2022年中考数学：锐角三角函数（二）.pdf

2022年中考数学专题：锐角三角函数（二）1.如图，从 点C观测点D的仰角是（）水 平 地 面BA./.DAB B.Z.DCE C./.DCA D./.ADC2.如图，在A A B C中，AB=AC,ADBC和AABC关于直线B C对称，连接4。，与B C相交于点。，过 点C作CE _ LCO ,垂足为C,A D相交于点E ,若AD =8 ,BC=6 ,则 驾 些 的 值 为（）A B3 .如图，4B为。的直径，点P在4B的延长线上，P C,PD与。相切，切点分别为C,。.若AB=6 ,P C=4 ,则si n“A。等 于（4.如图，A A B C内接于。，径，若 AD =3 ,则 BC=(C-1/.BAC=120 ,AB=AC,BD 是。0 的直)DA.2A/3cos6 0的值等于（A.V 36.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算si n3 6 18,按键顺序正确的是（）A.|si n|3|6|D-l 1 1 E 3B.国 T|回|D M S|r|T HC.|2ndf|si n|T 1 回|D M S|T|T|D-国 E 回|D M S|T I D M S I 7.如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，A C与地面B C的夹角为a,则两梯脚之间的距离B C为（）A.4 cosa 米B.4 si na 米C.4 t ana 米D.士 米8 .如图，在平面直角坐标系中，矩 形O 4 8 C的04边 在 轴的正半轴上，0C边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4,2）,反比例函数y =j（x0）的图象与B C交于点。，与对角线0 B交于点E,与 力B交于点尸，连 接0D,DE,E F,D F.下列结论：sinZ-DO C=cosZ.BO C；0E =B E；（3）SA D 0 E=SA B E F；0D:DF=2:3.其中正确的结论有（）9.如图，在A A B C中，=9 0。，NB=42。，BC=8,若用科学计算器求A C的长，则下列按键顺序正确的是（）A.国 田 国 同 回 三 B-H E H 0 Hc-H E H in HD.国 三四 国 日 m10.如图，在边长为2的正方形A B C D中，若 将A B绕 点A逆时针旋转60,使 点B落在点B的位置，连 接BB,过 点D作DE L B B ,交BB的延11.如图，正方形4BCD的对角线相交于点。，点E在 边BC上，点?在C8的延长线上，E AF=45,AE交 BD于点、G,tanBAE =BF=2,则 FG=12.如图，区 中，,冈，将 回 绕 点 冈 逆 时 针 旋 转S得 到S ，连接 回，则叵的 值 是.13.如图，在矩形4BCD中，AB=4,4。=5,点E,F分别是边4B,BC上的动点，点E不 与A,B重合，且E F=AB,G是五边形4EFCD内满足GE =GF且4EGF=90。的点.现给出以下结论：4GEB与4GFB一定互补；点G到 边AB,BC的距离一定相等；点G到 边AD,DC的距离可能相等；点G到 边4 8的距离的最大值为2&其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）15.如图，在 AABC 中，BAC=30,AACB=45,AB=2,点 P 从点 A出发沿A B方向运动，到达点B时停止运动，连 结CP,点4关于直线CP的对称点为A,连 结A C,A P.在运动过程中，点A到直线A B距离的最大值是；点P到达点B时，线 段A P扫过的面积为16 .数学兴趣小组根据无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为4 0米，当无人机与旗杆的水平距离是4 5 米时，观测旗杆顶部的俯角为3 0。，则旗杆的高度约为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _米.（结果精确到1米，参考数据：V 2 1.41 ,V 3-1.7 3）廿 顶。-1 7 .在 R t Z A B C 中，Z C=9 0 ,3 c o s B=2,A C=2 ，则 A B=.1 8 .如图，在矩形4B C D 中，AD=3AB,对角线相交于点0,动 点 M从 点 B 向点 4运 动（到 点 4即停止），点 N 是 A D 上一动点，且满足4 M O N =90。,连结MN.在 点 M、N 运动过程中，则以下结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）点M、N 的运动速度不相等；存在某一时亥U 使SAAM N SM O N i S MN逐渐减小；（4）M N2=BM2+DN2.19.在/ABC中，/.ABC=90,AB=2,BC=3.点。为平面上一个动点，ADB=45。，则线段CD长 度 的 最 小 值 为.20.如图.在边长为6的正方形4BCD中，点E,F分别在BC,CD上，BC=3BE且BE =CF,AE 1 B F,垂足为G,。是对角线B。的中点，连 接O G、则O G的长为.21.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在 点P处测得正前方水平地面上某建筑物A B的顶端力的俯角为30。