2022年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（解析版）.pdf

2022年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合4=-2,-1,0,1,2,B=y|y=2，+1,则 A C (CRB)=()A.-2,-1,0 B.-2,-1,0,1 C.0,1,2 D.-1,0,1,2)2.若复数z满 足(3-4/)z=-1+i(i为虚数单位)，则复数z的共软复数W=()A-B.*C,一L，D.5 5 25 25 25 253.学校开设了多种体育类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体育锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进 行 猜 测.甲 说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙 说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙 说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对,有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是()A.游泳B.武术 C.体操 D.排球4.经过直线y=2x+l上 的 点 作 圆/+产-+3=0的切线，则切线长的最小值为()A.2B.V 3 C.1 D.5/5K 1 n5.已知s in a)而，则 c o s(2 a r)的 值 是(A-46.已知三棱柱ABC-A山|G 的顶点都在球。的表面上，且CB=CA,Z A C B -,若三棱柱 A B C-4 B C 的侧面积为12+6料，则球。的表面积的最小值是()A.8nB.127r C.24n D.32n2 27.已知双曲线C：(a 0,b 0)的上、下焦点分别是外，F2,若双曲线C上 存 在 点 尸 使 得 西 丽=-4/,呵2+画2=4标+3，则其离心率的值是()A.&B.2 C.y2 D.38.已知函数/(x)对任意X CR都有f (x+4)=f(x)-f(2),若)，=/(x+l)的图像关于f(x1)-f(x2)直线x=-1对称，且对任意的，如X 2曰0,2J,当时，都有-0.x2-xl则下列结论正确的是()1A.f(-3)1 1 1B.f(-3)碍1 L _f (4)1 1 _J_C.11 f(-3)f(4)f(T)1D.f(4)吟）T(h)二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分,共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.（多选）9.学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A -结伴步行，B-自行乘车，C-家人接送，。-其他方式.并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（）扇形图中D的占比最小学生上学空通方式扇彩网A.B.柱形图中A和C一样高C.无法计算扇形图中A的占比D.估计该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半（多选）1 0.在正方体A B CD-A B iG O i中，E为4。的中点，F为B D的中点，则下列结论正确的是（）A.E F/CD B.E FVA D C.E F _L平面 A B C。D.E F平面 B CG B i（多选）1 1.已知函数/（x）=+大+，其中a,bE R,则下列条件中使得函数/（x）有且仅有一个零点的是（）A.a 0X1,x40三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .已知向量之=(2,1),芯=(m,-1),且W (W-芯)，则机的值为1 4 .已知抛物线C：尸=21(p0)的焦点为F,准线为/,A,B是抛物线C上的两个动点，且 A F L 4 B,N A 8尸=3 0，设线段AB的中点M在准线I上的射影为点N,则|MN|TAB!的值是_TT兀1 5 .