2020-2021学年浙江省杭州高级中学高二年级上册期中数学试卷(含解析).pdf

2020-2021学年浙江省杭州高级中学高二上学期期中数学试卷一、单 选 题（本大题共1 0小题，共4 0.0分）1.直线2 x +3 y -9=0与直线6 x +m y +1 2 =0平行，则两直线间的距离为（）A.这空 B.V 1 3 C.2 1 D.1 3132.直线5 x +y -6 =0的斜率和在y轴上的截距分别是（）A.5,6 B.59 6 C.-5,6 D.5,63.直线机，均不在平面a,/?内，给出下列命题：若mn,n/a9 则m Q；若m 氏a”B，则m a；若n 1 a,则z n a；若 7 n l/7,a l/?,则 m a；则其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.44.设A为圆/+y 2 =8上动点，B（2,o）,。为原点，那么N 0 4 B的最大值为（）A.90 B.6 0 C.4 5 D.3 0 5.一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水速度如图甲，出水口出水速度如图乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点所打开一个进水口和一个出水口；4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.36.已知圆柱的上、下底面的中心分别为0 1、。2,过直线0 1。2的平面截该园柱所得的截面是正方形.底面圆的内接正三角形面积为竽，则该圆柱的表面积为（）A.12V2T T B.1 2 7 r C.8&兀 D.10T T7.己知a 0,8 0月.山）一（。+力）31,则（）A.a+b 2(V 2 +1)C.a+b W(V 2 +1)28 .有一个几何体的三视图如图所示,B.a+b 2(V 2 +1)这个几何体应该是一个()A.圆台 B.圆锥9.过点(2,4)且与圆2+、2 =5,相切的直线有几条()A.0条 B.1条 C.2条D.不确定1 0,用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形不可能是()A.钝角三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.正五边形二、单空题(本大题共3小题，共1 2.0分)1 1 .设函数/(X)=s i n c o x +c o s 3 x(3 0)对于任意x e R,都有/(x)W +兀)成立，则符合条件的3的 一 个 值 为 .1 2 .已知直线/：%+、-1 =0截圆0：/+=/0)所得的弦长为正彳，点 加，N在圆0上,且直线八(1 +2m)x+(m-l)y -3 m =0过定点P,若P M 1 PN,则|M N|的取值范围为1 3 .如图，已知正方形AB C Q的边长为1,过正方形中心。的直线MN分别,M N父正方形的边A8,C Z)于M,N,则当-最小时，CN =R N三、多空题(本大题共4小题，共2 4.0分)1 4 .直线，1：x+m y+2=0,直线：2 x-y+2 =0,若I/%，则徵=_(1)_，若k 1则m =_(2)_.1 5 .设两直线，1：(3 m)x +4 y =1与2：2 x +(5 m)y=1,若%，则m=_(1)_；若%！,则 m =_(2)_.1 6 .设圆C：(x-k)2 +(y-2 k +l)2 =l,则圆C的 圆 心 轨 迹 方 程 为 若k =0时，则直线/：3%+y -1 =0截圆C所得的弦长=_(2)_.1 7 .已知正方体中，砧=；而，异面直线A E与8劣所成角的余弦值是_(1)_；4若屁=%屈+y而+zl,则x=_(2)_.四、解答题(本大题共5小题，共6 0.0分),占一 生 脾#号 七 期1 8 .变量x、y 满足1 瞥就#率承 为 S W励L 受Rk:(1)设2=避，求 Z 的最小值；需(2)设z =/+y 2,求 z 的取值范围.19 .已知各项为正的等比数列 加 中，。3=8,S”为前项和，$3=14.(1)求数列 即 的通项公式.(2)若为,。2分别为等差数列 bn 的 第 1项和第2 项，求数列 b 的通项公式及 均 前 项和7；.20.如图，在四棱锥P-力 B C D 中，底面ABC。是正方形，P A I J gf f i ABCD,P A=AB=2,M为侧棱P B的中点，N为棱A D上的动点，且4 V =4 2D,(0 4 6 0)上的点到右焦点尸的最大距离为立+1,离心率为当.