，面 向A B方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45。，已知建筑物A B的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：V 2 1.414,国。1.732).22.如图，4 C是。的直径，BC,B D是。的弦，M 为 B C的中点，OM与B D交于点F,过 点D作DE J.BC,交B C的延长线于点E ,且CO 平分 AACE .(1)求证：O E是。的切线；(2)求证：乙 CDE =ADBE；(3)若 DE=6,tanzCDE=|,求 BF 的长.23.在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53。，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30。，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到 0.1,参考数据 tan37 0.75,tan53 工 1.33,V3 1.73)24.如图，在RPABC中，U =90。，作BC的垂直平分线交4c于 点D,延 长AC至 点E,使CE =AB.(1)若4E=1,求ZL4BD的周长；(2)若 AD=gBD,求 tan/JlBC的值.25.如图，一艘轮船离开4港沿着东北方向直线航行60或海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求4 c的距离.26.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为I,底 座A B固定，高力B为50cm,连 杆B C长度为70cm,手 臂C D长度为60cm.点B,C是转动点，且AB,B C 与 C D始终在同一平面内.(1)转动连杆BC,手 臂CD,使ABC=143,CD/1,如图2,求手臂端点D离操作台I的高度D E的长(精确到1cm,参考数据：sin53。0.8,cos53 0.6)(2)物品在操作台I上，距离底座A端110cm的 点M处，转动连杆BC,手 臂CD,手臂端点D能否碰到点M?请说明理由.27.如图，四边形 4BCD 中，AD/BC,AD L AB,AD=AB=1,DC=县,以A为圆心，AD为半径作圆，延 长CD交。4于 点F,延 长D4交于点E,连 结B F,交DE于 点G.(1)求证：BC为。A的切线；(2)求 cosD F的值；(3)求线段BG的长.28.如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB=120m，楼 高CO=99m,某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外.在 点A处测得 点E的俯角NE4M=45。，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在 点A处测得点F的俯角AFAM =60,已知每层楼的高度为3m,E F=4 0 m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？(V3=1.73)29.如图，边长为1的正方形4BCD中，点E 为力。的中点.连接BE,将41BE沿BE折叠得到4 FBE,BF交4c于 点G,求CG的长.30.已知，在 A4BC中，ABAC=90,AB=AC.(1)如图1,已知点。在BC边上,ADAE=90,AD=A E,连 结C E.试探 究BD与CE的关系;(2)如图2,已知点D在BC下方,ADAE=90,A D=A E,连 结CE.若BD L AD,AB=2V10,CE =2,4。交 BC于点 F,求”的长;(3)如图3,已知点。在BC下方，连 结AD,BD、C D.若ACBD=30,NBA。15。，AB2=6,AD2=4+V 3,求 sin/BCO的值.参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用参考答案1.B 解析1.根据仰角的定义进行解答便可.解：从 点C观测点D的视线是C D，水平线是CE,从 点C观测点D的仰角是Z.DCE,故选：B.本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键.仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.2.D 解析2.根据轴对称的性质可得4c=CD,AB=B D,可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质推出 4。BC,AO=DO=4,BO=CO=3,乙4C0=N C C 0,在RtBOD中，根据勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求EO,4E的长，即可求解.