2023年河南省地区联考高二上学期豫选命题阶段性检测（一）数学试题含答案.pdf

数学试题（第 页，共 4 页）学科网（北京）股份有限公司1 绝密启用前 2023-2024 学年度高二年级阶段性检测(一)数数 学学(考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分）2023.10.2 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 3.考试完毕后，将答题卡收回4.考察范围选择性必修一 1.1-2.3一、单选题（共一、单选题（共 4040 分分、每小题每小题 5 5 分分）1空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，且23OMOA=，BNNC=，则MN=（）A121232abc+B111222abc+C221332abc+D211322abc+2.已知直线l的一个方向向量为2,1，且经过点1,0A，则直线l的方程为（）A10 xy=B10 xy+=C210 xy=D210 xy+=3如图，平行六面体1111ABCDABC D的底面ABCD是矩形，2AB=，2AD=，12 2AA=，且1160A ADA AB=，则线段1AC的长为（）A2 6B2 5 C26D3 34已知点（3，1）在直线 3x2ya0 的上方，则 a 的取值范围为 A B C D5在正三棱锥PABC中，O是ABC的中心，2PAAB=，则()POPAPB+等于（）A109B2 63C8 23D1636已知点()P xy，在直线10 xy=上的运动，则()()2222xy+的最小值是（）A12B22C14D347设M为函数()23f xx=+（02x B21kk C23kk 10若(1,2)a=，(2,1,1)b=，a与b的夹角为 120，则的值为（）A17 B17 C1 D1 11下列说法正确的是（）A已知直线()2210axay+=与直线320axy+=垂直，则实数 a 的值是43 B直线10mxym+=必过定点()1,1 C直线32yx=在 y轴上的截距为2 D经过点()1,3且在 x轴和 y轴上截距都相等的直线方程为40 xy+=12如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，,E F G分别为11,AD AB BC的中点，以下说正确的是 数学试题（第 页，共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 3（）A1AC 平面EFG B点C到平面EFG的距离为3 C正方体1111ABCDABC D的内切球半径为2 D平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为36 三、填空题（共三、填空题（共 2020 分）分）13已知空间向量,a b c 满足0abc+=，1,2,7abc=，则a与b的夹角为 14直线1:220lxy+=与直线2:2410lxy+=之间的距离为 15如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，,M N分别是棱1111,AB AD的中点，点E在BD上，点F在1BC上，且BECF=，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：当点E是BD中点时，直线/EF平面11DCC D；平面CMN截正方体1111ABCDABC D所得的截面图形是六边形；11B PD不可能为直角三角形；1PDD面积的最小值是4 55.其中所有正确结论的序号是 .16已知实数1x、2x、1y、2y满足：22111xy+=，22221xy+=，121212x xy y+=，则11221122xyxy+的最大值为 四、解答题（共四、解答题（共 7070 分）分）17（本题 10 分）已知向量(4,2,4),(6,3,2).ab=数学试题（第 页，共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 4(1)求|a；(2)求向量a与b夹角的余弦值.18（本题 10 分）已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：2(1)10 xaya+=.（1）当 l1/l2时，求实数 a 的值；（2）当 l1l2时，求实数 a的值.19（本题 12 分）如图，在三棱锥PABC中，点D为棱BC上一点，且2CDBD=，点M为线段AD的中点 (1)以,AB AC AP 为一组基底表示向量PM；(2)若3ABAC=，4AP=，60BACPAC=，求PM AC 20（本题 12 分）已知ABC的三个顶点分别为(0,2)(4,3)(3,1)ABC、求：(1)边AC上的中线所在直线2l的方程；(2)ABC的面积 21（本题 12 分）1.