【2021步步高大一轮数学（新高考版）】综合模拟卷一.pdf

综合模拟卷一（时间：1 2 0分钟 满分：1 50分）一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分）1.（2 02 0沧州调研）集合 M=x|lgx 0,N=x*l,N=*-2 W x W 2 ,所以 MA N=（1,2 .1 2 i2.复数z=在复平面内对应点的坐标是（）A.(2,1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(-1,-2)答 案 B._ 1 2i _i(l 2i)解析*.z=：=7T j2 =-2 i,.二 复 数 z 在复平面内对应点的坐标是（一2,1）.3（2 02 0 唐山段考）命题W I+d 2 0”的否定是（）A.V x e R,|x|+x4 0 B.V x R,|x|+fw oC.3%oeR|即|十/2 0 D.3e R|x（）|+x o 0答 案 D解 析 命题的否定为：|x o|+x o。）的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（）AS B.A/3 C.5 D 当答 案 c解析 由题意可设双曲线C 的右焦点为F（c,0）,渐近线的方程为y=!，可得 d=-=b=2a,cya2+h2=y5a,即离心率6=彳=木.7.（2020 山东模拟）已知三棱锥 SA8C 中，NSAB=NA8c=去 SB=4,S C=2 g,AB=2,B C=6,则三棱锥S-A B C 的体积是（）A.4 B.6 C.4小 D.63答 案 C解析 由SB=4,A B=2,且NS4B芍得 SA=2小；又由 AB=2,B C=6,且 NA8C=m，得 AC=2回.jr因为 S42+A C2=S C 2,从而知N S4C=5，即 SA_L4C,又 ABCAC=A,所以SAJ_平面ABC.又由于 S（MBC=5 X2X6=6,从而 VS-ABC=/SAABCS 4=；X 6X 2方=4小.8.（2020 长沙模拟）已知定义在R 匕的函数小）的图象关于y 轴对称，且当x d 0,+8）时，jx+xf（x）0,若 a=0.76j（0.76）,Z=（logo.76Mlogo.76）,。=6 3 式 6-6）,则 a,b,c 的大小关系是（）A.cab B.acbC.bac D.abc答 案 A解析 因为定义在R 上的函数危）的图象关于y 轴对称，所以y=7（x）是定义在R 上的偶函数，所以y=玳x）是定义在R 上的奇函数，又因为 x G 0,+8）时，0,所以），=敏外在0,+8）上是增函数，所以 =刈3 是定义在R 上的增函数，因为 logo.7600.76l6-6,所以ba 2=1C.Q到双曲线的一条渐近线的距离为1D.P Q B 的面积为1答 案 A C D解析 A中，由双曲线x29=1，可得焦点在x 轴上，a2b2,a0,0,a 是实半轴长，b是虚半轴长，渐近线方程为即 y=x,.A 正确；B 中，f-y2=l,可得左焦点E（一也，0）,右焦点6（淄，0）,.以 为 直 径 的 圆 的 圆 心 是（0,0）,半径为也，；圆的方程为*+）2=2,B不正确；C中，F/f,0）到一条渐近线x-y=0 的距离d=/匚：回，=1,，C正确；AJ12+（-1）2D中，函 即 2=3设 P（x,y）,即 i=（一也 x,y）,1 2=（巾 一x,-y）,防2=（一也一 x）（也一万）+（-y）2=0,；.+户2,又尸在双曲线上，.一V=l（y W 0）,由得，加=孚，.-尸 2=奶 尸 2|例=贤 2gX坐=1,D正确.故选A C D.1 1.如图，正方体A B C D-A i B i G O i 的棱长为a,以下结论正确的是（）A.异面直线4。与 A8所成的角为6 0。B.直线4。与 B C i 垂直C.直线AQ与 平 行D.三棱锥A-AC。的体积为答 案 A B D解 析 如图所示，建立空间直角坐标系.A 中，a),D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,a)./.A|D=(-a),A2i=(0,a,a),./,y.亦、AiD AB.cos AD,A B)=-DABta2y2a-y2a.,.异面直线A Q 与 A81所成的角为60。.B 中，Ci(0,a,a),B(a,a,0).AD-BC=-a fit a(a,。，a)=a2a20.直线4。与 BC垂直.C 中，01(0,0,a).AD-BD=(a,0,a)-(a,a,a)=a2a2=0,直线A Q 与 B A 垂直，不平行；D 中，三棱锥A-A C D 的体积=VCAAO=1V1 2 1 33X2a -a=6a -综上可知，只有C 不正确.故选ABD.1 2.已知定义在R 上的偶函数人x)满足人x+4)=/(x)+./(2),且在区间 0,2 上是增函数，下列命题中正确的是()A.函数 r)的一个周期为4B.