解:和448C关于直线BC对称，:.AC=CD,AB=BD,-AB=AC9 AC=CD=AB=BD,四边形ABDC是菱形，AD LB C,AO=)0=4,BO=CO=3,乙ACO=乙DCO,：.BD=y/DO2+BO2=V9+16=5,v CE 1 CD9 NOCO+乙ECO=90=Z.CAO+Z.ACO,A 乙CAO=乙ECO,rcc EO CO tanz.FCO=,co AO _E_O _ _3一3-4，EO=4参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用：AE=4.20E+AE _ 2X/3 _ 5-=-=，BD 5 43.D解析3.如图，连 接。、OD、CD,CD交P 4于 E,PC,PD与。相切，切点分别为C,D,OC LCP,PC=PD,OP平分 NCPD,OP LCD,CB=DB，乙COB=乙DOB,AC AD=Z-COD,:.乙COB=乙CAD,在 Rt OCP中，OP=VOC2 4-PC2=停 +42=5,SIYIZ-COP=,O P 54:.sinZ-CAD=4.C解析4.首先过点。作 OFLBC千F,由垂径定理可得BF=CF=：BC,然后由BAC=120,AB=AC,利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得NC与/加。的度参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用数，由 劭 为。的直径，即可求得49与 的 度 数，又 由4 D=3,即可求 得 做 的 长，继而求得比 的长.解：过 点。作OF 1 BC于F,：.BF=CF=3BC,：AB=A C,ABAC=120,.“=4 2 =(180-Z.BAC)+2=30。,.N C与N 是同弧所对的圆周角，4 D=NC=30,.应?为。的直径，BAD=90,AABD=60,4OBC=4ABD-/.ABC=30,-：AD=3,BD=AD+cos300=3+?=2遮，OB=：=BD=V3,BF=OB cos30=V3 x y =|,:.BC=3.5.D 解析5.根据特殊角三角函数值，可得答案.解：cos60=:,故选：D.本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用6.D解析6.根据用计算器算三角函数的方法确定按键顺序即可得到结果.解：采用的科学计算器计算sin 3 6 1 8 按键顺序正确的是。选项中的顺序,7.A解析7.根据等腰三角形的性质得出BD=D C,再根据锐角三角函数关系得出0C的长，即可得出答案.解：过 点4作4D_LBC于 点D,AB=AC=2米，AD 1 BC,BD=DC,DC DC：cosa=,AC 2.DC=2cosa（米）,BC=2DC=2 x 2cosa=4cosa（米）.AAy-H沙 cB D C8.A解析8.根据矩形的性质和反比例函数的性质对每个结论进行分析判断即可.解：矩形。力BC中，:.0A=4,0C=2,由勾股定理得：0B=422+42=2遮，当 y=2时，2=:,参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用*X=1,A CD=1,由勾股定理得：0。=、22+#=V5,sinZ-DOC=7=0D S sCOSNBOC=3 sin乙DOC=cosZ.BOC,故正确；设0B的解析式为：y=kx(kKO),把(4,2)代入得：4k=2,1 y=产当=：时，尤=2,.E是0B的中点，0E=BE,故正确；当x=4时,y=|,1 3*BF=2 =,2 21 3 3S.EF=：x 久4-2)=日1 1 1SADOE=,X2X4 /X 1X2，x 3 x l3=1-2_ 3=29SADOE=SABEF,参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用故正确；由勾股定理得：DF=J 3 2 +(|)2 =三v 0D=V 5,.op_ _ DF 迪 9 2 即 O D:DF=2:3.故正确；其中正确的结论有，共4个.9.D10.A 解析1 0.分别延长A D和B E交 于 点F,利用锐角三角函数求出E F的长，推 出AABB,是等边三角形，求 出B E =BF-BB -分别延长4。和B E交于点F,由题知，AB=2,ABF=60,BF=AB c o s 60=2 4-i =4,AF=BF-c o s 60=4 x =2V 3,4F =90 -N 2乙A BF=30,DF=AF-AD=2V 3-2,E F=DF-c o s z F =(2V 3-2)x f=3 遮，由题知，448夕是等边三角形，二 B E =B F -B B -E F =4-2-(3-遮)=四 一 1,参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用11.2V5 解析1 1.过 点E作于点乩 推 出4EHC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及tan/BAE的值，再求出tanEAH,可求出各个边的长度；由EF:GE=AE:BE=V5:/-GEF=/.BEA,AGEF-ABE A,则 L EGF=ABE=9 0 ,推 出4AGF是等腰直角三角形，即可求出FG的长度.解：如图，过 点E作EH14C于 点H,则4EHC是等腰直角三角形，设 EH=a,则 CH=a,CE=V2a,在 RpABE中，BE=90。