广东佛山S7高质量发展联盟2023-2024学年高三上学期联考（10月）数学试卷含答案.pdf

第 1 页 共 4 页2023-2024 学年上学期佛山市 S7 高质量发展联盟高三联考试卷数学 学科2023-2024 学年上学期佛山市 S7 高质量发展联盟高三联考试卷数学 学科一、单选题一、单选题1设集合21,2,Mx xkkZNx xkkZ，则（）AMN=BMNCNMDMN2已知复数1 iz （i为虚数单位），则574z（）A1B5C3D43如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，E 是 CD 的中点，那么AE DC （）A4B2C3D14已知函数 fx是 R 上的偶函数，且满足 4f xf x，当0,2x时，2log1yx，则20192020ff（）A1B-1C-2D25已知椭圆 C：2xm+26ym=1 的离心率为32，则 C 的长轴长为（）A82B42C22D46曲线2:2C xyy与直线:0l xym有两个交点，则实数m的取值范围（）A2112m B212m C122m D22m 7已知正项数列 na的前 n 项和为nS，且12a，21132 3nnnnnnSaSS，则2023S（）A202331B2023312-C2023312D20223128如图，某公园有一个半径为 2 公里的半圆形湖面，其圆心为 O，现规划在半圆弧岸边取点 C、D、E，且22DOEAOCCOD ，在扇形AOC区域内种植芦苇，在扇形COD区域内修建水上项目，在四边形ODEB区域内种植荷花，并在湖面修建栈道DE和EB作为观光线路.当DEEB最大时，游客有更美好的观赏感受，则DEEB的最大值为（）A94B4C92D6二、多选题二、多选题9下列结论正确的有（）#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#第 2 页 共 4 页A若随机变量，满足21，则()2()1DDB若随机变量23,N，且(6)0.84P，则(36)0.34PC若线性相关系数|r越接近 1，则两个变量的线性相关性越强D按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，4448，52，若这两组数据的第 30 百分位数、第 50 百分位数都分别对应相等，则67mn10现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（）A若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54B若每项工作至少有 1 人参加，则不同的方法数为4154A CC如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排 1 人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为3122352533C CC CAD每项工作至少有 1 人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A11设函数 ln,fxf xxx g xx，则下列说法正确的有（）A不等式 0g x 的解集为1,e；B函数 g x在0,e单调递增，在,e 单调递减；C当1,1xe时，总有 f xg x恒成立；D若函数 2F xf xax有两个极值点，则实数0,1a12如图甲，在矩形ABCD中，2AB，1BC，E为AB上一动点（不含端点），且满足将AED沿DE折起后，点A在平面DCBE上的射影F总在棱DC上，如图乙，则下列说法正确的有（）A翻折后总有BCADB当12EB 时，翻折后异面直线AE与BC所成角的余弦值为13C当12EB 时，翻折后四棱锥ADCBE的体积为5 536D在点E运动的过程中，点F运动的轨迹长度为12#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#第 3 页 共 4 页三、填空题三、填空题13在二项式912xx的展开式中，常数项是14 在ABC中，点 D 是边 BC 上一点，且4AB，2BD.11cos16B，6cos4C，则 DC=.15在正四棱锥PABCD中，已知2PAAB，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为2 33的球，则平面PCD截该球的截面面积为16希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点,A B的距离之比为定值1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，2,1A，2,4B，点P是满足12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线:E24yx上的动点，Q在y轴上的射影为H，则12PBPQQH的最小值为.四四、解答题、解答题17已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且1cos2aBbc(1)求角 A 的大小；(2)设AD是BC边上的高，且2AD，2 3a，求bc的值18如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，M 是棱 DD1上的一点，AA1平面 ABCD，ABDC，ABAD，AA1AB2AD2DC.