2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校九年级（上）期末数学试卷（解析版）.pdf

2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校九年级第一学期期末皿；J.数学试卷一.选 择 题（每小题3 分，共 24分）1.F列关于尤的函数一定为二次函数的是（）A.y=2x+lB.y=ajfibx+cC.y=-5x2-3D.y=x3+x+l2.已知2x=3y（y 0）,则下面结论成立的是（A,4y 2B-卡三上7 3.下列事件是随机事件的是（）D产A.长为3cm,5cm,9 c m的三条线段能围成一个三角形4.5.B.C.D.太阳从东边升起平面内两直线相交，对顶角相等明天会下雨下列函数图象中，当x 0 时，y 随 x 的增大而减小的是（B.y=xD.尸-(x+1)2不解方程，判别方程x2-3x+2=0的根的情况是（）A.产-!)A.有两个不等实根B.有两个相等实根C.没有实根D.无法确定6.如图，为。的直径，点 C、。是前的三等分点，ZA OE=60,则N 8 0 D 的度数C.80D.1207.大约在两千四五百年前，如图1 墨子和他的学生做了世界上第1 个小孔成倒像的实验.并在 墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如 图 2 所示的小孔成像实验中，若物距为10c%,像距为15c7”，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm,则蜡烛火焰的高度是（图1图2A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm8.如图，OM的半径为2,圆心M 的坐标为（3,4）,点 P是。M 上的任意一点，P A 1P B,且尸4、秒 与 x轴分别交于A、8两点，若点A、点B关于原点。对称，则 A8的最A.3 B.4 C.6 D.8二.填 空 题（每小题3分，共18分）9 .若二次 根 式 在 实 数 范 围 内 有 意 义，则 x的 取 值 范 围 是.i o.计 算 返 空 运 的 结 果 是.1 1 .抛物线y=2 （x+5）2-3 的 顶 点 坐 标 为.1 2 .如图，A 8 是。的直径，Z B A D=70 ,则NC=.1 3 .如图，网格中的小正方形边长都是1,则以。为圆心，3 为半径的窟和弦A8所围成的弓形面积等于1 4 .二次函数y=2（x-h）2+k（h、k均为常数）的图象经过4 （-2,y i）、B （0,垃）、C（2,第）三点，若 丫 3，则h的取值范围是.三.解 答 题1 5 .计算：（-y）l-2 s i n 4 5 -（兀-2）+t a n 60 .1 6.不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1 个为红色，请用画树状图（或列表）的方法，求一次摸出两个球“都是白球”的概率.1 7 .某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长.已知2 0 1 9 年教育支出约8 0 亿元，2 0 2 1 年教育支出约为9 6.8亿元，求 2 0 1 9 年 到 2 0 2 1 年教育支出的年平均增长率.1 8 .如图，二次函数y=a 2+b x+c 的图象顶点坐标为（-1,-2）,且 过（1,0）.（1）求该二次函数解析式；（2）当-3 W x =.(2)当点尸在线段8 C上时，PC=.(用含r的代数式表示)(3)当点M落在 B C Q的内部时，求f的取值范围；(4)连 结CM,当 C P M为锐角三角形时，直接写出f的取值范围.2 4.已 知 抛 物 线-2 t r+2 (n j为常数，且?#0).(1)抛物线的对称轴为.(2)当此函数经过(3,3)时，求此函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围.(3)当-1WXW 2时，y有最小值-3,求y的最大值.(4)设直线x=-1分别与抛物线交于点M、与x轴交于点N,当 点M、N不重合时，过M作)，轴的垂线与此函数图象的另一个交点为M .若MM*=3 M N,直接写出?的值.参考答案选 择 题（每小题3 分，共 24分）I.下列关于尤的函数一定为二次函数的是（）A.y2x+B.yax2+bx+c C.y-5x2-3 D.y=x3+x+l【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可.解：A.是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B.当。=0 时，y=ox2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；C.是二次函数，故本选项符合题意；D.是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C.2.