，tanZ-BAE=AB 2 BE=AB,BE=CE=V2a,AB=BC=2&Q,:.AC=4a,AH=3a,pu 1 tanZ-EAH=AH 3v/LEAF=Z.BAC=45,Z.BAF=Z.EAH,tanz.BAF=tanZ-EAH=v BF=2,AB=6,BE=CE=3,：AE 3V5,AF 25/T0,EF=5,参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用-AD/BC,AD:BE=AG:GE=2:1,GE=V5,v EF:GE=5：V5=V5:l,AE-.BE=3V5:3=遍:1,Z-GEF=乙 BEA,:.EF:GE=AE BE,AGEF-ABEA,乙EGF=LABE=90,AGF=90,2L4GF是等腰直角三角形,FG=AF=2V5.212.0解析12.连 接 0 ,由旋转的性质可得区，区，得 到 S为等边三角形，由 S ,国，得 出 国 垂直平分S，于是求出区，区 1 ,可 得 区，即可求解.解：如图，连 接 冈，设 区 与 回 交于点,国 将 冈 绕 点 S逆时针旋转S得 到 ,s,S为等边三角形，区，;参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用区 ,国，a，凶，回，s垂直平分s，回，国，故答案为S本题考查了图形的变换s旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键.13.解析13.:乙 EGF=9BGE=GF乙 GEF=45 四边形ABCD是矩形乙B=90乙EGF=90,四边形内角和为360。&GEB+乙 GFB=180二正确.如图：过G作GM 1 AB,GN 1 BCBN FC参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用4GME=Z.GNF=90v Z.GEB+Z.GFB=180,/.GEM+Z.GEB=180NGFN=GEM又 GE=GF GME=GN F(A AS)GM=GN即点G到边的距离一定相等二正确.如图：过G作GN A.AD.GM LCD1 1NG A B-E F =2,GM AB-EF x sin450=4-2企，G M A D-E F x sin45=5-2A/2 4-2V2 /VG 2,5-2V2 GM 3而 v 2 -l-V3 .解析15.作于H.解直角三角形求出C A,当 C 4 1 A B 时，点 d到 直 线 4B 的距离最大，求 出CA,C K.可 得 结 论.如 图 2 中，点 P 到 达 点 B 时，线段4 P 扫 过 的 面 积=S 蜀熟C 4-2s 44B C,由此求解即可.解：如 图 1 中，过 点 B 作 B H 1 4 C 于H.参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用在 RpABH中，BH=AB-sin30=1,AH=V3BH=V3,在 RtBCH 中，NBC=45。，CH=BH=1,AC=CA=1+y/3,当CAUAB时，点A到直线4B的距离最大，设CA交4B的延长线于K.在 RpACK 中，CK=AC-sin30=等，AK=CA-C K =1+3-=.2 2如图2中，点P到达点B时，线 段4P扫过的面积=S扇形A2At鬻更 _ 2 x；x(l+8)x 1 =(1+9兀-1-6.AABC=图2参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用16.14 解析16.作 0C 14B 于 C 点，根据直角三角形的解法得出0 C,进而解答即可.解：过。点 作 0 0 8 于 C 点，C一 尸 羽.当 无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30。，4C =45米，4a 4。=30。，0C=AC-t a n 30 =x 45=15V 3（米），旗杆的高度=40-15V 3 14（米），17.6 解析17.试题分析：在 R t Z X AB C 中，Z C=90,因为3c o s B=2,所以CQS5=AB 3设 B C=2x,则AB=3x,又AC=2后，所以（242+（垢 尸=。力2,所以x=2,所以 AB=6.考点：1.三角函数2.勾股定理.18.解析18.取 M与 B 重合时和M 在 4B 中点时两种特殊情况，判断运动情况和面积相等情况；参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用令48=1,则AD=遮，设B M=x,根 据ZL4MN的面积关于x的函数关系式即可判断面积大小的增减；根 据 运 动 速 度 判 断 和DN的关系，再根据勾股定理写出MN与BM和DN的关系式即可.解:如图，当M与B点重合时，此 时NO 1 BD,在矩形 48C。中，AD=V3AB,乙 ADB=Z.DAC=30,4AOD=180-30-30=120,乙NAO=LAOD-乙NOD=120-90=30,乙 DAO=4 NOA=30,AN=ON=DN sin30=|D/V,AN+DN=AD,AN=-AD,3当M点 运 动 到 位 置 时，此 时OM，1 4B,N点运动到了 N,AC和BD是矩形4BCD的对角线，M点运动的距离是MM=AB,N点运动的距离是 NN=A D-A N A D-A D =AD,Z Zoo又V AD=闻B,NN=-Xy/3AB=AB=MM6 6 3 .N点的运动速度是M点的?，故正确，当M在 位 置 时，AOMA=90,乙 FAB=90,xM0N=90,四边形4。