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过点(0g)的动直线/交椭圆C于朋，N两 点,直线/的斜率为自，A 为椭圆上的一点，直线 O A 的斜率为心，且向 的=1，B 是线段O A 延长线上一点，且 揣=g.过原点。作以8 为圆心，以|AB|为半径的圆8 的切线，切点为P.令;1 =黑，求；P 取值范围.【答案与解析】1.答案：B解析：解：直线2%+3y-9=0与直线6%+my+12=0平行，,：=0 5m=9,故平行直线即6%+9y 27=0与直线6%+9y+12=0,它 们 之 间 的 距 离 为=V13.V64+9Z故选：B.利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得两直线间的距离.本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题.2.答案：A解析：本题考查了直线的斜截式、斜率、截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.将直线5x+y-6=0化为斜截式：y=-5 x+6,即可得出斜率和在y 轴上的截距.解：直线5x+y-6 =0化为：y=-5 x +6.其斜率和在V轴上的截距分别是-5,6.故选：A.3.答案：D解析：解：注意前提条件直线，小 均不在平面a,口内.对于，根据线面平行的判定定理知，m/a,故正确；对于，如果直线机与平面a 相交，则必与0 相交，而这与a/?矛盾，故m/a,故正确；对于，在平面a 内任取一点A,设过A,?的平面y与平面a 相交于直线从v n 1 a,.,n i b,又?n 1 n,m 1 b,-m/a,故正确；对于，设a n =(,在a 内作r n l,.,mlp,故正确.故选：D.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.4.答案：C解析：解:设|4B|=x,则|0川=2夜，|OB|=2A C M B 中由余弦定理可知C OSNOAB=爷，=矗。+,2 日(当且仅当=2 时等号成立)40AB 0,b OS.ab-(a+b)1,1+(a+b)W ab 2(V2+1)或a+b V5.即点A 在圆的外部，则过A 与圆相切的直线有2 条，故选：C.判断点与圆的位置关系即可.本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，结合点与圆的位置关系是解决本题的关键.10.答案：c解析：解：用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，若截面过棱尸 8、P E,则截面APBE与ABE是全等三角形,且 4BAE=108,.截面4 PBE是钝角三角形,如 图 1所示在平面P4B内作MN4 B,交.P A、PB于点M、N,连接C E,贝 iJCE4B,M N/C E,且MN*CE,四边形CEMN是等腰梯形，如图2所示;用平行于底面的平面截该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3 所示;图3综上，不可能的截面图形是平行四边形.故选：C.根据截面所经过的棱或平面所截得的图形是什么，再进行分析与判断即可.本题考查了用平面截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形是什么图形的问题，是基础题目.11.答案：2（答案不唯一）解析：解：函数/（x）=sina）x+cosa）x=V2sin（ox+）若该函数的最小正周期是兀，则/（x）=/（%+万），此时生=兀，3此时3 =2.故答案是：2(答案不唯一).若该函数的最小正周期是7T,根据正弦函数的周期性可得结论.本题主要考查两角和与差的三角函数，正弦函数的周期性，属于基础题.12.答案：巡 y/2,V6+V2解析：本题考查圆有关的轨迹问题，圆的弦有关的问题，直线和圆的方程的应用.先求出圆。的半径r=2,由直线厂 的 方 程 得 到 设 MN的中点为Q(x,y),则O N =0Q2+MQ2=OQ2+PQ2,从而+(”|)2=|,则点Q 的轨迹是以&为圆心，耳为半径的圆，由此能求出|PQ|的取值范围，从而能求出|MN|的取值范围.解：.,圆0：+y2=产&0)的圆心(0,0)到直线/：X+y-1=0的距离d=号=当，直线/：%+7 1=0截圆/2：+y2=丁 2(丁 0)所得的弦长为:.2 J r?