2021-2022学年江苏省淮安市普通高校对口单招高等数学二自考真题(含答案).pdf

2021-2022学年江苏省淮安市普通高校对口单招高等数学二自考真题（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（30题）1 设函数2=产，则飙产（）A.2e2 B.4e2 C.e2 D.O2.下列等式不成立的是lim（l+-r5=eA.A.一 nB.一 lim（I+-y）=cc n3.下列广义积分收敛的是（）。A.B.7 TIn|x|dx-8+ooexdxD.Ji设 函 数 八 在 0.2 上 连 续，且在（0.2）内,则 下 列 不 等 式 成 立 的 是A.f（0）f （l）f（2）B.f（0）f （l）f（2）C.f（0）f（2）f（1）4 D.f（0）f（2）f（1）设/U）=（l+z，,则/C r）（）A.有极小值5.C.无极值B有极大值D.是否有极值不能确定J-rdx=6，+xA.A.a rcsinx+C B.-a rcsinx+C C.ta nx+C D.a rcta nx+C7.从9 个学生中选出3 个做值日，不同选法的种数是（）.A.3B.9 C.84 D.5048.设z=yxy,则生2K(1.1)A.0B-1C.-1D.1已知 i m 立 丝 竺=5,贝Ua=9.I 1 xA.A.7 B.-7 C.2 D.3设函数/(x)=E-(J C*1).则 lim/(x)=10.x-1 i ()0A.0 B.-1 C.l D.不存在J：2 +xl n(l +X2)去=HA.4 B.2 C.0 D.-21 9设函数”，则善=()1Z.drA.xy B.xyl n y C.xyl n x D.yxy-11 3.【+2-4.xNl 一设函数/()=,则l i m j-T Tx-11 0 x 0.f (工)=a+h Z _八 在 工=。处连续，则a =_.-，N&031.632.J1+x 1lim-=x33.1淅(1+&产=，则 k=_.x*8 X34.曲线y=ln(l+x)的 垂 直 渐 近 线 是。35.设 加=帆（言）:则/）=设 z=lnjl+x+尸，求 dz(l，1).36.37.曲线y=(x-1)3-1的拐点坐标是J 3/+17n+l39.fxd(cosx)=40.设2=F，贝 ljd z=41.已知Jf=(x)dx=(l+x2)arctanx+C,则 f(x)42.J/08 xdx=43.某灯泡厂生产2 5 W 电灯泡.随机地抽取7个进行寿命检查,结果如下（单位:小时）:1487,139415 07,15 28,1409,15 87,15 00,该 产 品 的 平 均 寿 命 估 计 是，该产品的寿命方差是44.loxJ+3x+2dx=45.r2+1设 y=：,则 y，=x-146.fx5dx=_47.函数 f(x)=x/Inx 的驻点 x=o48.曲线 y=5 Inx2+8 的拐点坐标(xo,yo)=.49.a,设z=f(u,v),u=cxy,v=ln(x2+y2),/是可微函数，则丁=_ _ _ _ _dx50.y =，则 yr=_1+ta nj;极限 lim 1.2+；“+5 1.”cos2 f drlim -52.l。z53.54.limsin(x-1)/1A.1B.OC.211755.设函数 f(jr)=Insinx.则 dy19 T IsinxC.cotxdxU.-couArD ta rurdo*5 6.曲线y=2x2+3x-26上 点 M 处的切线斜率是1 5,则 点 M 的坐标是57.1.o设 f(x)=cos,则 f ()=_.X 7t58.、d ZS z=a rc cot(x+y),则y=_59.I设随机变景劭分布列为;60.设函数y=，(一 2 ).则y=A./(-2 x)B.-/(-2 x)C.2/(-2 x)D.-2/(-2 z)三、计算题（30题）61.求徵分方程 xl ru-d y+(l tu-)d x=0 满足 y=1 的特 解.6 2.求“=ta n(j-yz)的全微分.,x0,求j 7。-1)山.-N V 0,63.I +/64.设曲线y=4-x2（xN0）与x轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为D（如图中阴影部分所示）.图 131求D 的面积S；求图中x 轴上方的阴影部分绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.65.