2021-2022学年北京理工大学附中八年级（上）期中数学试卷（解析版）.pdf

2021-2022学年北京理工大学附中八年级第一学期期中数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.3.作图可先使用2 B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑.一、选 择 题（共10小题，共30.0分）1.下列长度四根木棒中，能与长为4,9 的两根木棒围成一个三角形的是（）A.4 B.5 C.9 D.142.若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A.6 B.7 C.8 D.103.若A A B C 出AD E F,则根据图中提供的信息，可得出x 的 值 为（）4.空调安装在墙上时，-一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的儿何原理是（）A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短C.三角形的稳定性 D.垂线段最短5.如图，为了测量8 点到河对面的目标A 之间的距离，在 B 点同侧选择了一点C,测得/ABC=75,NACB=35,然后在处立了标杆，使/CBM=75,NMCB=35,得到M BCgZVIBC,所以测得M B的长就是A,B两点间的距离，这里判定ABC的理由是（）A.SAS B.AA4 C.SSS D.ASA6.如图，A8C中，AD平分NBAC,AB=4,AC=2,若ACZ）的面积等于3,贝 必 48）的面积为（）7.数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法.小旭说：我用两块含30。的直角三角板就可以画角平分线.如图，取 O M=O M 把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P,则射线。尸是/A O B 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）C.ASAD.SSS8.如图，。为AABC 内一点，CD 平分/ACB,BDLCD,ZAZABD,若 NDBC=54,则N A 的度数为（）A.36B.44C.27D.549 .如图，A B C 中，Z C=9 0 ,A C=BC,A O 平分N C 4 2 交 B C 于点 Q,D E L A B,垂足为 E,且 A B=6 c m,则 O E B 的周长为()A F BA.4 c m B.6 c w C.8 c？D.1 Ocm1 0 .如图，N A C B=9 0 ,A C=BC,BE_LCE于点E,ADLCE于点。，下面四个结论：Z A B E Z B A D；C E B g Z A O C；A B=CE；A D-B E=D E,其中正确的序号是()A.B.C.D.二、填 空 题（本大题共8 小题，共 2 4.0 分）1 1 .六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意.比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等.化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形.正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的.正六边形外角和为_ _ _ _ _ _.1 2 .如图，已知 A B C,通过测量、计算得 A 8C 的面积约为 cm2.（结果保留一位小数）c13.如图，AO和CB相交于点E,BE=D E,请添加一个条件，使ABE丝(?)(只添一个 即 可)，你所添加的条件是14.如 图，在A8C 中，ZB+ZC=110,AZ）平分N B A C,交 8c 于。，DE/AB,交 AC于点E,则NAOE的大小是15.如图，点 4、。、C、E在同一条直线上，AB/EF,AB=EF,NB=NF,4E=10,AC=6,则CQ的长为.B16.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中NABC=.17.如图，已知ABC 中，AB=4C=24 厘米，NABC=/ACB,BC=16 厘米，点。为 AB的中点.如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使BPO与CQP全等.A18.如图，在等腰直角AABC中，ZACB=90,A C=BC,P 是线段8 c 上一动点（与 B,C 不重合），延长8 c 至点Q,使得C Q=C P,连接AP,A Q,过 点。