（1）若 M 是 DD1的中点，证明：平面 AMB平面 A1MB1；（2）设四棱锥 M-ABB1A1与四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积分别为 V1与 V2，求12VV的值19已知各项均为正数的等比数列 na的前n项和为nS，且234452,2aaa Sa；数列 nb满足2112121,nnnnbnNbbbb(1)求na和nb；(2)求数列212 lognnba的前 n 项和nT#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#第 4 页 共 4 页20随着2023 年中国诗词大会在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部 1000 名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取 100 名学生，对其测试成绩（满分：100 分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩 X 近似服从正态分布,169N，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于 87 分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）(3)现该校为迎接该省的 2023 年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得 1 分，第三个环节中获胜得 4 分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为45，57，12，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期 E.（参考数据：若2,XN，则0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX.21已知抛物线2:20E ypx p，04,Py为 E 上位于第一象限的一点，点 P 到 E 的准线的距离为 5(1)求 E 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，F 为 E 的焦点，A，B 为 E 上异于 P 的两点，且直线PA与PB斜率乘积为4（i）证明：直线AB过定点；（ii）求FA FB的最小值22已知函数 212 ln2,2fxxaxax aR(1)当1a 时，求函数 fx的极值(2)是否存在实数a，对任意的0,m n,，且mn，有 f mf nam n恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 1页，共 8页2023-20242023-2024 学年上学期佛山市学年上学期佛山市 S S7 7 高质量发展联盟高质量发展联盟高三高三联考试卷联考试卷数学数学 学学科科参考答案参考答案1B【详解】集合21,Mx xkkZ，故M为奇数集.而2,Nx xkkZ，故N为整数集，MN.故选：B.2A【详解】因为复数1 iz （i为虚数单位），则5 34i55534i7474 1 i34i34i34i55z，因此，2253417455z.故选：A.3B【详解】ADDEAE DCDCDCDCADDE ,因为ADDC，故0AD DC.而E为CD的中点，故1 2 cos02DCE D，故2AE DC .故选：B.4A【详解】由题可知()f x是以 4 为周期的周期函数，2(2019)(1 4 505)(1)(1l)og(1 1)1 ffff，2(2020)(04 505)lo(0)g(0 1)0fff，(2019)(2020)1ff.故选：A5B【详解】依题意，因为椭圆 C 的离心率为32，所以66mmm=32，得 m=2，故长轴长为 26m=426B【详解】由22xyy可知0 x，得到2220 xyy+，即2211xy，0 x，作出曲线2:2C xyy的图像如下：当直线:0l xym经过点0,2A时，直线与曲线有两个交点，此时20m，解得2m；当直线与曲线相切时，圆心0,1到直线0 xym的距离1111 12mmd，解得21m=或21m ；因为直线0 xym可化为yxm，由截距0m得0m，则21m=，此时直线与曲线只有一个交点；故满足条件的实数m的取值范围为212m.故选：B.#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 2页，共 8页7C【详解】由题设2113()2 3nnnnnnnSSSSS，则22113()nnnnnSSSS，又 na都为正项，则0nS，故13nnnSS，所以2022202222023202232213(1 3).3.331 3SSSSSS，所以20232023120233322SSS，故20232023312S.故选：C8C【详解】设AOC，则2,4DOECODBOE，04,0,0242，则sin、cos2为正数.在三角形ODE中，连接DE，由余弦定理得：2442 2 2 cos28 8cos216sin4sinDE ，在三角形BOE中，由余弦定理得：2244222 cos 488cos416cos 24cos24 12sinEB ，所以224sin4 12sin8sin4sin4DEEB,由于2sin0,2，所以当41sin284 时，DEEB取得最大值，也即1sin4AOC时，DEEB取得最大值为2119844442 .