求 微 分 方 程=1 J-J的通解.6 6设函数口=/5）./可 叫 求 寡 禽.磬6 7设八工）是连续函数，且/（，）&=了.求/（7）.6 8.已知/=/0)1./(2)=八 2)=I.求，69.求出数/（x）=-：的单调I区间、极值、凹凸区间和拐点.求极限hm里 上70.巳知参数方程71.=a(t-sin/).求 张*已知函数/（外处处连续.且满足方程，1 1/(/)d/=一 丁+1+”sin2r+丁。2工.J 9ZZ7 2.73.求 极 限 师 艺 三巳 知 曲 线 成 求，（1）曲线在点（11）处的切蚊方程与法线方程，74.（2）线上尊一点处的切线与宣城9 0 4工一1平行？x1 sin 一,求 函 数 八 工)=175.10.x#0.的导数.x-076.求极限hm cou/-,-5 的单蠲区间与极值点.86.求微分方程3/+5工 一 5y-0 的 通 解.计 算，业dy.K中。是由,一I Wy-I所图成的区域.87.U 丫8 8 求不定积分 产+ln(l+，)0）.8 9.求函数/（外.90设 z=/（f）是由方程x z =y+e，所确定，求去四、综 合 题（10题）91.设抛物线y =+&r+c过原点，当0&H4 1时2 0,又已知该抛物线与工轴及x =1 所围图形的面积为，试稿定使此图形绕了轴旋转一周而成的体枳最小.92.设 义工）在区间 a，瓦 上可导，且八a）=/（6）=0,证明：至少存在一点（a,6）.使得八 9+3=0.93.求由曲线V=（工一1）和直线I=2 所围成的图形绕上轴旋转所得旋转体体积.证 明：方 程 4工 一 1 =言7T在（0.1）内 仅 有 一 个 根.94.J 力 1 t95.证明方程二-3 l一 I =0在 1与 2 之间至少有一个实根96.求由曲线“1+4与，=*所图成的平面图形的面机平 面 图 形 由 抛 物 线=2 z与 该 曲 线 在 点 处 的 法 线 所 围 成.试 求,(D 该平面图形的面积97.(2)该平面图形绕工轴旋转所成的旋转体的体积.苦/(，)在。力 上连续.存在E M两个常数且稠足a 4 4 4 儿证明，恒”98.m(xt-A)V fir,-/M 0)上一点M(l.l)作切线/.平面图形D 由曲线F=切线/及T轴国成.求：3)平面图形D 的面积；(2)平面图形D 烧1 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.五、解答题(10题)101.计 算J笨也102.设 f(x)的一个原函数为x ln x,求JxP(x)dx。r+，、一j r c-rd.r.103.求 J o104.(本篇满分10分)设z 由方程e*-x f +in(y+*)=0确定，求dx.项求J14-sinx.106.设z=f(x,y)是由方程e F-，+z2+*=l确定的函数，求 生 与 农o x d y107.ri A计 算7 J d z.Jo 4 e108.建 面积为1的网球场（如卜.图所示），四周要留下通道，前、北两侧的通道宽为5 东、西两侧的通道宽为6.问：为使征用的土地最少，则网球场地的长和宽各为多少？109.计算!*警业110.当 xl 时，证明 l n(1 +x).Inx 1 +x六、单选题（0 题）111./皿 （2x4-3已知函数/（x）=,XxW。x0则 lim/(x)+lim/(x)=X TT X T2A.A.9 B.8 C.7 D.6参考答案1.C2.C利用第二个重要极限易判定.A.B.C.D.iimfi+i r=ni imfi+i r(i+n5=e.)n)V n)“J+=lim(l+J)=e0=1 理 焉T=则+)f。故选C.3.B4.B5.A6.Df-dr=arc tan x+C.Jl+x27.C设u=xy,则z=4田 出 次 d z讪 1 1 1因 为记=嬴 嬴=访.石y=Q代所 以T 4及二8.B解 析：七（川2丫斗129.B因为分母l i m(l -X)=0所以必有分子l i m，+o x+6)=0J C T】即 a +7 =0 =-710.D先去函数的绝对值,使之成为分段函数；然后，运用出数在一点处极限存在的充分必要条件进行判定.由/(外 3=?x 1因为 lim f (x)=lim(-!)=-!,i r i 厂lim/(x)-lim 1 =1.5lim/(x)#lim/(x).一所以不存在.故选D.解 析)因 为x l n(l +，)是奇函数 所 以 2 +。