =2y，又就+y衣=4，.(2x-4)2+(2y)2=4,即(2)2+y2=1.所以点P 的轨迹方程为Q-2)2+V =i.(2)由(1)知点P 的轨迹是以(2,0)为 圆 心,1为半径的圆.圆心(2,0)到直线3x+4y+4=0,的距离d=明*沪=2 1.所以点P 到直线3x+4y+4=0,的距离最大值为2+1=3,最小值为2-1=1.【解析】(1)用中点坐标公式，用 P 点坐标表示M 点坐标，代入已知方程即可.(2)用点到直线距离公式及圆的几何意义求最值即可.本题考查了动点轨迹的求法，考查了直线与圆的位置关系，考查了最值问题，属中档题.第12页，共16页1 8.【答案】解：（1）;=产=3,亍=也例普十=4 7,?=I%=845,媛=5 5,845-5X3X47-b=，-5芯5-5不X9一 =1J4，a=y-b x =4 7-1 4 x 3 =5-y 关于X 的线性回归方程为;=1 4 X+5；(2)由(1)知，b=1 4 0,故 2 0 1 4 年至2 0 1 8 年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加1 4 户.令x =7，得丫 =1 4 x 7 +5 =1 0 3-故该社区在2 0 2 0 年脱贫家庭户数为1 0 3 户.【解析】(1)由已知求得 与;的值，则线性回归方程可求；(2)由(1)知，b =140,故 2 0 1 4 年至2 0 1 8 年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加1 4 户.在回归方程中取x =7 求得y 值，即可得到该社区在2 0 2 0 年脱贫家庭户数.本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题.1 9.【答案】解：（I）由题知c =l,e =；=S:.a=V 2,b =1,椭圆 C：+y2=1.2,（口）设直线/方程为丫=。+7 7 1,点4（孙 71）8（%2，%），由方程组及+v=i,l y =%+m化简得：3/+4 m x +2 m2 2 =0,由=1 6 m2 1 2（2 m2-2）=8 m2+2 4 0,可得m?0,乃+丫 2=4t,y1y2=-8t 12.(6分)._ 月 一 2.%-2 _ yi-2.yz-2 _ 16 _ 16 _所以 1 2-37 y1y2+2(y1+y2)+4-8t-8+8t 4 4所以0 用为定值-2.-(12分)【解析】(1)由抛物线仅供的点，可得P，可求抛物线的标准方程；(2)设过点。(3,2)的直线/的方程为-3=1 3 +2),代入丫2=%利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求灯 七的值.本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.22.【答案】解：(1)由题得e=立，所以c 2=；a 2,则从=；&2,a 2 2 24 1再将点(2,1)带入方程得葭+#=1,解得。2=6,所以=3,则椭圆C 的方程为：兰+乃=1；6 3(2)当直线PQ斜率不存在时，则直线PQ 的方程为x=近或x=-V 2，当 =应 时，P(V2,V2),Q(V2,-V2).此 时 加 丽=0，所以OP_LOQ,即NPOQ=90。，当 =-方 时，同理可得。P1O Q,O Q =90。；当直线P。斜率存在时，不妨设直线PQ 的方程为丫=kx+m,即kx y+m=0,因为直线与圆相切，所 以 鲁 =V I,即m2=2 1 +2,(kx-y+m=0联立I-y2,得(1+2 1)/+4kmx+2ni?-6=0,I =116 3设 P(X1，%)，?。2，、2)，则有工1+芯 2=一而后,%犯=多2m巨2-61 1：匕时而 OQ=%1%2+V1V2=X1X2+(kx,+m)(fc%2+机)=(1+fc2)x1x2+km(x1 4-x2)+m 2=(1+1)X +km x(一 +m2,将n?=2/+2代入上式可得丽.丽=0,所以O P 1 O Q,则zPOQ=90。；综上：NPOQ是定值为90。.【解析】本题是直线与椭圆的综合，计 算 出 前 的=0 时判断NPOQ是否为定值的关键，属于中档题.(1)由题得e=得到。，b,c的关系，再将点(2,1)代入可解得a2=6,进而得到方a 2程；(2)考虑P Q 斜率不存在和存在两种情况，分别计算出而-OQ=0,可得 O Q =90。为定值.第1 6页，共1 6页