已知2x=3y（y 0）,则下面结论成立的是（）【分析】利用比例的基本性质对各选项进行判断.解：三=旦，2 L=yy 2 3 2,故选：A.3.下列事件是随机事件的是（）A.长为3a”,5cm,的三条线段能围成一个三角形B.太阳从东边升起C.平面内两直线相交，对顶角相等D.明天会下雨【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.解：A、长 为3cm,5cm,9 c m的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；B、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；C、平面内两直线相交，对顶角相等，是必然事件，不符合题意；。、明天会下雨，是随机事件，符合题意；故选：D.4.下列函数图象中，当x 0时，y随x的增大而减小的是()A.y=-y-B.y=x C.y=x2 D.y=-(x+1)2【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可判断.解：A、在第四象限内y随x的增大而增大；8、.次 0,随着x的增大而增大；C、.)=/,.对称轴x=0,当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小.。、-(x+1)2,对称轴为x=-l,a VO,.当x -1,y随着x的增大而减小，所以x 0时，y随x的增大而减小.故选：D.5.不解方程，判别方程x2-3 x+2=0的根的情况是()A.有两个不等实根 B.有两个相等实根C.没有实根 D.无法确定【分析】由方程的系数结合根的判别式 =-4 a c,可得出A1,进而可得出该方程有两个不相等的实数根.解：a=1,b-3 c2,.F=-4 a c=(-3)2-4 XlX2=l 0,方程/-3 x+2=0有两个不相等的实数根.故选：A.6 .如图，A B为。0的直径，点C、力是宦的三等分点，NA O E=6 0 ,则N B。力的度数【分析】先求出NBO E=1 2 0。，根据点C、。是熊的三等分点求出笳的度数是8 0 ,再求出答案即可.解：V ZAOE=60 ,./8O E=180-/A O E=120,.前的度数是120,.点 C、。是前的三等分点，二命的度数是.X 120。=80,/.ZBOD=80,故选：C.7.大约在两千四五百年前，如 图 1 墨子和他的学生做了世界上第1 个小孔成倒像的实验.并在 墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如 图 2 所示的小孔成像实验中，若物距为10cm 像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9”,则蜡烛火焰的高度是（）【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答.解：设蜡烛火焰的高度是X。”，由相似三角形对应高的比等于相似比得到：芈=.io y解得x=6.即蜡烛火焰的高度是6cm.故选：A.8.如图，O M 的半径为2,圆心用的坐标为（3,4）,点 P 是。M 上的任意一点，P A Y且 PA、PB 与x 轴分别交于A、8 两点，若点A、点 B 关于原点O 对称，则 的 最小 值 为（）J)o B xA.3 B.4 C.6 D.8【分析】由 RtAAPB中A B 2 0 P知要使A B 取得最小值，则P 0需取得最小值，连接0 M,交于点P,当点P 位于P 位置时，0 P 取得最小值，据此求解可得.解：PA LPB,：.Z A P 8=9 0,：A O=B O,：.A B=2PO,若要使AB取得最小值，则P 0需取得最小值，连 接 0M，交0 M 于 点 P,当点P 位 于 P 位置时，0 P 取得最小值，过 点M作M Q L x轴于点Q,0M=5,又,：MP=2,A OP=3,：.A B=20P=6,故选：C.二.填 空 题（每小题3 分，共 18分）9.若 二 次 根 式 后 I 在实数范围内有意义，则无的取值范围是工 21.【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可.解：；式 子 后 1 在实数范围内有意义，120,解得x 2 1.故答案为：-J 3 XA/TR10 .计算的结果是 3.娓-【分析】根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案.解：原 式=产 答=3,故答案为：3.11.抛物线y=2(x+5)2-3的顶点坐标为(-5,-3).【分析】由于抛物线y=(X-/)2+上的顶点坐标为(h,k),由此即可求解.解：:抛物线y=2(x+5)2-3,，顶点坐标为：(-5,-3).故答案为：(-5,-3).12.如图，A B 是。的直径，2540=70 ,则/C=20 .【分析】连接8。，求出NA 8 Z)=20 可得结论.解：连接B O.：AB是直径,A ZADB=90,A ZABD=90-NB A O=9 0 -70 =20 ,：.ZC=ZABD=20,故答案为：20 .13.