-(乎)2=J14,解得厂=2.,直线 八(1+2m)x+(m-l)y-3m=0过定点 P,直线厂的方程整理为(2%+y-3)m +x-y =0,C7=-03=0设 MN的中点为Q(x,y),贝|0 2 =OQ2 +MQ2=OQ2+PQ2,4=x2+y2+(%-I)2+(y-l)2,化简，得:(x _ 1+(y _ y =|，点。的 轨 迹 是 以 为 圆 心，更为半径的圆,乙 乙 2|PQ|的取值范围是。宇，怨,.|MN|的取值范围为 遍 夜,&+&.故答案为 遍 V2,V6+V2 .13.答案：与解析：试题分析：通过三角形的全等，求出X的值，利用方程有解，推出，的范围，然后求解即可求得结论.易证 C O N,则AM=CN=X设CN=K,经过点N作NE 1 AB则四边形NE8C为矩形NE=BC=1,BE=CN=x则 ME=(l-x)-x =l-2x(或 2x-1)MN2=EM2+EN2=2-4x+4x2BN2=BC2+CN2=l+x2令2-4X+4M=t(l+/),整理x2+4x+t-2=0有实根:.16 4(t-4)(t 2)=0解得：3-/5 t m=1 或 7；当租=1=4，重合.m =7；k -L i2.(3-m)42(5-m)Y13=1=m =3故答案是：7,y.由直线的平行和垂直关系分别可得m的方程，解方程验证可得.本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题.16.答案：2%y 1=02155解析：解：设圆心C(x,y),则 =k,y=2k 1,消去k,可得圆C的圆心轨迹方程为2%-y-1=0；k=0时，圆心(0,-1)到直线/：3x+y-1=0的距离d=而，直线/：3%+了-1=0截圆。所得的弦长=2斤=雪.故答案为：2x y 1=0；设圆心C(x,y),则工=k,y=2fc-1,消去左,可得圆C的圆心轨迹方程：求出圆心到直线的距离，即可求出直线/：3%+3/-1=0截圆。所得的弦长.本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.17.答案：巫934解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法以及向量的运算，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.由题意砧=彳高，即E是41cl的四等分点.过41cl与当A的 交 点 作AE的平行线交AC于N,过M作 所 的 平 行 线 交 于G,可得异面直线AE与 所 成 角 的 平 面 角为乙NM G；利用余弦定理即可求解；通过向量的运算法则求解而=荏-四，在 求 解 荏=标+；用G，即可求解解：由 题 意 砧=本，可得：E 是4 6 的四等分点.过&G 与B/i 的交点M,作 AE的平行线交AC于 N,过 M 作 所 的平 行 线 交 于G,可得异面直线AE与BO1所成角的平面角为4NMG；设正方体4BCD 4B1GD1中的边长为1.可得M N=P，M G =，y 8 2N G=IN B2+GB2=R在ANMG中，由余弦定理：cos乙NMG=MNMG2-NG2;巫,2,N MMG 9根据向量的运算法则：可 得 而=A E-A B 而 荏=初+；宿，Arci=AB+A D，.BE=-A D-A B +AA,4 4由 南=%而+y A D+z国，则 =_：4故答案为：壁；9 4售18.答案：-；（2）驾 壬 躺.解析：解析：试题分析：由题意画出可行域，分别求出可行域各顶点,通、激、裔坐标将所求目标函数3=室构戏:造为M =Q 里，此时H可以看作是可行域内的点与原点连成直线的斜率的最小值，由于可行域范围笳 一 小在第一象限内，所以可行域内的点与原点连线中倾斜角最小的为侬，故其曲二;如，再由顶点殿坐标可求出S 的最小值；（2）将目标函数*=短 句/构 造 为 M =蜘-则 此时?可以看作是可行域内的点与原点之间距离的范围，经查验比较可得壬曲=|嬲，/因=悒 阚，通 过 计 算 明|、卜叫的值可以求出所求察的取值范围.提示：在解决此类线性规划问题中，常常把目标函数构造出斜截式的直线方程我=触:#通、过原点直线的斜率球、与某一定点间的距离疝等等，再通过求截距、斜率、距离来求出目标函数的值.害一每开嵬蒯试题解析：由约束条件 乐 书 却-魁 瞅 作 出 册,同 可 行 域 如 图 所 示.由 吗、“需_q屏外整=勉,解得斛磔;功 ：期是物_第二顿，解得周铸笔6分(1)因为=龙=度 型，所以？的值即是可行域中的点与原点连线的斜率.