作于点H,交A B于点M.下列四个结论中：Z AM Q=Z AP Q；Z P AC=Z M Q P;NAM Q-NPAC=45。；正 确 结 论 的 序 号 是.三、解 答 题（本大题共8 小题，共 46分，其 中 19,20,21,23每 题 5 分；22,24每 题 6分；25,26每 题 7 分）19.已知：如图 RtZ48C 中，ZACB=90.求作：点 尸，使得点P 在 AC上，且点P 到 A 8的距离等于PC.作法：以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA,BC于点。，E；分别以点。，E 为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧在/A 8 C 内部交于点凡作射线B F交 AC于点P,则点P即为所求.（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明：证明：连接。凡FE.在8。F和 B E F 中，D B=E B D F=E F，,B E=B F.BDF经A B E F CSSS).：.Z A B F=Z C B F ()(填推理的依据).V Z A C f f=9 0 ,点尸在 A C 上，PC IBC.作P Q L A B于点Q.点P在 B F 上，：.P C=P Q ()(填推理的依据).2 0 .已知，如图，ABAE,AB/DE,NECB=70,Z D=1 1 0 ,求证：A B C 丝 ).2 1 .如图，点 A,C,B,。在同一直线上，AC=BD,AE=CF,B E=D F,求证：BE/DF.2 2 .在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形.(1)在 图 1 中计算格点三角形A B C的 面 积 是；(每个小正方形的边长为1)(2)Z A B C 是格点三角形.在图2中画出一个与AABC全等且有一条公共边B C的格点三角形；在图3中画出一个与aABC全等且有一个公共点A的格点三角形.图1图2图32 3 .如图，在 A B C中，。是边A 8上一点，E是边AC的中点，作C F A B交。E的延长线于点F.(1)证明：M A D E安CFE,、(2)若 A B=A C,CE=5,C F=1,求的长.2 4 .如图，在A A B C中，Z A B C=ZA CB,A D是 A E C的角平分线.(1)求N A O C的度数；(2)E是边4c上一点，DE/A B,作A C边上的高BE根据题意补全图形判断/C 8尸和/A Q E的数量关系，并说明理由.2 5.如图，在A 8 C 中，A B=A C,/B A C=4 0 ,作射线 B M,NA B M=8 0 ,过射线上一点 ,作。尸A B,JI D F=A B,连接 E 4.(1)依题意补全图形；(2)判断A F与8。的位置关系是,数量关系是,连接证明你所填写的4尸与B D的位置关系和数量关系.(3)平面内有一点G,使得D G=D B,F G=F C,求/B Q G的值.MM备用图备用图2 6.在ABC中，NA5C为锐角，AB=5,B C=3,作外角NPBA的平分线M B,在 MB上找一点。，使得。C=D 4,过点。作力8尸交于点E.（1）在 图 1中，依题意补全图形；（2）直接写出BE的值；（3）如图2,当NABC为钝角时，猜想42,BC,8E之间的数量关系，并说明理由.即参考答案一、选 择 题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列长度四根木棒中，能与长为4,9 的两根木棒围成一个三角形的是（）A.4 B.5 C.9 D.14【分析】由三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可.解：设第三边为c,则 9+4 c 9 ,即 1 3 c 5.只有9 符合要求.故选：C.2.若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A.6 B.7 C.8 D.10【分析】”边形的内角和是（-2）7 80。，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数.解：根据边形的内角和公式，得（-2）*180=1080,解得=8.这个多边形的边数是8.故选：C.3.若4 A B C%4 D E F,则根据图中提供的信息，可得出x 的 值 为（）【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案.解：:X AB g X D E F,：.BC=EF=30,故选：A.4.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短C.