1 +，)曲=22山:=4ll.A JT J O12.C 此题暂无解析13.D答 应 选 D.分 析 本 题 考 SE的知火点是分段函数在分段点处的极限计算.分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后.再进行判定.因为 人 1+0)=+2 1 4)=-1,I.1 -0)=lim/(x)=lim(xa-1)=0,I-LL由于 0)”1+0)所 以 1 利/(切不存在,故选D.14.A函数的定义域为(心，+00)o因为 y=3x2+120,所以y 单调增加，xW(-8,+8)。又 y=6x,当 x 0 时，y 0,曲线为凹；当 xVO时，y ,+C=1e-,+C.先求出/(x),再计算不定枳分也可以.因为/(x)=-2eZ”，则/(2x+l)=-2e=-2产|.所以 J/(2x+D dr=-2je dx24.D25.C答应选C.提示根据极限存在定理可知选C.26.B27.C28.Cj C x2s i n x+l)d r=J：d x=2.29.C由乘积导数公式：幽=口、+“/dx有 d(uv)=v(u*d x)+u(v*d x)即 d(wv)=vdu+udv30 1 ZB，1 -jrey31.6lim/(x)=lim=1 Jim/(x)=lim 4士 三,=1，又 因 /(x)在 工=0 连 续，则应有 1故 a=6.使 用“共甄”方法，分子、分母同乘v m+i.1-J l+x _ J-M +x-l)(Vl+-t+1)lim-=lim-7=-x MJI+X+1)X .1 1=h m )-=l i m-=32.1/21/2 解 析：x(Jl+x+l)+l 233.1/234.35.1 +犷解 z=-l n(l +x2+y2)4,_ 1 2x _ x2 l +，+y2 1 +x2+y2_，1 2 y y7=-=-，2 2+/l +/+y 2Y3 1)=T7777y-i 0y=1l +x2+y2 3所以 d z(L l)=z；(L l)d x +z；(l,l)d =J (d x +d y)36.3z；(b D =37.(1-1)(1,-1)解 析函数的定义域是：(y0,+)./=3(x-l)2.y*=6(x-l)令 y =0 ,得：x=1当 XV1时，/0,曲线上凹.因此，工=1 是曲线拐点的横坐标.由/(D =-l故曲线的拐点坐标是：(1,-1).38.西39.xcosx-sinx+C40.ydx-jcdy)因为由I X 及 1 而I 而.而/I S，听以 d z =d x +d v =-d x-1 r-d y=(yd b v-A d v)也 办 2xy 2y2 2xy241.42.sin 143.1487385544.21n2-ln3-4x-4x(x1 2 *-l)5(x2-l)21 岛i，s e c2 x-s e c2 xT1-+：-t-a-ar，则 1y=7(71;+-t-a-n-r)五=i(-C-O-S-J:+：s：i r i rq)-2COS X解 析，/+1，x2 14-2 z 2 4xy F)=(r r)=(F)=K46.+C647.x=e48.(1,-1)49.2x1,1 J rx+y解析:dzdxdz du dz dv dz-+-=e y y+du dx dv dx dudz 1dv x2+y2x2x50.(CO S J C+sinjr)2(c o s x +s i r L z)?lim5 2.L。X +9153.cos2 tdtx54.D55.C56.(3 1)57.T58.dz_dy5 9.160.D x_ il+(x+y)2 dy X+y +(x+y)261.原做分方程可化为%=j于是，方程的通解u=J J)ut 工 xysec2(xty).所以 d-*sed(j2)clr+(秒z)dz.令 一 I=“,则cLr=du.当 1 6 10,2时“一11 .于是原式=J f ix 1 )clr=J f(u)du=J /(M)du 4 J f(u)du=j d A r+f *业J t 1+e J 】+工63.=ln(l+e)令 i I=1 4 则Ar=d“当j*W 0.2 时 W 一11.于是原式=j f ix -1 )cLr=J f(u)du=j /(tt)du 4-J/(u)du=业J-i 1+1 Jo 1+x=ln(1 +e).64.S=(4 x-y)L-(4X-T)L=,6V,-吐/d y=宣(4-y)dy=M4y-y/)|=8m所给方程是可分离变陆方程.