笳需一卿观察图形可知/副=禺骊=1 9分Jt(2)=婷也/的几何意义是可行域上的点到原点般的距离的平方,结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，避圳=|懈|=/，破,=长 溷=病，所以所求N的取值范围为 二反 髓.考点：1线性规划问题：2.斜率的计算.19.答案：解:(1)设等比数列也”的公比为g,v a3=8,S3=14.(OiQ2=8 由(1+q+q?)=14解得q=2,%=2,an=2n；(2)设等差数列%的公差为d.,*Q=b=2,a2=匕2=4,则 d =一瓦=4 2 =2,bn=2 +2(n-1)=2 n,上 出=彦+上71 2解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.(1)利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出;(2)利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出.20.答案：解：(1)以A为原点，A 8 为 x 轴，AO为 y 轴，AP为z 轴，建立空间直角坐标系,M(l,0,1),N(0,2 九0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),M N =(-1,2 2,-1).P C =(2,2,-2),P D=(0,2,-2),设平面P C D的法向量丘=(x,y,z),(n -P C =2 x +2 y -2 z =0 /日 一 ，“、贝|J 一 7，取y =l,得元=(0,1,1),Ln-P D=2 y-2z=0.直线MN 平面P CD,:.n-M N=2 A 1 =0 解得a=/(2)由(1)得N(0,l,0),S G，H),S&PCD=|X CD x P D=；x 2 X V 4 +4 =22,点S到平面P C D的距离d =噌=吃=冬|n|V2 2二 三棱锥S P C D 的体积U =|x d x SPCD=g x /x 2 V 2 =|.解析：(1)以A为原点，A B 为 x 轴，A。为 y 轴，AP为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.(2)由(1)得N(0,l,0),由此利用向量法能求出三棱锥S-P C D 的体积.本题考查实数值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21.答案：解：(1)设圆 M 的方程为：(x-a)2+(y-f e)2=r2(r 0),(a+b 2=0根据题意得(1 -。尸+(-1-b)2 =r2,解之得a=b=1 且r =2,-a)2 4-(1 b)2=r2 圆 M 的方程为：(x -I)2+(y -l)2=4；(2)设点。的坐标为(1,5),而 由直线的斜率公式，可 得 片=k表示C、。两点连线的斜率.X-L设直线 C D 的方程为 y 5=k(x 1),B P k x-y-k +5 =0.直线C D与圆例有公共点，圆心到直线C D的距离小于或等于半径，即d =与 法 詈 g 或 0,2k 一 3设 M(无 1，%)，/V(x2,y2)贝 拉 1 +小=*1*2 =2(1+2 鬲 阂M NI=万喈-卜尚)2-4X号=J1 +好.0A所在直线方程为y =B%，与椭C +y 2 =i 联立，解 得/=品，|。川=炉砂岳，J1 +嗫1。川.、21+2反|MN|_J1 +其16 好 +61+2周2fcf+l令t =2kl+l(t 1),则 般=一,则 侬=V 2 t人|MN V(t+3)(4 t-l)V2J/+蓝+4,得到立粤五，6|MN|2 72 _|0 P|2 _ 0 B2-AB2=MN 2=M N2_(|0 A +ABy-AB2=MN 2=0 A AB 0 A一MN MN 令3=端，由知，当3(号，换元得：A2=a)2+la),其中或 3 立.5 6 2+白乃 下:+:6 15 Z 5解析：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属较难题.(1)依题a+c =&+l，结合离心率求得与c 的值，再由隐含条件求得从则椭圆方程可求；(2)由已知可得直线/的方程，与椭圆C:+y2=i联立，化为关于X 的一元二次方程，利用弦长公式求得弦|MN|,写出0 4所在直线方程，与椭C：J+y2=1联立求得|0川，得 到 需，利用换元法求得缁的范围，把；12=黑;转化为含缁的代数式求解