已知函数f(x),函数f(x)的图像关于直线x=+对称，当x E g，兀时，6 2函 数/(x)的取值范围是-2,1,则同时满足条件的函数/(x)的一个解析式为.1 6.设数列 的前项和为S”且S“=2 a“+-7,若3 0 以5 0,则 上 的 值 为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .记 A B C中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且c=bcos A+“s in 8.(1)求 8；(2)若匕=4,点M为A C边的中点，且|而|求 A B C的面积.1 8 .已知等差数列 斯 的前项和为S,又对任意的正整数机，m,都有0151=一2,且n-m55=3 0.(1)求数列 小 的通项公式;(2)设 _ 方 T,求数列 5的前 项和bn=21 9 .如图，在四棱锥P-A 8 C O中，底面A B C D是梯形，A D/BC,A D=2 B C=2Q,A 8=2,ZB A =3 0 ,C D L A D,P A _L平面 A B C D(1)若E为 巴 的中点，证明：B E平面P C ；(2)若P B与底面A B C。所成角为4 5。，求二面角B-P C-。的正弦值.2 0.在 2 0 2 1 年 5月，A市开展了庆祝中国共产党建党百年“学党史，知党情”大型党史知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了 1 0 0 名参赛人员的成绩（满分1 5 0 分）进行统计分析，将所抽取的1 0 0 名参赛人员的成绩数据绘制成频率分布直方图如下图所示，直方图中m,n的关系为m-n=110 0 0，根据频率分布直方图中的信息解答下歹 I J 问题.（1）从成绩在 9 0,1 1 0）内的参赛人员中任取3人，求其中至少有2人的成绩在 9 0,1 0 0）内的概率;（2）用分层抽样的方法,先从成绩分别在 1 1 0,1 2 0）,1 2 0,1 3 0）和 1 3 0,1 4 0）内的参赛人员中共抽取9人，再从这9人中任取4人，设抽取的4人中成绩在 1 1 0,1 2 0 内的人 数 为 奉 求 S的分布列和数学期望;（3）若参赛人员共有1 0 0 0 人，现有8 公司准备拿出一定资金，奖励参赛人员中成绩在1 2 0 分及以上的参赛人员，并拟订了两种奖励方案.方案一：人均奖励3 3 3 元；方案二:把成绩在 1 2 0,1 3 0）内的记为三等,成绩在 1 3 0,1 4 0）内的记为二等，成绩在 1 4 0,1 5 0 内的记为一等，并按等级每人分别奖励2 0 0 元、4 0 0 元和6 0 0 元.若你是竞赛活动的负责人，用统计知识分析，你将选择哪一种奖励方案，并说明理由.2 1.已知函数/(x)=0+(1-2a)ex-ax.（1）讨论函数f （x）的单调性;(2)当 a=时，若V x 0,都有 2f(x)-f(x)W-x2-(m+2)x,求实数 tn 的取值范围.2 2.已知椭圆C：号表=1 (a b 0),若下列四点 中恰有三点在椭圆C 上.P （l,1）,p2（o,1）,P3（-l,亨），P4（l,-P l （6,V 2）.P2（o,-1）,P3（V 2 .宰），P4（V 2 .(1)从中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C 的标准方程;(2)在(1)的条件下，设直线/不经过点P2且与椭圆C 相交于A,B 两点，直线P2A与 直 线 的 斜 率 之 和 为 1,过坐标原点。作 0。垂足为。(若直线/过原点0,则垂足。视作与原点0 重 合)，证明：存在定点。，使得|。|为定值.参考答案一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合4 =-2,-1,0,1,2 ,B=yy=2x+,贝！（CRB）=（）A.-2,-1,0 B.-2,-1,0,1 C.0,1,2 D.-1,0,1,2【分析】结合指数函数性质先求出集合8,然后结合集合交集及补集运算即可求解.解：4=-2,-1,0,1,2 ,8=3），=2*+1 =）射1 ,所以 CR8=），IPW 1 ,则 A C （CRB）=1,0,-1,-2）.故 选:B.2.