先将方程分岗变量，得ydy=-dxt两边积分X可得另2 =-4-X1 4-In|X 14-In|C|,即从而可得y4-y )=In I Cr|,“2 +y2=ln(C)265.为原方程的通解,其中C为不等于零的任意常数.所给方程是可分离变依方程.先将方程分高变量，得.1 x!,1ydy=-dx.两边积分可得即从而可得4*2=4-x,-+-In|x|4-In|C I 4-Cx1+y)=In I Cr|,x1+y2=ln(Cr)2为原方程的通解，其中C为不等于零的任意常数.令工y=u.xyz=v则/(w)=/(XM.V).d,u,=红+.且+亚.亚=亚+亚 +亚.声.3 x3 x d u d x dv Qjr d-r H u d vdvu=也.生+艇.包=也.工+效:.皿3 d u 3y dv dy du dvd u?=迪 现=随6 6.dzd v d z d vdu_du令 x y =uxyz=v.则/(w)=ddru卷瑶嚼氏趣y瑶一+黑du声+%.包 二冬.工+效!dv&y d u dv*布a-v加等式两边对了求导得f(xl-I)3 1 =1 即/(x1 1)=,3 xG令1=2,得/(7)一 1L)/.1 -等式两边对才求导得/(X1-1 )3尸=1即/(X1 -1 )=-J-T,3r令 n =2.得/(7)j-f(x)c l roz d/C x)=“J(x)d j6 8.=2/(2)-八工)；=2-2 =0.J x/*(x)c l r =j x d/C x)=卜/(h)(x)djc=2 r -/z)；：=2-2 =0.6 9.f(x)的定义域为(-oo,0),(0,+o o),且/(*)=2*+4JC)=2-gX X令/(x)=0.得 x =-l:令/“(x)=0.得 x=.列表如下：由上表可知.函数/（x）的单调减少区间为（-8,-1）,单调墙加区间为（-1,0）和（0,+8）;/（-1）=3 为极小值；函数/（X）的凹区间为（-8,0）和（苏，+8）,凸区间为（0,万）；拐点坐标为（步.0）.X(-)-1(-1.0)(O.K)(苏 )-0/(x)-0/（*）极小值3Z/拐点(5.0)770.2.I n(l+2 x)1 +2工lim.-.lim-：-八一31-1 7-1.x(3)2,1 -3”2一 3才一3一。4 y 1 -3J-3(1+2x)d/-d x-d r=asinl=sinfu(1 cost)1 -cost71.d21y cos/(1-cosz)-sin，1dxf(1 cost)2 dxd7=:=1 _1 _(1-cost)2 u(1 cost)_ 1 -S 2,*11 C S C t,a(1-cosr)2 4a 2 d r-d xd 7=a (1 cos/)1 cos/*cfy-co”(1 cos)一 sin2Z 1d r1(1 cost)2 Axd/tsz.c.o s/1 一1 ，-，(1-cos/)2 a(1 cost)=x-1-_ _-_-_ 1 -=-.1.CSC 1 -t-a(1 cosr)2 4a 2,方程两边关于才求导,得/(j)=2*+sin2x-t-x cos2x 2+；(sin2x)2M=2z+2xcos2x.=2+2cos2x+2”(2sin2=2(1+COS2JT)-4xsin2x.72 所 以/信)=2(1+co噬)-4 X：X sin =2-x.方程两边关于，求导，得/(x)=21+sin2r4-x co2x 2+sin2x)2M=2“+2TCOS2N./(x)=2+2co$2x+2 (2sin2i)=2(1+cos2x)-4xsin2x.（1）根据导数的几何意义.曲线y=工：在点（1.D 处切线的斜率为4T=2.曲线y=z 在点（l.D 处法线的斜率为*十所以切线方程为 y-1 =2（x-l）.即21一y-1 =0.则法线方程为 -1 =-l（x-I）.即x+2-3=0|（2）设所求的点为M 工。.）.曲线y=工：在点Q.w）处切线的斜率为y I=2x1=2x0.i，“I-,切线与直线y-1 平行时,它们的斜率相等，即2入=4,所以工=2.此时加=4.故在点 M“（2.4）处的切线与直线y=4 l-1 平行.（1）根据导数的几何意义.曲线y=F在点（1D 处切线的斜率为曲线=/在点（1.1）处法线的斜率为所以切线方程为 y-l =2（x-l）,即2工一y-1 =0.则法线方程为 y-1 =一 y（1）.即工 +2y 3=0（2）设所求的点为曲线y=/在点（打）处切线的斜率为y I=2x1=21.切线与直线y=41-1平行时.