三角形的稳定性 D.垂线段最短【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故选：C.5.如图，为了测量B 点到河对面的目标A 之间的距离，在 8 点同侧选择了一点C,测得NA BC=1 5,N4CB=35,然后在 M 处立了标杆，使NCBM=75,ZMCB=35,得到aM BC四A B C,所以测得M B的长就是A,B 两点间的距离，这里判定M8C丝4BC的理由是（）A.SA S B.AA4 C.SSS D.A SA【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可.ZABC=ZMBC解：在 AABC 和MBC 中F=E=3,然后利用三角形面积公式计算SMBD-解：如图，过点。作。_LAB于E,D F L A C F,：.DE=DF,：A C=2,AC。的面积为 3,：.X 2 D F=3,解得 QF=3,：.DE=3,A B=4,：./A BD 的面积=/X3X4=6.故选：C.7.数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法.小旭说：我用两块含30的直角三角板就可以画角平分线.如图，取O M=O M把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P,则射线OP是NAO8的平分线，小旭这样画的理论依据是（）【分析】由“HL”可证丝RtAO N P,可得N M O P=/N O P,可证O P是NAO8的平分线.解：由题意得：Z O M P=Z O N P=9 0 ,O M=O N,在 RtAOMP 和 RtAONP 中，rop=opIO M=ON：.Rl/O M PRtO NP(H L),:.NMOP=/NO P,，。尸是NAO8的平分线.故 选:B.8.如图，。为ABC 内一点，C。平分N4CB,BDLCD,ZA=ZABD,若NOBC=54,则N A 的度数为（）A.36 B.44 C.27 D.54【分析】利用三角形的内角和定理在BCO中先求出N 8C Z),利用角平分线的性质再求出/A C 8,最后在AABC中利用三角形的内角和定理求出/A.解：-：BDLCD,：.ZD=90.V ZDBC=54 ,：.ZDCB=90-54=36.平分 NAC8,A ZACB=72.V ZA=ZABD,ZA+ZABC+ZACB=180,A ZA+ZA+540+72=180.；.N 4=27.故选：C.9.如图，ABC 中，ZC=90,AC=BC,4。平分NCA8 交 BC 于点 O,D E LAB,垂足为 E,且 A B=6cm,则OEB的周长为()A.4C/HB.6cmC.8cmD.1Ocm【分析】先利用AAS判定AC。丝4得出AC=A,CD=DE；再对构成OE8的几条边进行变换，可得到其周长等于A8的长.解：AO平分NCA8交3 c于点。：.ZCAD=ZEAD,:DE工AB：.NAEO=NC=90*：AD=AD：.AACDAAED.(AAS)：.AC=AE,CD=DEVZC=90,AC=BCAZB=45：.DE=BEVAC=BC,AB=6cmt：.BE=AB-AE=AB-AC=6-3&,:BC+BE=3如+6-3&=6cm,.。硝 的周长=OE+O8+BE=8C+8E=6(cm).另法：证明三角形全等后，：.AC=AE,CD=DE.,.AC=8C,：.BC=AE.：.ADEB 的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6cm.1 0.如图，ZACB=90,AC=BC,BELCE于点、E,AOLCE于点O,下面四个结论：Z A B E=ZBA D-,CE3Z4AOC；AB=C E；AD -B E=D E,其中正确的序号是)A.B.C.D.【分析】证明防A。，则可对进行判断；证明N B C E=N C A O,则可根据“A4S”证明aCEB也A O C,则可对进行判断；根据全等三角形的性质可对进行判断.解：:B E L C E 于点 E,AD_LCE 于点。，C.BE/A D,：.Z A B E=Z B AD,所以正确；：NBCE+NCA=90,ZDCA+ZCA D=90 ,J.ZBCE Z C A D,在CEB和AOC中，Z B E C=Z C D A_LAB的延长线于点。，测量出AB,C C 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ZVIBC的面积.解：过 点 C 作 CZ)J_AB的 延 长 线 于 点 如 图 所 示.经过测量，A B=2.2cm,C D=1.7cm,ASAABC=-1-ABCD=-X2.2X1.71.9(cm2).故答案为：1.9.13.