已知直线 l：3230kxyk+=（kR）(1)证明：直线 l过定点；(2)若直线 l不经过第四象限，求 k的取值范围；(3)若直线 l交 x 轴负半轴于点 A，交 y轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB的面积为 S，求 S的最小值及此时直线 l的方程 22（本题 14 分）如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，2AB=，14AA=点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA=，222BBDD=，23CC=(1)证明：2222/B CA D；(2)求点1B到平面222A C D的距离；(3)点 P 在棱1BB上，当二面角222PA CD为150时，求2B P 学科网（北京）股份有限公司 数学答案第 1 页，共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年度高二年级阶段性检测(一)数数 学学 参考答案及评分标准 1D【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，且23OMOA=，BNNC=，如图，所以1122ONOBOC=+，所以21211()32322MNMOONOAOBOCabc=+=+=+，故选：D 2D【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线l的一个方向向量为2,1，所以直线l的斜率1122k=，又直线l经过点1,0A，所以直线l的方程为()112yx=，即210 xy+=.故选：D 3B【分析】根据题意，由11ACACCC=+，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】由11ACACCC=+，可得()22222111112ACACACCCACAC CCCC=+=+，因为底面为矩形，2AB=，2AD=，12 2AA=，所以22224ACAC=+=，22118CCCC=，又()1111AC CCABADCCAB CCAD CC=+=+1111cos60cos6022 222 2422ABCCADCC=+=+=，所以222111242 4820ACACAC CCCC=+=+=，则12 5AC=.故选：B 4A【详解】试题分析：设 当时，点（0，0）与点（-3，-1）在直线的同侧，而 g（0,0）0,所以 g（-3,-1）0,即-9+2-a-7，所以此时 a0当 a=0 时，显然符合题意当 a0,所以 g（-3,-1）0,即-9+2-a-7,所以此时-7a-7故选 A 考点：点与直线的位置关系 5D【分析】将PA 转化为POOA+，PB 转化为POOB+，数学答案第 2 页，共 8 页 由三棱锥是正三棱锥可知POAO，POBO，即可将PO PA 转化为2|PO，PO PB 转化为2|PO，结合勾股定理即可求解【详解】PABC为正三棱锥，O为ABC的中心，PO平面ABC，AOBO、平面ABC，POAO，POBO，ABC是等边三角形，12 302 sin603ABPO OAAO=，12 302 sin603ABPO OBBO=，故()22248433PO PAPOPOOAPOPAOA=+=，()22248433PO PBPOPOOBPOPBOB=+=，则()163POPAPBPO PAPO PB+=+=故选：D.6A【分析】()()2222xy+表示点()P xy，与()2 2，距离的平方，求出()2 2，到直线10 xy=的距离，即可得到答案.【详解】()()2222xy+表示点()P xy，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10 xy=的距离1222d=，所以()2,2的最小值为212d=故选：A 7A【分析】由数量积的定义表示求出1MNO NMy=，再利用条件3 3OM=，结合点M在函数()23f xx=+（02x）图象上，可求出点M，从而解决问题.【详解】设点(,)MMM xy，则0,1NO，,1MMNMxy，()coscos NO NMNONMONMNMONM=11MMyNMyNM=，又()()22223 3MMOMxy=+，则()22333MMyy=+可得2300MMyy+=，又02x，则37y，121kkk=所以21kk，23kk故选项 BCD 正确.故选：BCD 10BD【详解】由题意得222cos120144 1 1 =+解得1=或17=故选：BD 11BC【分析】根据直线垂直关系列方程求a，判断选项 A；将直线方程化为点斜式即可判断选项 B；根据截距的定义判断选项 C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项 D.【详解】解：对 A：因为直线()2210axay+=与直线320axy+=垂直，则()2322340a aaaa+=+=，解得0a=或43a=，A不正确；数学答案第 4 页，共 8 页 对 B：直线10mxym+=可变为()11ym x=，因此直线必过定点()1,1，即 B 正确；对 C：由直线方程32yx=取=0 x，得=2y，所以直线32yx=在y轴上的截距为2，所以C正确 对 D：经过点()1,3且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为40 xy+=或3yx=，所以 D 不正确；故选：BC 12AB【分析】对于 A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于 B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于 C，根据正方体1111ABCDABC D的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于 D，利用面面角的向量法求解即可判断.