它们的斜率相等，即2n=4所以看=2此时泗=4,故在点 M N2.4）处的切线与直线y=4”-1 平行.75.当1声0时,/(*)=八由十是初等函数可直接求导.即f(x)=(/s in )z=2xsin +x2 cos(-r)XX X19.1 1=Zxsm-cos,X X当z=0时./(O)=lim-22=Hm-:二 =lirrtrsin-=0.r-0 JT r-M)X JC当1 K o时J G)=s in 5是初等函数,可直接求导.即f(x)=(-r2 sin )=2xsin-4-x2 cos(-lr)XX X9.1 1=Zxsin-cos X X当1=0时./(0)=lim 八二二八)=lim/Z=linrrsin =0.x-0 JT X)(JC76.V 受=2j r e 7-G r*+y)ear,(2,r+)ed z =e e 吟(2J T+y)(L r +(2y x)d 空=2y e -3 +/)eoy，d z =e i-+(2*+y)c L r +(2y-z)d y ,78.函数/(x)=jre 的定义域为(-8，+8),且/(/)处处可导;因为，(JT)=一 一z e，=er(1 1)e 令/(x)=0得驻点*=L 且 i V 1 时/(力 0.”1时，(“)VO所以/(I)=e J=-为函数/(x)的最大值.e又 lim/(x)=Jim xe J=-8,lim f(x)=lim ure =lim-=lim-=0.a 一 j e 4-*-e于 是 f(x)定义域内无最小值函数/(x)=xe的定义域为(8,+8),且/()处处可导;因为(工)e xe =才)，令/(z)=0得驻点t =1.且 x V 1 时.，(力 0.x 1 时.，(公|=C.4故原方程的通解(x 4)y =Cr,79.其中特解y=。包含在通解之中./7+匕=0,x-4x y即(-7 -)cLr+匕=Of两边积分得J ln 1 x 4|-In I r|)+In|=C.4故原方程的通解(工一4)y =C r,其中特解.v=o 包含在通解之中.80.设则所以F(7)=y-x-arccos(xy),=-l+y *-=3y2+x-,a，GY ay 万 号.dF亚_ _ 匹 _ /一/一、&正 3/y T 7 7+*81.该题属于*=/(X)型的微分方程,可通过连续积分求得通解.对 y=_ r+l两 边 积 分.得/#+工+仁 将初始条件y”(0)-1代人得G1.即y =y j*+工+1.两边再积分.得y=M+#+_ r +G.将/0)=0 代人.得C,-0 即，=*+%+工两边再积分.得y=拉+春/+犷+C,将 y(0)=2 代人.得C,-2.故所求特第为该 题 属 于=/(X)理的微分方程,可通过连续积分求得通解.对/=1+l 两边积分.得将初始条件y(0)-I 代人.得G1.即*=y J1+r+1两边再积分得:/=M+*+G.将/=0 代人得C,-0.即，=*+#+*两边再积分.得y-拉 +卷，+#+C.将 y(0)=2 代入，得 C,-2.故所求特例为=/+*+犷+282.窗户的面积/=/+*巴3/和人满足2/i+3/=12,得A=6-方/，代人4,则有4=6/-京+亨 广，j=6-3/+y-Z=i=0,得/=若 沁.由于实际问题只有唯一的驻点，可知/=若乌（01）为所求3.型产曳Wfx-2解得；即驻点”(2.-2),在点丛处有0.H,.4=-2.8=0.C=-2.2-4C=-40./l=-2+41+3 2(X +1 工 +3)y=z l)(x4-3)*.,C ty=1尸 一 (-2)(z+3)7C t=|-l)-2)(x+l)-(x +3)J.y =l)(-2)(-3)(x+l)4-(-3)(1 +3厂,=-y(-D(-2)(-3)(x4-l)-(i+3)T .w*故 y*=l)n!(x+l)*r*n-(x4-3)-nJ.8 4.=1/_ 1 _ 1 _ 丫 x2 4-4x 4-3 2(z+l x+3/y=如-z -(-1)(工 +3尸.,y=4 (-1)(-2)(工+1尸 一(-2(工+3尸=y -l)=+2（工-1）工+-红 呈 当+令/=0,得驻点1 1.此外.点工=0是八工）不存在的点.它们将区间分成3个部分区间.列表讨论如下3T0T2 3八八+不存在一0+/单蠲魂M救大雌两通政极小单递增由上表可知，函数在区间（一 8.0 和 春，+8）上单调增加.在区间 0争上单调递减.当 一 1时.有 极 小 值,)一 去J J.当L 0时.函数的年数不存在,但r-0是函数的极大值点极大值MO)-0.86.