如图，网格中的小正方形边长都是1,则以。为圆心，0 4为半径的能和弦A B所围成的弓形面积等于 2 n-4【分析】直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案：解：由题意得，。4=。8=2料，N4OB=90,:-S 引诊=5 OA B-SA.B=g .（2y，2 j2.-X 2 X 4=2TT-4,360 2故答案为：2 n-4.1 4.二次函数y=2（x-力）2+k（/?、%均为常数）的图象经过A（-2,%）、8（0,”）、C（2,第）三点，若以 g，则h的取值范围是 7 /?yi,：.2-h h-(-2),解得/i 0-/?,解得-1,，-h0.故答案为：-I V/2V o.三.解 答 题15.计算：（-y）1-2s i n45-（兀-2）+t a n6 0 .【分析】首先计算零指数累、负整数指数基和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.解：（4）l-2s i n45-（兀-2）+t a n6 0 2-2X -1+-1/3=2-7 2-1+V 316 .不透明的袋中有3 个大小相同的小球，其中2 个为白色，1 个为红色，请用画树状图（或列表）的方法，求一次摸出两个球“都是白球”的概率.【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中一次摸出两个球“都是白球”的有2 种，2 1则一次摸出两个球“都是白球”的概率是6 317.某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长.已知201 9 年教育支出约8 0亿元，2021 年教育支出约为9 6.8亿元，求 201 9 年到2021 年教育支出的年平均增长率.【分析】设 201 9 年 到 2021 年教育支出的年平均增长率为x,利用2021 年教育支出金额=201 9 年教育支出金额X （1+年平均增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.解：设 201 9 年到2021 年教育支出的年平均增长率为x,依题意得：8 0(1+x)2=9 6.8,解得：x i=0.1 =1 0%,及=-2.1 (不合题意，舍去).答：201 9 年 到 2021 年教育支出的年平均增长率为1 0%.1 8.如图，二次函数y=a r2+x+c,的图象顶点坐标为(-1,-2),且 过(1,0).(1)求该二次函数解析式；(2)当-3 W x 3 时，则函数值v的取值范围是-2 W 6 .【分析】(1)由抛物线顶点式表达式得：y=a(jc+1)2-2,将 点(1,0)代入上式即可求解；(2)根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y 的取值范围.解：(1)由抛物线顶点式表达式得：y=a (x+1)2-2,x=l 时，ya(1+1)2-2=0,解得：故抛物线的表达式为：y=(x+1)2-2；(2)当 x=-1 时，y=-2,当 x=3 时，y6,当-3 3 时，函数值y 的取值范围是-2 y 6,故答案为：-2W yV 6.1 9.为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级6 00名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试.为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩(得分取正整数，满分为1 00分)进行统计分析，得到如下所示的频数分布表：请根据尚未完成的表格，解答下列问题:分数段5 0.5 -6 0.56 0.5 -7 0.57 0.5 -8 0.58 0.5 -9 0.59 0.5 -1 00.5频数1 83 05 0a22所占百分比9%1 5%25%6%C（1）本次抽样调查的样本容量为 200,表 中c=1 1%:（2）补全如图所示的频数分布直方图；（3）若 成 绩 小 于 或 者 等 于7 0分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 144人.频数分布直方图【分 析】（1）根据各个组的频数、频率,由频 数由 频 率 一 总 数 可求出样本容量,进 而 求 出c的值;（2）求 出a的值即可补全频数分布直方图;（3）求出样本中，”需要加强锻炼和提高”的学生所占的百分比，估 计 总 体 中“需要加强锻炼和提高”学生所占的百分比，进而求出需要加强锻炼和提高的人数.解：（1）1 8 4-9%=200（人），c=22+200=l l%,故答案为：200,1 1%；（2）200-1 8 -3 0-5 0-22=8 0（人），补全频数分布直方图如下：频数分布直方图故答案为：1 4 4.20.如图，在 R t ZX A B C 中，点 O 在斜边AB上，以。为圆心，0 8为半径作圆，分别与B C,A8相交于点O,E,连接AD.