直线x=-4 是函数,/(x)图象的-一条对称轴C.函 数 在 -6,5)上单调递增，在-5,4)上单调递减D.函数人 )在 0,100 内有25个零点答 案 ABD解 析 .偶函数4 X)满足犬x+4)=r)+大2),.令 x=2 得人-2+4)=共-2)+式2),即2)=区2)+/(2),得犬2)=0,则兀v+4)=/(x),即函数,/U)是周期为4的周期函数，故 A正确.了 医)是偶函数，.图象关于y 轴，即图象关于x=0对称，函数的周期是4,，x=-4是函数,/(x)图象的一条对称轴，故 B正确.函数在区间 0,2 上是增函数，.在区间 2,0 上是减函数，则在区间-6,4 上是减函数，故 C错误，.避 2)=0,.式-2)=0,即函数在一个周期 0,4)内只有一个零点，则函数凡r)在 0,1 0 0 内有2 5 个零点，故 D正确,故选A B D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共 2 0 分)则 c os 俘+2 a)=解析已知s i n|答案V7兀13,且年j+俘+,=看则 c os 俘+a)=s i n一a)=q,故 co s 停+2 a)=2 co s 2 停+J1 =*1 4.在(/一/)9的展开式中，常数项为,系 数 最 大 的 项 是.(本题第一空3分，第二空2分)答 案7的19”解析的展开式中第无+1项为或+1=(2 ()9(一/)=C(一 )91 8-3 ,常数项为r?=c8(3 =毯，第 Z+1项 的 系 数 为 要 使 系 数 最 大，k显然为偶数，经检验，当 4=2时，系数最大,即系数最大的项是-）21 5.（2 0 2 0.长春质检）已知椭圆与+号=1的右焦点尸是抛物线 尸2 度（p0）的焦点，则 过F作倾斜角为60。的直线分别交抛物线于A,B（A在 x轴上方）两点，则 耨=.答 案 3解 析 由椭圆3+9=1,可得右焦点为尸（1,0）,所以=1,解得p=2,设 A（x i,ji）,8（X 2,”）,由抛物线的定义可得.,2P 8P 1 6AB-X i +x2+p-s i n26 0o -3 _ 3，所以项+1 2=号，n2J又由 X X 2=Z=1，可得由=3,X2=y所以A F X r 2 3+1=3.1 6.（2 0 2 0 武汉模拟）三棱锥P-ABC 中，物，底面A B C,%=2吸，底面 A B C中/8 A C=I，边 B C=2,则三棱锥外接球的体积等于答 案 瞥解 析 设 G为 A B C外接圆圆心，。为三棱锥P A B C 外接球球心,则 OG _ L 平面ABC,作O M P A,垂足为M,由正弦定理可知 A B C外接圆直径2 r=2AG=-7=士=2 啦,s i n Z B A C.兀 丫sm4：.AG=y/2.办 _ 1 _ 平面A B C,OG _ L 平面A B C,C.AP/OG,又 AG1.PA,：.OM/AG,四边形O M AG为矩形，：.OG=AM,设 OG=x,O P=O A=R,在 R t A O M P 和 R t A OG/1 中,由 勾 股 定 理 可 得 二=R 2,解得 x=也,l/?=2.三棱锥外接球的体积丫=4*/?3 =等3?元.四、解答题（本大题共6 小题，共 70 分）1 7.（1 0 分）已知AABC 同时满足下列四个条件中的三个:jr2A,；co s 8=一3 a=7；6=3.（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求AABC 的面积.解（1）Z A B C同时满足.理由如下：若 A B C同时满足.因为co s B=京一3，且 Bd（0,7 1）,所以B 半所以A+B 7t,与三角形内角和为兀矛盾.所以 A B C只能同时满足.因为“泌，所以A B,故48 c 不满足.故 A B C满足（.（2）由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A,即 72=32+C2-2 X 3 XCX1.解得c=8 或 c=5（舍）.所以 A B C 的面积 S=1&cs i n A=6A/3.1 8.（1 2 分X 2 0 2 0 邢台模拟）在公差为d的等差数列 斯 中,aid=6,a i N,G N,S.ai d.求 为 的通项公式；若 0,。4,0 3 成等比数列，求数列E1 的前”项和解（l）；4 d=6,a W N,d N,且i=6,d=2,d=.当。i=3 时,斯=2 +1；当 的=6 时，an=n+5.(2)V f li,。4,。1 3 成等比数列，=曷，:.%=2n+1,则斯斯+i 1 2+3)故 S 尸骗+*一肃6+9,1 9.(1 2 分)(2 0 2 0 山东九校联考)已知四棱柱ABCDAIBIG A 的底面为菱形，A 8=A 4=2,j rZ B A D=y A C H B D=O,A。J _ 平面 A 由。，48=4。.(1)证明：SC 平面AB D；求钝二面角B-A A i-D的余弦值.证 明 连接4 省 交48 于点Q,易知。