【详解】对于 A，建立如图所示空间直角坐标系，则1(2,0,2),(0,2,0),(1,0,0),(2,1,0),(1,2,2)ACEFG，所以1(2,2,2),(1,1,0),(0,2,2)ACEFEG=，所以110440,2200AC EGAC EF=+=+=，所以11,ACEG ACEF，由于,=EGEFE EG EF平面EFG，所以1AC 平面EFG，A 正确；对于 B，由 A 可知，平面EFG的一个法向量为1(2,2,2)AC=，()1,0,2CG=，所以点C到平面EFG的距离为1120432 3CG ACAC+=，B 正确；对于 C，因为正方体1111ABCDABC D的内切球的直径为正方体的棱长，所以正方体1111ABCDABC D的内切球半径为1，C错误；对于 D，平面ABCD的法向量为(0,0,1)n=，设平面EFG与平面ABCD的夹角为，则113cos3|AC nAC n=，D 错误.故选：AB.133/60【分析】根据题设知,a b c 可构成三角形，利用余弦定理求a与b的夹角.【详解】由0abc+=，即,a b c 首尾相连可构成三角形，所以222|1471cos,2 1 222abca ba b+=，又,0,a b，故,3a b=.故答案为：3 1452【详解】直线2:2410lxy+=可化为21202lxy+=：，则直线1:220lxy+=与直线2:2410lxy+=平行,故直线1:220lxy+=与直线2:2410lxy+=之间的距离为1|2()|5225d=，故答案为：52.数学答案第 5 页，共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 15【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定，利用平面的性质构造相交线可判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判定，利用空间中点到直线的距离可判定【详解】对，如图所示，因为E是BD中点，BECF=，连接1BC，显然F也是1BC的中点，连接1DC，所以1/EFC D，而EF 平面11DCC D，1DC 平面11DCC D，所以直线/EF平面11DCC D，正确；对，如图直线MN与1111C BC D、的延长线分别交于11,MN连接11,CM CN，分别交11,BB DD于22,MN，连接22,MMNN，则五边形22MM CNN即为所得的截面图形，故错误；以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则11(1,0,2),(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2)MCBD，对，设()()1,2,20,1MPt MCtt=，则()1,2,22P ttt+，则11(1,2,2),(1,22,2)PBttt PDttt=，若1190B PD=，则211(1)(1)(2)(22)229410PB PDtttttttt=+=得2139t=，由2130,19t+=，故存在点P，使得1190B PD=，故11B PD可能为直角三角形，错误；对，由得()1,2,22P ttt+到1DD的投影为()0,2,22t+，故P到1DD的距离222316(1)(22)555dttt=+=+，1PDD面积为2131625(0,1)255Sddtt=+，当35t=时，S取得最小值为4 55，正确.故答案为：.1623+数学答案第 6 页，共 8 页【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，1112xy+2212xy+的几何意义为点A，B两点到直线x+y1=0的距离 d1与 d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值【详解】设 A（x1，y1），B（x2，y2），OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），由 x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，且OA OB=11cosAOB=12，即有AOB=60，即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，1112xy+2212xy+的几何意义为点 A，B 两点 到直线 x+y1=0 的距离 d1与 d2之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y=1 平行，可设 AB：x+y+t=0，（t0），由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=2t，可得 2212t=1，解得 t=62，即有两平行线的距离为6122+=232+，即1112xy+2212xy+的最大值为2+3，故答案为2+3【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题 17(1)|6a=(2)1112 【详解】（1）因为(4,2,4)a=，所以222|(4)24366a=+=.