故选：C9BC【详解】对于 A，由方差的性质可得2()2()4()DDD，故 A 错误；对于 B，由正态分布的图象的对称性可得(36)(6)0.50.34PP，故 B 正确；对于 C，由相关系数知识可得：线性相关系数|r越接近 1，则两个变量的线性相关性越强，故 C 正确；对于 D，甲组：第 30 百分位数为 30，第 50 百分位数为372m，乙组：第 30 百分位数为n，第 50 百分位数为33447722，则30377722nm，解得3040nm，故70mn，故 D 错误；故选：BC10AD【详解】对于 A，若每人都安排一项工作，每人有 4 种安排方法，则有54种安排方法，A 正确；对于 B，先将 5 人分为 4 组，再将分好的 4 组全排列，安排 4 项工作，有2454C A种安排方法，B 错误；#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 3页，共 8页对于 C，先将 5 人分为 3 组，有312252532222C CC CAA种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有33A种情况，则有31223525332222C CC CAAA种安排方法，C 错误；对于 D，从丙，丁，戊中选出 1 人开车，从丙，丁，戊中选出 2 人开车，则有1232334333C C AC A种安排方法，D 正确故选：AD11AC【详解】由题意得()ln1fxx，则ln1()(0)xg xxx对于 A：由ln1()0 xg xx，可得ln1x ，解得1xe，所以解集为1,e，故 A 正确；对于 B：221(ln1)ln()xxxxg xxx，令()0g x，解得 x=1，所以当(0,1)x时，()0g x，函数()g x为增函数，当(1,)x时，()0g x，函数()g x为减函数，故 B 错误；对于 C：当1,1xe时，若 f xg x，则()()0f xg x，所以ln1ln0 xxxx，即2lnln10 xxx，令21()lnln1,1h xxxxxe，则2111()2ln2 lnh xxxxxxxxxx，22111()2ln212ln3h xxxxxxx，当1,1xe时，()0h x，函数()h x为增函数，又(1)01 10h ，所以()0h x在1,1e是恒成立，所以21()lnln1,1h xxxxxe为减函数，又max211()0h xhee，所以2()lnln10h xxxx 在1,1e是恒成立，所以当1,1xe时，总有 f xg x恒成立，故 C 正确；对于 D：若函数 22lnF xf xaxxaxx有两个极值点，则()ln120F xxax 有两个根，即ln12xax在(0,)有两个根，令ln1()xm xx，则2ln()xm xx，所以当(0,1)x时，()0m x，函数()m x为增函数，当(1,)x时，()0m x，函数()m x为减函数，又当0 x 时，()m x ，当x 时，()0m x，(1)1m，所以2(0,1)a，解得10,2a，故 D 错误.故选：AC12ACD【详解】在图乙中，因为点A在平面DCBE上的射影F在棱DC上，所以AF 平面DCBE，#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 4页，共 8页又BC平面DCBE，所以AFBC，又BCDC，AFDCF，,AF DC 平面ADC，所以BC平面ADC，又AD 平面ADC，所以BCAD，故 A 正确；如图，在图乙中作EPDC于P，连接AP，则/EP BC，所以AE与BC所成角即为AE与EP所成角，又由BC平面ADC可得EP平面ADC，所以EPAP而1EP，322AEBE，则2cos3AEP，即AE与BC所成角余弦值为23，故 B 错误；如上图，在图乙中作FGDE于G，连接AG，则由AF 平面DCBE可得AFDE，又FGAFF，FGAF，平面AGF，所以DE平面AGF，又AG 平面AGF，则DEAG，在图甲中，如图，作AGDE，则A，G，F三点共线，设AEx，DFy，则由DFAADE可得DFADADEA，即11yx，又在图乙中有22210AFADDFy，所以0,1y，所以11xy，而0,2xAE，所以1,2x，1111,1,1222yx，故 D 正确；当12EB 时，32x，则23y，所以2245193AFADDF，则12155 52326336A DCBEEBDCBCVAF，故 C 正确.故选：ACD.13212/10.5143【详解】在ABD中，2222cos9ADABBDAB BDB，可得3AD.又由余弦定理，22294 161cos22 3 24ADBDABADBAD BD ，可得15sin4ADB.在ADC中，sinsinDACADBC，由此可得sinsincoscossinDACADBCADBC，由已知可得10sin4C，代入可得15611010sin44444DAC，所以ADDC，所以3DC.故答案为：3.1523【详解】由正棱锥性质知：PO平面ABCD，取CD中点E，连接PE，作OGPE，垂足为G，PO 平面ABCD，CD 平面ABCD，POCD，,O E分别为,AC CD中点，/OE AD，又ADCD，OECD，#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 5页，共 8页,PO OE 平面POE，POOEO，CD平面POE，又OG平面POE，OGCD，又OGPE，,CD PE 平面PCD，CDPEE，OG平面PCD，则由球的性质可知：G为平面PCD截球O所得截面圆的圆心，设H为该截面圆与PE的一个交点，连接OH，2PAAB，122AOAC，112OEAD，422PO，2 13PE，又1122POESPO OEPE OG，63PO OEOGPE；2 33OH，2263HGOHOG，即截面圆的半径63r，截面圆的面积223Sr.162224xy；101/110.【详解】设点(,)P x y，12，2222(2)(1)1122(2)(4)xyPAPBxy2224xy.抛物线的焦点为点F，由题意知1,0F，1QHQF，12PAPB，22minmin1112 1111012PBPQQHPAPQQFAF .故答案为：2224xy；101.17【详解】（1）解：在ABC中，1cos2aBbc由正弦定理，可得1sincossinsin2ABBC，即1sincossinsin2ABBAB，即1sincossinsincoscossin2ABBABAB，整理得1sincossin2BAB，因为0B，所以sin0B，则1cos2A，又因为0A，所以3A 5 分（2）解：由（1）及已知，可得1122 32 322ABCSah，又由13sin234ABCSbcbc，可得32 34bc，所以8bc，由余弦定理2222cos3abcbc，可得2212bcbc，即2123bcbc，即2122436bc，所以6bc.10 分18【详解】（1）因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1AB，又 ABAD，AA1ADA，所以 BA平面 AA1D1D，又 MA1平面 AA1D1D，所以 BAMA1.