原方程变形为分离变量得积分得故通解为87.原方程变形为5 翌=3/+5工 dr分离变量得5d=(3/+5_r)(Lr.枳分得5yH +微 /4-Ci 故通解为y-+#+c5 翌=3,+51.dr5d=(3x:+5_r)dr.5-+yX*+C(,y=#+C.亨 乙 心=f 爹 dyj；y-J cosydy-J ycomydyn sin|-J rd(sin)=sinl-sinl-cosy|=1-cosl.J cosydy-J ycoxydy-J yd(siny)1-cosl.+l n(l +x)c L r =/end(2x)+l n(l +x)(L r=4+*l n(1 +1)f&r/J 1 +J T=+J-l n(1 -|-x)-r-7-j d x/J 1 +x=+.r l n(1 +/)x+l n(1 3)+C8 8.f e +I n d x)d j =yj e1!,d(2x)+j l n(1 +x)d x=4-e 4-j l n(1 -FT)f d rNJ 1 +J T=+xl n(1 4-x)1 -J d x4J 1 +z=/e +xl n(1 4-x)-x 4-l n(1 +x)-F C.,/(J-)为可微函数，方程式两端对才求导得J 1 =x*/(x).两端再对上求导得(1 -x)/(x)=2 x/(x)4-xJZ(x).即x*f(x)=(1 3 x)/(x)上式是可分闺变量的微分方程通解为8 9./(X)=C r%h e为任意常数).为可微函数.方程式两端时工求导得J (1两端再对工求导得(1 -x)/(x)=2 x/(x)+，(“)即/(工)=(1-3 x)/(J)上式是可分禹变量的微分方程通解为/(x)=C r%入。为任意常数).90.解法1直接求导法.在用直接求导法时一定要注意：等式两边对M或y)求导时，应将y(或工)看成常数,而式中的：应视为x与y的二元函数,最后再解出黑(或：；)即可.等式两边对X求导.得4=e号，解得 T=r-dx dX dX r-r解法2 公式法.设辅助函数F(x,y,i)=xx-y-e,.等式两边对x求导时.式中的y与:均视为常数,用一元函数求导公式计算.对或：求导时,另外两个变址也均视为常数，即dF=rF,=1.一dF-=rr,=x-e,.dx,*d z,所以d*s F：s-z.-:-.d x F x-e*FT解法3 求全微分法.直接对等式两边求微分.求出&的表达式.由于山=豹喧dy,所以dx(或dy)前面的表达式 就 哨 嘲.因为即d(x x)=dy+d(e),z dx*x dz =dy+c&.则dz =dx-iy,er e -x所以di xtix#*-r91.因为抛物线y=ar +hr+r过原点有=。.又。&*4 1时.y2 0.故该抛物线与.，轴及X =1所围困形的面枳为j(C L T：+hr)dx=3 于是 2 a+3 6=2.该平面图形绕工轴旋转一周形成的立体体积为V =(ax:+6r)d_ r=*+%+家)会(6/43 0I5 af c+10 A1)意16 小 4-1 O a(1 a)+与(1!)，.(/，=2 3 匍 u”a+10 工匍(“一用+制要使V最小令a A-J.此 时6=于是U =一5.=l,r=0时.此图形绕工轴旋转一周而成的体积最小.因为抛物线y=+hr+C过原点,有，N。又 I时 y 2 0故该抛物线与轴及工，1所围图形的面枳为J(a r:+&r)d”；于是 2+3=2.该平面图形烧，轴旋转一周形成的立体体积为V-K1(a r+，jur)?d“*n(ya：+7aA+T6*)=i(6 a:+15油+W)30=点 F：+10a(l 7)+a)、.(6 n 3。，)N 匍/+3+叫匍”灯+跨e.Q要使V最小令a=丁 此时6 MB于是u=一 且$=4 =o时此图形绕工轴旋转一周而成的体枳最小4 292.设Fix)=/(1)J .则F(J)在 a 上连续.在(a“)内可导.且F(a)/(a)e*=0.F(6)=/(6)e*=0.因为F(a)=F ),所以F Q)=，qJ在 a 上满足罗尔定理的条件,于是在(a.b、内 至 少 存 在 一 点&使F(O=0.即十 八 /3=0.即，(什+3门()=0,而 /X 0.故/(f)+3 /(f)=0.f 6 .设F ix)=八)/.则Fi x)在 a同 上 连 续，在(a S)内可导.且F(a)=/(a)e*=0.F(6)=/(6)e6=0.因为F(a)=F(6),所以F(r)=/J X在 a,瓦|t：满足罗尔定理的条件,于是在(a,b、内 至 少 存 在 一 点&使F(=0.