为A Bi 的中点，：0为AC 的中点，.在 A BC 中，O Q H B C,且 OQ=；8C,；O Q u 平面 AiBD,81 c t t 平面 4 B),；.Bi C平面 AtBD.(2)解：A O J _ 平面 4 BO,：.AOLAO,：AB=AD且。为 8。的中点，：.AOLBD,：AO,B O u 平面 A BC。且 AOC B O=。，平面A 8C),如图，建立空间直角坐标系O-.z.易得 A(5,0,0),5(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0,1),二 筋 尸(一 书,0,1),矗=(一小，1,0),设平面A i A B的一个法向量为=(x,y,z),则 An.LAA,?i A B,一6 x+z=0,1 V 3 x+y=0,令 x=l,得 y=z=，,小，同理可得平面A i A。的一个法向量为，”=(1,-y/3,小),/m n 1c o s ”?，)一 丽 一 亍.钝二面角B A A|一。的余弦值为一去2 0.(1 2 分)如图，在平面直角坐标系g中，椭圆，+5=1(。泌 0)的左、右顶点分别为4,B,点3 e)和S，e)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段8 c的垂直平分线与直线BC,AC 分别交于点P,Q,求证：油 质 为 定值.仕+笺 一 14 十 /T，(1)解 由 题 意 知 3 2 结合。2=+，,解得 Q=2,b=/,0=1.所以椭圆的标准方程为3+9=1.证明 由题意知4-2,0),8(2,0),0(0,0),设 C(xo,泗)，联立直线A C,PQ的方程，解得心井嗡镯，所以 仍 质=(2,0 (6,yQ-yP)n.2 1.(1 2 分)已知函数y(x)=a r-lnx.(1)求1A x)的极值;(2)若 a=1,g(x)=y(x)+e*,求证：g(x)0.(1)解 了 (x)=一&x 0),当aWO时，f(x)0 时，令/(x)0,得x!；令 f(x)0,得 0 r 0),g(x)=er-l,令/z(x)=g (x),则，(=r+%*0,所以/i(x)在(0,+8)上单调递增.又#)=#-3 0,所以3 卬6(；,1),使得/i(M)=e xo 9 一1=0,即 e j f t)=7+1,所以函数g(x)在(0,刈)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增,所以函数g(x)的最小值为g(xo)=exoIn&一 沏=1十1In检一沏，又函数y=:+llnxx在(；，1)上是单调减函数，所以 g(xo)l+I In 1 I=10,故 g(x)0.22.(12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及均值；商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X=60)=詈斗即顾客所获的奖励额为60元的概率为g依题意，得X的所有可能取值为20,60.1Cl 1产(X=60)=z，P(X=20)=W=/,故X的分布列为X2060P1212所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)=2 0 x|+6 0 x|=4 0.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为6 0 元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为6 0 元；因此可能的方案是(1 0,1 0,5 0,5 0),记为方案1.对于面值由2 0 元和4 0 元组成的情况，同理可排除(2 0,2 0,2 0,4 0)和(4 0,4 0,4 0,2 0)的方案,所以可能的方案是(2 0,2 0,4 0,4 0),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(1 0,1 0,5 0,5 0),设顾客所获的奖励额为X i,则 X 的分布列为X i2 06 01 0 0P231 2 1X i 的均值为(X,)=2 0 X-+6 0 X-+1 0 0 X g=6 0,X,的方差为 0(X 1)=(2 0-6 0)2X 1+(6 0-6 0)2X|+(1 0 0-6 0)2X对于方案2,即方案(2 0,2 0,4 0,4 0),设顾客所获的奖励额为X 2,则 X 2 的分布列为%24 06 08 0P1216361 2 1X 2 的均值为凤X2)=40X4+60XQ+80X4=60,X 2 的方差为)(X 2)=(4 0-6 0)2X1+(6 0 6 0)2x|+(8 0-6 0)2义=竿.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1 的小，所以应该选择方案2.