（2）因为(4,2,4),(6,3,2)ab=，所以(4,2,4)(6,3,2)246822a b=+=，又因为222|6,|(6)3(2)7ab=+=，所以2211cos,.6 721a b=故a与b夹角的余弦值为1112.18（1）-1；（2）23.【详解】解：由题意得：（1）(方法 1)当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1：32ayx=，l2：()111yxaa=+12ll/时，()12131aaa=+解得 a-1 综上可知，当 a-1 时，l1/l2(方法 2)l1/l2 2(1)1 20(1)1 60a aa a=2220(1)6aaa a=解得 a1 故当 a1 时，l1/l2.（2）(方法 1)当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于 l2，故 a0 不成立；数学答案第 7 页，共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 当 a1 且 a0 时，l1：32ayx=，l2：1(1)1yxaa=+由1121aa=，得23a=(方法 2)l1l2，a2(a1)0，解得23a=19(1)1136PMAPABAC=+；(2)3.【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解【详解】（1）M为线段AD的中点，12AMAD=，2CDBD=，13BDBC=，PMPAAM=+12PAAD=+1()2PAABBD=+11()23PAABBC=+11()23PAABBAAC=+111()233PAABABAC=+1136APABAC=+；（2）11()36PM ACAPABACAC=+21136AP ACAB ACAC=+AP AC cos PAC=13AB AC cos BAC+216AC+211114 33 332326=+336322=+=20(1)10 xy+=(2)152 【分析】（1）由题可得 AC中点坐标，结合中线过 B点，可得答案；（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.【详解】（1）设AC边上的中点为D，则032 1,22D+，即31,22D，故 AC边上的中线 BD所在直线的方程3l的斜率为31321342lk+=，故3l为：()34yx+=，即10 xy+=（2）边 AC所在直线的方程为：()122203yxxy=，且()()2230123 2AC=+=，点B到直线AC的距离为：()4325 2211d=+，故ABC的面积：115 2153 22222SAC d=21(1)证明见解析(2)0,)+(3)4，240 xy+=【分析】（1）将含有 k的式子整理在一起并将 k提出，令 k的系数为 0，进而得到答案；（2）将直线化为斜截式，结合（1）对直线斜率和纵截距进行限制，最后得到答案；（3）算出直线与坐标轴交点的坐标，进而通过基本不数学答案第 8 页，共 8 页 等式求出面积的最小值，及此时直线的方程.（1）()32302330kxykk xy+=+=，令 x+2=0，则-3y+3=0，则直线 l过定点（-2,1）.（2）直线 l：23323033kkkxykyx+=+，因为直线不过第四象限，且直线的定点（-2,1）在第二象限，所以030,)2303kkk+.（3）由题意，03(0,)2303kkk+，令 x=0，得233ky+=，令 y=0，得23kxk+=，所以1232319194122 41242366kkSkkkkk+=+=，当且仅当9342kkk=（负值舍去），则直线 l：333302402xyxy+=+=.22(1)证明见解析(2)2 63(3)1 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示证明；（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离；（3）利用空间向量与二面角的关系求解.【详解】（1）以C为坐标原点，1,CD CB CC所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA,()()22220,2,1,0,2,1B CA D=,所以2222/B CA D ，且2222,B C A D不在一条直线上，所以2222/B CA D.（2）设平面222A C D的一个法向量为(,)mx y z=，2222(2,2,2),(0,2,1)A CA D=,所以2222222020A CmxyzA Dmyz=+=+=，设2z=，则1,1xy=，所以(1,1,2)m=，又因为121(0,2,4),(0,2,1)BC B=,所以点1B到平面222A C D的距离2142 636C B mdm=.（3）设(0,2,)(04)P，()()2222,2,2,0,2,3,A CPC=设平面22PA C的法向量为(,)na b c=，则22222202(3)0n A Cabcn PCbc=+=+=,令2,3,1cba=，所以(1,3,2)n=，所以()()2263cos,cos150,26413m nm nm n=+可得2430+=，解得1=或3=，所以21B P=.