即=/()5+/(e)ef，3e*=0.即e*5 /(f)+3 /(f)=0.而e r 0.故/($)+3 /($)=0.f 6 :d.r=KJ(x 1 )Jdx=孑(立方单位).显然曲线式=(x-DJ关于上轴对称，则它和直线工=2 围成图形也关于工轴对称.又曲线和x 轴交点为C,0)因此V=x|1ylicLr=KJ(X 1 )3d-r=(立方单位).94.令/(x)=4x 1 J 了当了则/(x)=4x 1 arctanj.且/(x)的定义域为(-8.+oo).因为/(0)=-1 0.所以,由零点存在定理,可知函数八才)在(0.1)内至少存在一个零点.又/Q)=4一 厂 三=4空，0,所以J G)在(0.1)上是第调递增的,即函数人工)在(0.1)内有且仅有一个根.令/(x)=4x 1 1 手了.则/(工)=4工一1 arctanj.H./(*)的定义域为-8.+.因为/(0)=-1 =3-5-0.所以.由零点存在定理,可知函数/(T)4在(0.1)内至少存在一个零点.又/(公=4 一 二 一 注 与 0,所以J G)在(0D 上是单调递增的,即函数/G)1 +X*1 +x在(0.1)内有且仅有一个根.95.令 人 )=三 一 3工一】.知/工)在口.21上连续.又/(I)=-3 0.即/(I)./(2)0.由零点存在定理知.人 力 在(1.2)内至少有一点8 使/()=0,即八 外 在 1 与2 之间至少有一实根.令 人 )=1,-3 _ r-1.知 人工)在口.21上连续.又/(I)=-3 0.即/(I)./(2)=S=J（上 +4一 Lr-（T +4 x-T）l-,=18.画出曲线y=”+4 与y=5/的图形，得所围成的平面图形如图所示的阴影y=4+4 部分.并解方程组,1 2得交点（一2,2）与（4.8）.从而知所圉成的图形的面枳为y=数S=I+4）4A rJ-i ZH 18.苜 先 求 抛 物 线=21在点（5.1）处的法线方程.由 导 数 的 几 何 意 义 知.点 处 的 切 线 斜 率 为 一所以该点处的法线斜率为A 1.故法线方程为1）可先画出抛物线丁=2 x与点（彳.1）处的法统所围成的平面图形的草图.先求方程组1得交点为（9）.（今._3）.选y为积分变量,枳分区间为-3.1.则所求平面图形的面积为3Cy-I力dy（齐 一 力 一i刈:印(2)绕_ r轴旋转所成旋转体的体积为V=x T 2xdx-it y j)J(L r -x x:|-|-K-|-(y -J)苜先求抛物线y =21在点（j.l）处的法线方程.由导数的几何意义知.点（寺.1）处的切线斜率为y ,=5 1-,所以该点处的法线斜率为4 =-1.故法线方程为32（1）可先画出抛物线y,=2 x与点（T.1）处的法线所围成的平面图形的草图.先求方程组.选y为枳分变量，枳分区间为-3.则所求平面图形的面积为7y ly：lJ,，)l*.=T-（2）绕1轴旋转所成旋转体的体根为w T 2x dx -n J：弓 一1产 业 Z：+*,:弓因 r x)上连续,根据连续的数在的区间上最值定理知，(,)在内蹶有最大值又有或小值.记E.M 分踊是最小值和大值,则r e(a.b)时有f(x)4)4/5)/5)Mr,X!).W/(X)在：a.61上连续.根图连续曲数在闭区间上最值定理知,，在 a.6内豉有最大值又有最小值.记E.M分别是或小值印大值.则，6(a.b)时有m /-X|)/(x：)/(X|)C M(xt X|).设/(工)=4 一 2L则此函数在 0,1上连续且可导.因为/(O)=-!./(!)=2,根据零点定理可知,必存在 (O.D,使，(=0.即4 f -2*=0.又因为/(j)=4-2 dn2,当。丁 V I 时.In2 2 Mn2 2 ln2 2(ln2 O(Ox 1),99.即/(z)是单第增加的函数.所以/(x)=4 J-2*=0有且只有一个冥根.设义工)=4 工一 2L则此函数在 0,1上连续且可导.因为/(0)=-=2.根据零点定理可知，必存在(0,1).使/(e)=0.即4 f-2 =0.又因为 r(H)=4-2 dn2,当 0V 上 V 1 时.ln2 2*ln2 2 ln2 2(ln2 O(Ox 0)在点M(1.D 处切线斜率为2.过M 点的切线方程为=2zI.切线与上轴的交点为T(如图所示).(】)平面图形D 的面积为3X1 1(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积K(x2)2cLr-y x 1三 _ 视30,曲线y=xJ(x 0)在点M(1.D 处切线斜率为2.