若复数z 满 足（3-4 i）z=-1+i（i为虚数单位），则复数z 的 共 轨 复 数（）【分析】根据已知条件，结合共加复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.解：（3 -4 i）z-1+i,_-l+i _ （-1+i）（3+4 i）_ 7 _ _ _,2飞-九（3-）（3+九）一石在“7 1 .7 -r-1.2 5 2 5故选：D.3.学校开设了多种体育类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体育锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进 行 猜 测.甲 说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙 说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙 说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对,有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是（）A.游泳 B.武术 C.体操 D.排球【分析】根据题意，分别分析甲、乙说的全对，甲、丙说的全对，乙、丙说的全对三种情况，分析即可得到答案.解：若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾；若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾；若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，小明选的不是武术也不是排球，满足题意，此时甲说的不是游游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意.所以小明选择的是体操.故选：C.4.经过直线尸2x+l上的点作圆声)2-我+3=0 的切线，则切线长的最小值为()A.2 B.百 C.1 D.7 5【分析】根据题意，求出圆的圆心，设其圆心为M,P 为直线y=2 x+l上任意一点，分析可得当直线尸与直线y=2x+l垂直时，最小，此时切线长最小，由此计算可得答案.解：根据题意，圆/+产-4 3=0,即(x-2)2+=1,其圆心为(2,0),半径r=l,设点M(2,0),P 为直线y=2x+l上任意一点，当直线MP与直线y=2x+l垂直时，|MP|最小，此时切线长最小，此时|MP|的值就是点M 到直线y=2 r+l的距离，故|MP|“=d=f+l 1=近,V4+1且切线长的最小值为J d?-r 2=2；故选：A.TT 1 兀5.已知 s in 则 cos(2a-)的 值 是()6 3 3A.-J-B.C.上 D.9 9 9 9【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦公式化简所求即可得解.IT 1解：因为 s in(k-a )、,6 3j 1 1 j 11所以 cos(2 a-)=cos(-2a)=cos2(-a)=1-2sin2(-a)=1-23 3 6 6X(1)2 =1.3 9故 选:B.6.已知三棱柱ABC-A山C i的顶点都在球。的表面上，且CB=CA,NACB上；，若三棱柱 ABC-A囚 G 的侧面积为1 2+6 E，则球O 的表面积的最小值是()A.8TlB.127rC.24nD.32K【分析】利用三棱柱的侧面积、余弦定理、正弦定理列方程，结合基本不等式求得球。半径的最小值，从而求得球0的表面积的最小值.解：依题意可知三棱柱4 B C-4 B C I是直三棱柱，设其高为，设 A B=c,A C=B C=a,则(a+a+c)X h=1 2+6 3 2a+ch2 1、，1 2+6“、2,6+373、2 63+3673了-c 2+4 a c 由余弦定理得c?二a a2-ZaZc。/,即 c2=3a2,c=V 3 a，c _ n C设三角形A B C的外接圆半径为r,则.2九 眄，S l il 3,2,2所以球0的半径R2=/+()2用 _勺_ c2+63+36V 33 4a2+c2+4ac2.63+36e 2 9、c I 2 9.=a +-z=-7=a 5-，以 残 -了二6,(7+4V 3)a2 a2 V a2当且仅当a&=9,a2=3,a=正时等号成立所以球O的表面积的最小值为4n X6=24n.