是矩形，二 此 时 AAMN AMON 故正确，令48=1,则A D=3,设BM=x,则N点运动的距离为g x,AN=-A D+x=+x,3 3 3 3参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用 SAAM N=.AN=1 4 8 -BM).AN=-x)w +*)=1 ,v O x/2./.OBA=45,AABC=90,OBE=4 5 ,作 O E1BC于点 E,40BE为等腰直角三角形.OE=BE=sin45-OB=1,CE=BC-BE=3-1 =2,在R-OEC中，OC=1 1 0 c m.手臂端点。能碰到点M.2 7.(1)见解析；(2)迪；(3)回5 32 8.至少要买该住宅的第9层楼 解析2 8.根据锐角三角函数关系表示出M E、MF,根 据EF=M F-M E =40/n可得AM=5 4.6 m,求 出DF,除以每层楼的高度即可得出答案.根据题意可知：四边形4BDM是矩形，AB=M D=1 2 0 m,在 R t”AM E中，M E=4M t a n 45。=,在 R t 4AM F中，尸=AM t a n 6 0 =代人”，v E F=M F-M E =40 m,何M-力M =40,AM 5 4.6(m),:.M F 5 4.6 x 1.73 94.46(m),:.DF=1 2 0 -94.46 =2 5.5 4(m),2 5.5 4+3 x 8.5,;至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午1 0时太阳光线照射到该层楼的外墙.答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午1 0时太阳光线照射到该层楼的外墙.2 9.CG=2 解析参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用2 9.(1)作出a的垂直平分线，连接切，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到厩G由此即可求出/回的周长；设力D=x,BD=3 x,进而求出AC=AD+CD=4 x,在R t Z ABD中使用勾股定理求得AB=2岳,由此即可求出t a n乙4BC的值.解：(1)如图，连 接B D,设BC垂直平分线交BC于点F,B：.BD=CD,C&ABD=AB+AD+BD:AB=CE,/.CABD=4c +CE=AE=1.设 AD=x9 BD=3%,又 BD=CD,：.AC=AD+CD=4x,在 R t ABD 中，AB=y/BD2-A D2=V(3 x)2-x2=2岳.t a山8。=爷=趣=叵3 0.(1)BD=CE且 BD 1 CE；(2)AF=5；(3)sin乙BCD=包14解析3 0.(1)判定 ABAD ACAE(SAS),进而求解；(2)判定 4DHE 为正方形，则 BH=BD+DH=2+6=8,CH=HE-C E=6-2 =4,在 RPBCH中，t a n/CBH=需=：=：,在 RBDF中，DF=BDtanBH=2x1=l,进而求解；参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用(3)根据 DE2=2 4 =D“2 +EH2,得至|(3 _x)2 +(V3+x)2=2 x(4+V3),求出 BD=x=l,在 RMBCD中，“BC=30。，BC=2b，BD=等 用解直角三角形的方法，即可求解.解：/.EAC+/.CAD=/.EAD=90,BAD+4DAC=90。，乙BAD=Z-CAE,v AB=AC,AD=AE,/.ABAD M4C71E(SaS),Z-ACE=乙ABD=45,BD=CE,乙BCE=Z.ACB+/-ACE=45+45=90,BD=CE且 BD 1 CE-(2)延 长BD和CE交 于 点 H,由(1)矢U BD 1 C E,即 ZH=90,CE=BD=2,而 AADH=90,DAE=90,故 四 边 形4DHE为矩形，而 AD=AE,故 四 边 形ADHE为正方形，在 RtACE 中，AE=y/AC2-CE2=y/AB2-CE2=J(2y/10)2-22=6=DH=EH=AD,则 BH=BD+DH=2+6=8,CH=HE-CE=6-2=4,在 RpBCH中，tan乙CBH=需=三=在 RpBDF中，。尸=BDtanz_CB/=2 x|=1,故 AF=AD-DF=6-1 =5；参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用(3)作DAE=9 0 ,使A D=A E,连 结CE,延 长EC和BD交于点H,连由（1）=且 BD 1 C E,即 ZW=90,由作图知，ZMDE为等腰直角三角形，设 CE=BD=X,在 RPBHC中，4HBe=30。,BC=y/2AB=V2-V6=2/3,贝lj CH=BC,BH=BCcos30=3,则 DH=B H-x =3-x,EH=CH+CF=x+V3,则 DE2=2AD2=DH2+EH2,即（3 x）2+（V3+x）2=2 x（4+V3）,解 得%=2 V3（舍去）或1,即 BD=x=l,过 点。作D N 1 B C于 点N,在 Rt”BCD中，4CBD=30,BC=2/3 BD=1,则 ND=BD=；,BN=BDcos30=2 2 2则 CN=CB-BN=2y/3-=,2 2,.CD=yJCN2 4-DN2=4，则 sinZ-BCD=-=CD y17 14