如图，4 0 和 CB相交于点E,B E=D E,请添加一个条件，使aABE也,即可推出A C=C E,由AE=10,A C=6,推出AQ=C E=4,再根据CD=AC-AD即可解决问题.解：AB/EF,：.N A=/E,在A5C和EFD中，Z B=Z F A B=E F ，LZA=ZEZABC 丝EFZ),：.AC=CE,VAE=10,AC=CD=6,J.CEAE-AC=4,CD=AC-4 0=6 -4=2.故答案为2.16.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中NA8C=75.【分析】由NF=30,NEAC=45,即可求得NA8尸的度数，又由/尸8 c=90,易得NA8C的度数.解：；NF=30,NEAC=45,/E 4 C 是ABF 的一个外角，：.ZABF=ZEAC-ZF=45-30=15,：ZFBC=90Q,ZABC=ZFBC-ZABF=90-15=75.故答案为：75.17.如图，已知ABC 中，AB=AC=24 厘米，ZABC=ZACB,BC=16 厘米，点。为 AB的中点.如果点P 在线段BC上以4 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点。在线段 C 4上由C 点向A 点运动.当点Q 的 运 动 速 度 为 4 或 6厘米/秒时,能够在某一时刻使BPO与CQP全等.【分析】求出8。的长，要使与CQP全等，必须8/）=C P 或 B P=C P,得出方程 12=1 6-以 或 4工=16-4为 求出方程的解即可.解：设经过x 秒后，使8PO 与CQP全等，AB=AC=24厘米，点D为A B的中点，；.8。=12 厘米,:Z A B C=NACB,要使BPZ）与CQ尸全等，必须B D=C P 或 BP=CP,即 12=16-4x 或 4x=16-4x,解得：x 1或 x=2,x=l 时，B P=C Q=4,4+1=4；x=2 时，BD=CQ=2,124-2=6；即点。的运动速度是4 或 6,故答案为：4 或 61 8.如图，在等腰直角ABC中，/A C B=90,4C=BC,P 是线段BC上一动点（与 B,C不重合），延长B C至点。，使得C Q=C P,连接AP,A Q,过点Q 作 QH_LAP于点H,交A B于点M.下列四个结论中：/A M Q=N 4PQ；Z P A C=Z M Q P；NAMQ-ZPAC=45 ；NQM4=NQAM.正 确 结 论 的 序 号 是【分析】由余角的性质可求N PA C=N PQ H,故正确：由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得N4WQ=NABC+NB0M=45+N PA C,故正确；由“SAS”可证4CQg 4 C P,可得/Q A C=/P A C,可证/QAM=/Q A A 7,故正确，即可求解.解：-：AP1QM,：.ZQHP=ZACB=90Q,A ZAPC+ZPAC=90=ZAPC+ZPQH,:PAC=4PQ H,故正确：V ZACB=90,AC=BC,A ZABC=ZBAC=45,A ZAMQ=ZABC+ZBQM=45Q+ZPAC,：.ZAMQ-ZPAC45,故正确；在ACQ和ACP中，AC=AC ZACQ=ZACP.,CQ=CP：.ACQ/ACP(SAS),；./Q A C=/P A C,：.ZQAC=ZPQH,J.ZQMAZQAM,故正确；:点尸是线段BC上一动点，：.NPABWNPAC,J.ZPABZBQM,.NAMQWNAP。，故错误，故答案为.三、解答题（本大题共8小题，共46分，其中19,20,21,23每题5分；22,24每题6分；25,26每题7分）1 9.已知：如图 RtZXABC 中,ZACB=90.求作：点 尸，使得点尸在AC上，且点P到 A8的距离等于尸C.作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线B A,B C 于点。，E；分别以点力，E为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧在/ABC内部交于点凡作射线B F交 AC于点P,则点P即为所求.（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明：证明：连接。凡FE.在 8 D F 和尸中，D B=E B=1 1 0 ,求证：ABg/EAD.【分析】由/E C B=70得/A C 8=1 1 0。，再由A B 4 E,证得再结合已知条件A B=A E,可利用A A S证得A A B C丝 .【解答】证明：由/E C B=70得N A C B=1 1 0又,2 0=1 1 0。/.Z A C B Z D,CAB/DE：.Z C A B=Z E在A B C和 E 4 O中，Z A C B=Z D Z C A B=Z E，LAB=AEA (A A S).2 1.