故选：C.2 27.己知双曲线C：上3-%=1(4 o,b 0)的上、下焦点分别是Q,F1,若双曲线C上存在点P使 得 可 玩=-4标，正;+可2=4序+3科 则其离心率的值是()A.&B,2 C.如 D.3.9 【分析】设尸(沏，州)，结 合(P F+P F 2)以及P FP F 2列方程，化简求得离心率.2 2解：设P (xo,*),则 _ 迎=1，a b(P F1+P F2)=P F +2P F1P F2+P F2=3b-4a-(2P 0)=3bZ-4a4所以 41 P ol 2=3b2-4a2,故 4(x：+y力=3b2-4a?,设尸I (0,c),F2(0,-c),=网7yo2Oy+2oX即2C24a 由得，4(c2-4a2)=3-4a2,A4 c 2=o3ub2.+-1in2 a 2，44c2 =30 r(c 2-a 2)+1-2n a 2，c 2=n9 a2，c-_3Qa,c=3-a故选：D.8.已知函数f (x)对任意在R都有/(x+4)=于 3-/(2),若y=/(x+l)的图像关于f(Xi)-f(x2)直线x=-1对称，且对任意的，Xi,X2e 0,2,当X1 W X2时，都有-0,x2-xl则下列结论正确的是()A.f(-3)B.f(-3)l _L _f 吟)f(4)11 If得)11 1 -J-c.,1 1 .f(-3)f(4)f 5 )1 1.冷 D.ff(xj)-f(x2)【分析】y=/(x+l)分析奇偶性，人x+4)=/(x)-八2)分析周期性，由-0 x2-xl分析单调性，结合题意选出答案.解：因为y=f(Jt+1)的图象关于直线x=-1对称，所以yf(x)向左平移一个单位关于直线x=-1对称,所以y=f(x)关于直线x=。(y轴)对 称，所以y=f (x)是偶函数，所以/(-2)=/(2),又因为/1(x+4)f(x)-f(2),令=-2 得：2/(2)=/(-2),所以 4(2)=/(-2)=/(2),所以/(2)=/(-2)=0,所以f (x+4)=/(x)所以f(x)周期为4,XI,X2G 0,2,当 W X2 时，都有-f-(-x-,-)-f-(-x-2)/(4),且 f 吟)f(5)=f (3)=f (-3)，所以 0 f 吟)f (-3)f(4)，1 I K f (-3)f ,故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(多 选)9.学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A -结伴步行，8-自行乘车，C-家人接送，。-其他方式.并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是()学生上学通方式样附图学生上学女通方式扇形图A.扇形图中。的占比最小B.柱形图中A 和 C 一样高C.无法计算扇形图中A 的占比D.估计该校学生上学交通方式为A 或 C 的人数占学生总人数的一半【分析】利用条形统计图和扇形统计图的性质直接判断求解.解：由条形统计图知，8-自行乘车上学的有4 2 人，C-家人接送上学的有30 人，D-其他方式上学的有18人，采用3,C,。三种方式上学的共90 人，设 A-结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A-结伴步行上学与8-自行乘车上学的学生占60%,所 以 交 祟=然，解得=30，x+90 10 0故条形图中A,C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%,A 和 C 共占约50%,故。也正确.。的占比最小，A 正确.故选：ABD.（多选）1 0.在正方体A 8 C O-4 B C。中，E 为 A d 的中点，F 为 的 中 点，则下列结论正确的是（）A.EF/CD B.EFLADC.EF_L平面 A S G。D.E尸 平面 BCGBi【分析】作出图形，根据线线垂直、平行，线面垂直、平行的判断定理，逐一判断，可得正确选项.解：对于选项4：连接AC,DtC,则尸为AC的中点，所以EFC 9,故 A 正确；对于选项8：在A/D 中，AFFD,E 为 A A 的中点，则 E尸和A 9 不垂直，故 8 错误;对于选项C：因为。