过M 点的切线方程为、=2 一】.切线与T 轴的交点 为 如 图 所 示).Cr(1)平面图形。的面积为3 1 1-I 2 0 4 12(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积J K(T2)fcLr K 1“Ml：-菅*,7101.三 _ H行 一7X30,解rc.o的sx.=“焉+c解仔竽d x=f4 s i n x d s i n x _1s i n1 x 2 s i n2x+Cd x =x f (x)-J/(x)d r =x(x l n x X-x l n x +C =x-h C.102.注意到/(x)=(x l n x)“=L,直接代入计算更简捷.xJxfr(x)d,x=xf(x)-J/(x)dr=x(xlnx)-xlnx+C =x+C.注意到/(x)=(xlnx)=1,直接代入计算更简捷.X103.=lim(a c,)T lim e-x d.r0 一，KJ 0 lim(aea)-r-lim(e T)=lim(1 e-a)=1.u，8104.本题考查的知识点是二元懑玩笈士-：7：求法.分析 求二元隐函数全微分的 ：上寓导数，小.然 后 代 人 公 式d:=虫d*+dy dx如V.而求人与空的方法主要有：直接求导1尤_：式法.u nX dy在用直接求导法时考生一定要 S 号大。,-H-+sin（.v+z）=0中的；是 的函数,对x（或 力求 导 时.式 子 上 中 ，或 迥为常数.限后解出若（或比）.利用公式法求导的关键是需构之理出函数所以e,co(y+x)2xy-cos(y+)t+-ay.e*+coa(y+i)105.II+sin xcos2 Xr I.,r sm xdx=I-J-dx+y-dxJ cos x)8 s x=tanx-7-dcosxJcos*x=tanx+-+CCOST106.解法一 公 式 法 一 式 中 的X，V,Z均视为自变量设 F(x,y,z)=-x2+z2+e2-1则=ye 2JCI =+eS-=2z+yedx dy dz所 以/=.五=”+2匕匹=_ 匕=2二1dx F；2z+yc:3 F；2z+y e-解 法 二 直 接 求 导此时x，丁是自变量，而z(x，等式两边对x求导得等式两边对)，求导得解得ye-v+2x世 2z+yei-迦axdz-dy+次一axe52Z7+七H+次豆，+2X2ze-J卬个“=*包办取)解 方法一：I告 般=卜+当 出=1 -In I 4|o=1-ln(4，)+ln3.方法二！本题也可用定积分的换元积分法即 令 土 =4,7=ln(4 一。，则 公 =邑，旦L-4当 1=0 时=3 i 当 1=1 时 g t=4 .所以1 7也=P df107.=In|t4|一 In|t|3=1 -ln(4 e)+ln3解 方法一:4+.出=1 一 In|4 一/|0 1-ln(4 e)+ln3.方法二：本题也可用定积分的换元积分法即 令 t=4,工=ln(4 一，)，则 cLr=L-q当 i =0 时=3：当 1=1 时，2 =4 e.所 以 J d工=彳户守山=In|t 4|一 Ln|L J=1 -ln(4 e)+ln3108.设网球场地的长为X，宽为小其总面积为4 s.则心二x y,因(x-2 a)(y-2 A)=/,得 尸2 x-2a则有 4=x(+SJ./a =2 b +-J-x-2a(x-2a)2(,x-2a)2令X总 三0解 得x =2 a +(取正值),由于只有唯一驻点，故x =2 a +y=2b+为所求.109.arc tan Krn-r-：1+xJx arctan xdarctan x.则f x +J -1 +x2-x,.ardanK.T-：_ 74x+dx1 +x-J 1+x得加(1 +()+(arctanjvhrvtanx-加(l +W)+(u r r t o w x)2+C110.证 设尸(x)=(l +x)l n(l +x)-x l n x则 尸 =2 1 n 2 0 且 尸(x)在(1,+8)内可导因为 Fx)=l n(l+x)-l n x=l n (1 +-)0X所 以 F(X)单调增加，X(l,+)于是，有 F(X)F 0,XG(1,+)即(l+x)l n(l+x)x l r uu u,l n(l +x)x.故-(x 1)I n x 1 +x(x l)lll.A因为 lim/(x)+lim/(x)