如图，点 A,C,B,。在同一直线上，AC=BD,AE=CF,B E=D F,求证：BE/DF.EA C B D【分析】求出A B=C D,证A B E丝 C D F,推出N 8=N )即可.【解答】证明：A C=B。,:.AC+BC=BD+BC,B|J ABCD.在A 8 E与 C D F中，A E=C F A B=C D-,B E=D F：./ABE/C D F(SSS),:.NB=ND,：.BE/DF.2 2.在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形.（1）在 图1中计算格点三角形A B C的 面 积 是6 ；（每个小正方形的边长为1）（2）Z V I B C是格点三角形.在图2中画出一个与A B C全等且有一条公共边BC的格点三角形；在图3中画出一个与 4 B C全等且有一个公共点A的格点三角形.图1图2图3【分析】（1）利用分割法求解即可.（2）根据三角形的判定，画出图形即可.（3）利用旋转法画出图形即可.解：如 图 1 中，5AABC=3X5-1-X 3 X 3 -1-X 1 X 5 -j-X 2 X 2=6,故答案为：6.（2）如图2中，B C Q即为所求作（答案不唯一）.如图3中，4 F E即为所求作（答案不唯一）.2 3.如图，在 4 8 C中，。是边A B上一点，E是边A C的中点，作C r A 8交。E的延长线于点F.（1）证明：A A D E乌A CF E；（2）若 A B=4 C,CE=5,CF=1,求。8 的长.【分析】（1）由平行线的性质得出N A=/A C r，Z A D F=Z F,根 据A 4 S证明A OE丝 C F E即可；（2）利用全等三角形的性质求出A。，A B即可解决问题；【解答】（1）证明：是边A C的中点，：.A E=CE.5L,：CF/A B,.NA=N4 C F,Z A D F Z F,在4/）：与?：中，Z A D F=Z FFA8,J3.D F=A B,连接 FA.(1)依题意补全图形；(2)判断AF与 8。的位置关系是 D B/2,数量关系是 4F=BD,连接尸8,证明你所填写的A尸与B D的位置关系和数量关系.(3)平面内有一点G,使得D G=D B,F G=F C,求/8 O G 的值.【分析】(1)依题意补全图形；(2)由“SAS”可证A B fg。/8,可得 AB=B。，N A F B=N D B F,可得结论；(3)分两种情况讨论，由“SSS”可证尸 C丝D G R 可得NE4C=NG。尸=140,即可求解.解：(1)如图所示，图1(2)如 图 1,连接BF,：DF/AB,：.Z D F B=Z A B F,：DF=AB,BF=BF,：.A ABFAD FB(S A S),：.AF=BD,/A FB=N D B F,：.DB/AF,故答案为：DB/AF,AF=BD；(3)如图2,图2V ZABM=80,AF/BDfA ZBAF=100=NFDB,：.ZFAC=ZBAC+ZBAF=140,当点G在直线E D的下方时，A C=A B=D Ff FC=FG,DG=DB=AF,.,.AFCADG F(SSS),A ZFAC=ZG D F=140,A ZBDG=40,当点G在直线。尸的上方时，同理可求NHG=NE4C=140,N8OG=360-140-100=120,综上所述：ZBDG=120或400.2 6.在ABC中，N A3C为锐角，A3=5,B C=3,作外角N PA4的平分线M 3,在M 3上找一点。，使得过点。作O E L8P交于点E(1)在 图1中，依题意补全图形;(2)直接写出B E的值(3)如图2,当/A B C为钝角时，猜想A B,BC,B E之间的数量关系，并说明理由.【分析】(1)依照题意补全图形;(2)在射线8 P上截取B H=4 8=5,连接由“SA S”可证A 3。之 H B O,可得A D=H D,由等腰三角形的性质可得C E=E”，即可求解;(3)在射线8 P上截取8 H=A 8,连 接。从 由“SAS”可证丝可得A。=H D,由等腰三角形的性质可得C E=E H,即可求解.图IN A B D=ZDBH,在4 8。和 H 8 O中,AB=BH ZABD=ZDBH.DB=DB.,.ABDAHBD(SAS),：.AD=HD,；A O=C),：.CD=DH,又,：DELCP,：.CE=EH,：.BH=HE+BE=BC+BE+BE,.5=2 B E+3,故答案为：1；(3)如图2,在射线B P上截取8 H=A 8,连接Q H,APH E B即平分乙4 B P,NABD=ZDBH,在A B。和H B。中，AB=BH ZABD=ZDBH.,DB=DB：./ABD/H BD(SA S),：.AD=HD,：AD=CD,：.CD=DH,又；DELCP,:CE=EH,：.BH=HE+BE=BC+BE+BE=AB,工 AB=2BE+BC.