|C J _ O G,D iCL A D,A D Q D C i=D,所 以。C J _平面4囱。，又E F/D C,所以E凡L平面A B C。，故C正确.对于选项。:E F和平面AAQQ相交,而平面A4QQ 平面B B i G C,则E F和平面B B i G C(多 选)1 1.已知函数/(x)+a x+b,其中a,beR,则下列条件中使得函数/(x)有且仅有一个零点的是()A.a 0,从而得出了(X)单调递增，即可判断B是否正确，得出了(外的极大值，极小值，并判断其正负，即可得出/(x)仅有一个零点，即可判断C是否正确，取6=2,利用导数得出f(x)的极大值为=4,极小值为/(I)=0,从而可得/(x)有两个零点，即可判断。是否正确.解：由题知/(x)=3 +，对于A,由/(x)是奇函数，知=0,因为a (),极小值为了(爽 _)=1-2叵(),3 9 3 9可知/(X)仅有一个零点，C正确，对于。，若取6=2,则f(x)的极大值为/(-I)=4,极小值为/(I)=0,此时/(X)有两个零点，。错误：故选：BC.(多 选)1 2.设 函 数y=f(x)定 义 域 为D,若 存 在x,y ED,且使得2f(等)=f(x)+f(y)，则称函数y=f(X)是D上 的“S函数”，下列函数是“S函数”的 是()A.y=2x B.y=x-sinx+1 ,x 0C.y=lnx D.y=而于=22签即2f(姿)f(x)+f(y)，当且仅当取等号，又所以2f(燮)in(x y)，不满足2f(3|匕)=f(x)+f(y)，故选项C不成立；对 于D,y=x,当xWO时，y恒成立，即存在x,ye(-,0,使得1,x 0)的 焦 点 为 凡 准 线 为/,A,3 是抛物线C 上的两个动点，旦 A尸，A&NA8/=30,设线段A 8 的中点M 在准线/上的射影为点N,则|MN|TAB!的值是近.一 2 一【分析】在A8F 中，因为 AF_L4B,NABF=30,设H Q=a,则|F8|=2a,|A B|=F a,进而由图形可得|MN|=争，可求.M NA B解：在AAB尸中，因为A儿L4B,ZABF=30,设H =a,则尸为=2,则 2|MN|=|A4|+|88|=|AF|+|BF|=a+2a=3a,则|MN|=杯，所 以 樽 =卷 =近.|AB|7 7 7 2故答案为：近.2JT TT15.已知函数f(x),函数/(x)的图像关于直线x=一对称，当x，兀 时，02函数/(X)的取值范围是1-2,1,则同时满足条件的函数/(x)的一个解析式为兀f(x)=2 s i n(2 x )(答案不唯一)6【分析】根据函数的取值范围先确定A=2,然后利用对称性和取值范围确定3 和(p的值即可求出函数的一个解析式.JT解：当 兀 时，函数/(X)的取值范围是-2,1 ,函数/(x)的最小值为-2,则4=2,函数没有取到最大值2,则7兀 义，即 等 萼，得3 4,2 2 3 2不妨设 3=2,则设/(%)=2 s i n(2 x+(p),T T ,函数/(X)的图像关于直线x =一 对称，6兀 兀*2 X (-)+(P=ZTTH-,髭Z,6 2得(p=E+5冗，,当 k=-1 时，(p=-6 6JT此时f(x)=2 s i n(2龙),6兀当乂 -2 兀 时，2 x 6111,2TC,则当器时，/(%)取到最大值f(x)=2 s i n且匚=2 X=1,6 6 6 2当 2 x-3-=芸 二 时，f(X)取到最小值/(x)=2 s i n-=-2,6 2 2则/CO的取值范围是-2,1,满足条件，T T故答案为：/(x)=2 s i n(2 x-),(答案不唯一).616.设数列 ,的前几项和为S”且5=2如+-7,若3 0诙V 5 0,则 的 值 为4 .【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列中的攵的值.解：数列 斯 的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-7,，当=1时，解得。1=6；当 时，Sri-=2an-i+n-8,，-得：an=2an-2an-i+l，整理得 an=2an-1,即-1=2 an-1)；故数列。-1是以S -1=5为首项，2为公比的等比数列；所以 a n-l=5 X 2n 1,整理得a n=5 X 2.+1（首项符合通项），故 a n=5 X 2 k l+l.由于3 0 诙V 5 0,故 k=4.