因为 ADDM，所以AMD45，同理A1MD145，所以 AMMA1，又 AMBAA，所以 MA1平面 AMB，又 MA1平面 A1MB1，故平面 AMB平面 A1MB1.6 分（2）设 AD1，则四棱锥 MABB1A1的底面 ABB1A1的面积 SABB1A14，高为 AD1，#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 6页，共 8页所以四棱锥 MABB1A1的体积 V113SABB1A1AD43.四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 的面积 SABCD32，高为 AA12，所以四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V2SABCDAA13，所以1249VV12 分19【详解】(1)设等比数列 na的公比为0,q q 由22342,20aaa qq解得2q=或1q (舍)，又452=Sa，41411 2221 2aa，解得12a，2,nnanN，2 分21212nnnnnNbbbb2n时，212111121nnnnbbbb，22112nnnnnnnbbb整理得112nnnnnbb，又11b 数列nnb是首项为 1 的常数列，1nnb，,nbn nN6 分(2)设2111 112 log222nnncbannnn，8 分12nnTccc11111111111232435112nnnn111112212nn3234212nnn12 分20【详解】（1）由频率分布直方图估计平均数为：0.005 10 450.010 10 550.020 10 650.030 10 750.025 10 850.01 10 9574（分）2 分（2）由题意可得测试成绩 X 近似服从正态分布274,13N所以61870.6826PX，则11871618710.68260.158722P XPX所以1000 0.1587158.7159人故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为159人；5 分（3）随机变量的所有可能取值为：0,1,2,4,5,64511011157235P ，42115113157257270P，#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 7页，共 8页451225727P1211457235P42115113557257270P，451265727P所以的分布列如下：012456P135137027135137027数学期望 11321132123012456357073570735E .12 分21【详解】（1）由题可知452p，解得2p.所以E的标准方程为24yx；2 分（2）（i）由（1）知，2044y，且00y，解得04y，所以(4,4)P.设221212,44yyAyBy，则121144444PAykyy，同理可得，244PBky，则1244444PAPBkkyy，即12124200yyy y.当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为221211212444yyyyyxyy，整理得121240 xyyyy y.所以11420(4)0 xyyy，即12445yxyy，所以直线AB过定点(5,4)；当直线AB的斜率不存在时120yy，可得11220,5yx.综上，直线AB过定点(5,4).7 分（ii）设1122,A x yB xy，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为(5)454yk xkxk，与抛物线E联立得24,54yxykxk，消去x得22221084(54)0k xkkxk，由题意0，所以222121221084(54),kkkxxx xkk.所以2211221222(54)1084|1111kkkFAFBxxx xxxkk#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#答案第 8页，共 8页2248201636363620555kkk，所以当165,56kk 时，|FAFB的最小值为365；当直线AB斜率不存在时，125xx.由抛物线定义知12|1136FAFBxx.故|FAFB的最小值为365.12 分22【详解】（1）当1a 时，212ln32fxxxx，2232()3(0)xxfxxxxx，令()0fx，解得1x 或2x，当1x 或2x 时，()0fx，当12x时，()0fx，所以()f x在0,1和(2,)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以()f x的极大值为5(1)2f，极小值为(2)2ln24f；4 分（2）假设存在实数 a，对任意的0,m n,，且mn，都有 f mf nam n恒成立，不妨设0nm，若 f mf nam n，即 f mamf nan，令2211()()2 ln(2)2 ln222g xf xaxxaxaxaxxaxx，显然只要()g x在(0,)为增函数即成立，因为 2211 22222xaaxxagxxxxx，要使()g x在(0,)为增函数则 0gx在(0,)恒成立，即只需1 20a，则12a，所以存在1,2a满足题意12 分#QQABCQaEgggoABJAAQgCQwFgCAIQkACCACoGBBAMMAAAgANABAA=#