故答案为：4.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记 A 8 C 中，a,b,c 分别是角 A,B,。所对的边，c=bcosA+asinB.求 B（2）若匕=4,点 M 为 AC边的中点，且|而|=2&，求 A BC 的面积.【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=l,结合范围0 8 0 得“W6,当6时,综上得a.a?3 i -a.Tn=2 2+2 2+2 2 +2 2+2 2=6 1 +2n5)6 4-26A l n 71 9.如图，在四棱锥 P-A B C。中，底面 A B C。是梯形，A D/BC,A =2 8C=2 j,A B=2,ZB A D=30 ,C D L A D,P A _L 平面 A B C Q.(1)若E为%的中点，证明：B E平面P C D；(2)若P B与底面A B C。所成角为4 5。，求二面角B-P C-。的正弦值.!-：【分析】(1)设P。的中点为尸，连C E E F,证明边形E F C B为平行四边形，得至I J 8E/CF,然后证明B E平面P C D.(2)以。为坐标原点，D A,D C,而的方向分别为x轴、)，轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面P B C的一个法向量，平 面P C D的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B-P C-D的正弦值即可.【解答】证 明：设尸。的中点为F,连CF,EF,因为E为P A的中点，所以E F/A D，得E F=百，因为A D/B C,B C=V3.所以E F且B C,得四边形E F C 8为平行四边形，所以8E C F,又B E C平面尸C O,C F u平面P C O,所以B E平面P C Q.(2)解：过。作。尸A,因为尸A J _平面A B C O,所以。Q J _平面A B C C,又已知C )_L A。，因此以。为坐标原点，D A.D C,而的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为P A L平面A B C O,所以/P B A为P 8与平面4 B 8 所成角，即N P B A=4 5 ,又A B=2,所以 P A=2,又因为A D=2 B C=2我，ZD A B=30,得矩,0,0),P(2愿，0,2),B(V3,1,0),C(0,1,0).于 是 P B=(-V3,1,-2),B C=(-V3,0,0),而=(2 6，0,2),D C=(0,1,0).设 平 面 PBC 的一个法向量为n =(x ,y ,z1),则nj P B=-V3 X +y i -2 z =0 i=2,所以平面P B C 的一个法向量为n =(0,2,1),一f n9 D P=2 V3 x9+2 z9=0设平面P C。的一个法向量为n 2=(x 2，y2.z2),则 一 ，n2 D C=y2=0令 Z2=次，则 及=-1,所以平面P C。的一个法向量为 2=(-1,0,V3),丁日 l-*nl n2 V 3 _ y”_V15J f ecos ni1，n9/=;-=7=-汽 二 厂 二ic，2|n i|-|n2|V 5 V 4 2 V5 1 0设二面角 B-PC-D 的平面角为 0,则si n 8=J 1 一 c o s?V n ，n2 =，所以二面角B-P C-D的 正 弦 值 为 返1 02 0.在 2 02 1 年 5月，A市开展了庆祝中国共产党建党百年”学党史，知党情”大型党史知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了 1 0 0 名参赛人员的成绩(满分1 5 0 分)进行统计分析，将所抽取的1 0 0 名参赛人员的成绩数据绘制成频率分布直方图如下图所示，直方图中m,n的关系为方门二丁需，根据频率分布直方图中的信息解答下列问题.(1)从成绩在 9 0,1 1 0)内的参赛人员中任取3人，求其中至少有2人的成绩在 9 0,1 0 0)内的概率；(2)用分层抽样的方法，先从成绩分别在 H 0,1 2 0),1 2 0,1 3 0)和 1 3 0,1 4 0)内的参赛人员中共抽取9人，再从这9人中任取4人，设抽取的4人中成绩在 1 1 0,1 2 0 内的人 数 为 亭 求 的分布列和数学期望；(3)若参赛人员共有1 0 0 0 人，现有B公司准备拿出一定资金，奖励参赛人员中成绩在1 2 0 分及以上的参赛人员，并拟订了两种奖励方案.方案一：人均奖励3 3 3 元；方案二:把成绩在 1 2 0,1 3 0)内的记为三等,成绩在 1 3 0,1 4 0)内的记为二等，成绩在 1 4 0,1 5 0 J内的记为一等，并按等级每人分别奖励2 0 0 元、4 0 0 元和6 0 0 元.若你是竞赛活动的负责人，用统计知识分析，你将选择哪一种奖励方案，并说明理由.【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，求 出m,n,再结合古典概型的概率公式，即可求解.（2）由题意成绩在 1 1 0,1 2 0）、1 2 0,1 3 0）和 1 3 0,4 0）内的分别有3 2 人、2 4 人和1 6 人，因此抽取的9人中成绩在 1 1 0,1 2 0）内的有4人，成绩在 1 2 0,1 3 0）内的有3人，成绩在 1 3 0,1 4 0）内的有2人，故 的取值范围为 0,1,2,3,4）,分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解.（3）分别求出两种方案的期望，通过比较期望的大小，即可求解.解：（1）V （0.0 0 5+;n+0.0 3 2+0.0 2 4+n+0.0 0 6）义1 0=1,；.，W+=0.0 3 3,又 二焉，加=0.0 1 7 鹿=0.0 1 6,成绩在 9 0,1 0 0）内的有5人，成绩在 1 0 0,1 1 0）内的有1 7 人,C 能;7+煤9故所求概率p=-=2 2（2）由题意成绩在 1 1 0,1 2 0）1 2 0,1 3 0）和 1 3 0,4 0）内的分别有3 2 人、2 4 人和1 6 人，因此抽取的9人中成绩在 1 1 0,1 2 0）内的有4人，成绩在 1 2 0,1 3 0）内的有3人，成绩在 1 3 0,1 4 0）内的有2人,故 S 的取值范围为 0，1,2,3,4）,r4,5 ,P (&=0)p(&=1)=,C94或 2 0 一.、而，P（g=2）=l2r,2C 4c5 1 04 2 1(t 1 0 公 c：1p (&=3)就P (&=4)方二诿 故；的分布列为:01234p51262063102110631126故期望E(&)=/晋+2 148000,因此选择方案一，既能使得获奖人员得到的奖励资金总额较多，又淡化了等级意识，可以更好的发挥激励作用.21.已知函数/(x)=eZ，+(1 -2a)ex-ax.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当 a=l 时，若V x 0,都有 2f(x)-f (x)W-N-(m+2)x,求实数 m 的取值范围.【分析】(1)求出导函数，分aWO和a 0,判断导函数的符号，判断函数的单调性即可.x 2 1 x 2 1(2)不等式然x)-/(x)W -x2-(m+2)x 可化为 1t三二!,设 g(x)=e-X X求出导函数，设方(x)=F-x -1,利用导函数判断函数的单调性，得到g(x)2 g=e-2,然后求解，”的范围.解：(1)由已知得函数/(x)的定义域为R,得 f (x)=2eZ，+(1 -2a)F -a(2er+1)(e-a),由于2 e+l 0,从而当aWO时，f (x)0恒成立，故函数f (x)在R上单调递增，当 a0 时，由/(x)0,解得 由/(x)0 时，不等式4 (x)-/(x)W-x2-(w+2)x 可 化 为 后 e-x Tx设g(x)qix则g，金哈旺设 h(x)=-x-1,则 h(x)=ex-1,因为0,所以 h(x)0,因此/?(x)在(0,+o o)上单调递增，所以(x)h(0)=0,B P ev-x-1 0,得 g (x)在(0,1 单调递减，在(1,+8)单调递增，所以g (x)2 g (1)=e -2,因此?W e-2,得实数机的取值范围为(-8,e-2.2 22 2.已知椭圆C：三=1 (6 0),若下列四点 中恰有三点在椭圆C上.P1(l,1),P2(0,1),P3(-l,p4(l,；P l (V 2 V 2 )P2(c)-I)，P3(2 P4(V 2 y-)-(1)从中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C的标准方程；(2)在(1)的条件下，设直线/不经过点P 2 且与椭圆C相交于A,B两点，直线尸2A与 直 线 的 斜 率 之 和 为 1,过坐标原点。作 O CA8,垂足为。(若直线/过原点O,则垂足。视作与原点。重 合)，证明：存在定点。，使得|。|为定值.【分析】选择，判断P i (1,1)一定不在椭圆C上，将点尸 2 (0,1),尸 3 (-1,近)坐 标 代 入 椭 圆 方 程，解方程组可得答案；2_选择，判断且P 6历，&)一定不在椭圆C上，将点2(0,-1),巴(加,-亨)坐标代入椭圆方程，解方程组可得答案；(2)讨论直线斜率是否存在，然后分情况解答，直线斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，表示出k p _ A+k p j=-+逛 ，结合根与系数的 X1 x2关系式化简，并分类讨论。与。是否重合，可得答案.解：选择，(1)由P 3(-l，苧)，P4(l.率)关 于 y 轴对称，且四点中恰有三点在椭圆c 上,所以P 3,尸 4都在椭圆C上，且 P l(1,1)一定不在椭圆c 上,所以P 2(，1)，P 3 L I，长)，P/l，子)三点在椭圆C上,把 2(。，1).P3(-l.代入椭圆C的方程，得a=11 3 2 2a 4b,解得，=1a2=4b2=l2 所以椭圆。的标准方程为午+y 2（2）证明：当直线/的斜率不存在时，设/：x=m,A G n,以），B（m,-/）,因为kp A+kp 8二 二=2=1，解 得 吁r2A r2D m m m2,此时直线/过椭圆左顶点，直线/与椭圆C不存在两个交点，故不满足题意;当直线/的斜率存在时，设/：y=kx+t（r l）,A （xi,yO,B（及，”），y=kx+t联立1 v2 0,整 理 得（1+4&2）炉+8依+4产-4=0,v y=12所以 A=1 6 （4 K-产+1）0,xi+x?=x1X?=4 t1+4/l+4k，因为 kp送+k p Ryl 丫2-1X1 x2k x i+t-1 kxn+t-1 i i x i +x9=-+-=2 k+（t-1）（+）=2 k+（t-l）-X1 x2 X1 x2 xlx2=2k+g）二 学4t -4解得k=詈，当且仅当，-l时，A 0，于是 1：y=x+t，即y+l=g L（x+2），所以/过定点P（-2,-1）,令。为0尸的中点，即Q（-l,-y）,由-1知，与尸不重合，若。与O不重合，则由题设知O P是Rt A OD P的斜边，故I D Q|弓|OP|q醇；若。与O重合，则I D Q|V 1 0P|，综上，存在定点Q（-l,-y）,使得I D Q I为定值.选择，（1）由3（6，平），P4（V 2 ）冬）关于X轴对称，且四点中恰有三点在椭圆C上，所以必，巴 都在椭圆C上，且P i（&,J2）一定不在椭圆C上，所以2（，T），P3（V2，y-）P4（V 2 哮）三点在箱圆C上,把 2（0,-1）.P3（V2.平）代 入 椭 圆C的 方 程，得b 2 1 ,O 1-2-b 2=1,解得（otb2=l2 6所以椭圆C的标准方程为亍+y 2=.（2）当直线/的斜率不存在时，设/：x=m,A（机，涧），B（桃，-加），因为 k p*+k p?口丁 +=2=i，解得 m=2,B m m m此时直线/过椭圆右顶点，直线/与椭圆C不存在两个交点，故不满足题意；当直线/的斜率存在时，设/：y=kx+t-1）,A （x i,y）,B（及，yz）,y=k x+t联立，v2 ,整 理 得（1+4R）（+8依+4尸-4=0,-T+y=12所以4=1 6（4公-户+1）0,X +x/k t X X广4 t 段l+4k，l+4k?因 为y j+1 y2+l2 A kPp 2 bA+knX n=-x-1-2k x i+t+l k x n+t+1 1 1 x +x9-1-=2 k+（t+1）（一+-）=2 k+（t+1）-X1 x2 X1 x2 xlx22 k+（t+l）磬）-=1,4t-4解得当且仅当f 0,于是 1：x+t，即y-l=二 （x-2），所以/过定点 P（2,1）,令。为O P的中点，即Q（l,y）,由，1知，。与P不重合，若。与。不重合，则由题设知0 P是的斜边，故|D Q|卷|0P|q唱;若。与0重合，则ID QI IOPI，综上，存在定点Q（l,，），使得1。1为定值.