已知/C A Q=N B.(1)求证：AO 是。的切线.(2)若 OB=2,Z C A D=3 0Q,则RR的长为 泰.A【分析】(1)连 接。，由 00=03,利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等,等量代换得到N1 =N 3,求出N 4为 9 0。，即可得证；(2)根据N3=NC4 O=30 ,可以求出/3 0。=1 2 0 ,根据弧长公式求弧8。即可.【解答】(1)证明：如图所示：连 接。，,：0 B=0 D,A Z 3=Z B,V Z B=Z 1,A Z 1 =Z 3,在 Rt Z A CO 中，Nl+N2=9 0 ,.Z 2+Z 3=9 0 ,.,.Z 4=1 8 0 -(Z 2+Z 3)=9 0 ,C.ODA.A D,则 A。为 圆。的切线；(2)解：由(1)得：N3=NC4 O=30 ,V Z 3=Z B,：.ZB OD=SO -30 -30 =1 2 0 ,：0B=2,.一.1 2 0 兀 X 2_ 4 BD-o一不故答案为：言T l.02 1.4市计划对本市2 1 5万人接种新冠疫苗，在前期完成5 万人接种后，又花了 1 0 0 天时间接种了剩下的2 1 0 万 人.在 这 1 0 0 天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示.（1）前 4 0 天中，每天接种的人数为 3万人.（2）这 1 0 0 天中，8市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为y 芸 2*乂，请通过计算判断，第 4 0 天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？直接写出第几天接种完成后，A,B两市接种人数恰好相同？接种人数（万人）0 1（）l 按朴时间人）【分析】（1）由图象求出即可；1 Q（2）把（1）中所得的”的 值 代 入 丫=点+帚，求得y值，与 1 2 5比较即可得出答案；由题意前4 0 天 B市接种人数少于4市，由待定系数法求得当4 0 x W1 0 0 时4市接种人数的函数关系式，结合y=y=嗡；可得关于x的一元二次方程，解方程并根据x的取值范围作出取舍即可.解：（1 2 5-5）+4 0=3,故答案为：3；1 Q（2）J E a-40 y2Qx 2+2Qx,13得 丫=7*4 0 2+*4 0=8 6C=3 0 ,ZC ED=ZDA C=45 ,由直角三角形的性质求出C E和C 的长，则可得出答案.【解答】(1)证明：连 接O C,：.O C=O A=O B AB,.点C在以A 8为直径的。上;(2)解：连接A B,：.A B为。的直径，：.A B=2,ZA DB=9 0 ,V ZA C D=60 ,A ZA BD=60 ,/.ZBA =3 0 ,.BD=y A B=l./1D=VAB2-BD2=7 22-l2=V 3；故答案为：V 3；(3)连接A E,过 点C作C F L E O于点F,A B C是等边三角形，点E是B C的中点，J.AEVBC,，N 4 EC=9 0 ,;AC D为等腰直角三角形，A ZADC=9 0 ,由(2)可知A,E,C,。在以A C为直径的圆上，V ZA C B=60 ,：.ZEAC=ZEDC=30 ,V ZDA C=4 5 ,：.Z C E D=ZDAC=45 ,：A 8=A C=2&,-C E=y A C=V 2-DC噂A C=2，：.EF=FC=,CF=yDC=l:.D F=M，；.D E=E F+D F=l+M.故答案为：1+J.2 3.如图，在A A B C中，A B=6,A C=BC=5,C _ LA B于点。，点尸从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线A C-C B向终点8运动，当点P不与A,B,C重合时，过点P作P Q 1 A B交A B于点Q,过 点P作使得P M=2 P Q,点、M、点。在PQ的同侧，连结MQ,设点尸的运动时间为f (s).(1)线段 C D=4.(2)当点P在线段B C上时，P C=5/-5 .(用含，的代数式表示)(3)当点M落在 8 C D的内部时，求f的取值范围；(4)连 结CM,当 C P M为锐角三角形时，直接写出f的取值范围.【分析】（1）由 AB=6,AC=BC5,CD LAB,得 8O=CZ）=/AB=3,即得 CD=VBC2-CD2=4；(2)用 P 运动的路程减去A C即得PC 的长度：Q+R-R+(3)当 V I 时，若 M 落在8。上，可得P M=8 r,由C P M sZ C 43,即有弓6 5解 得/=，故点M 落在BCQ的内部，应满足O V fV*,当 1 W2 时，同理可得点M落在BCD的内部，应 满 足 早 f 2,2+R-R+(4)当 fVl 时，若NCMP=90,即 M 落在 CD 上，由C PM sC A O,有5 3可解得若NPCM=90,磐=工，可 解 得 尸 孕，故 县 兴 时，M PM11 5 3 49 11 49为锐角三角形，当 i v/2 时，同理可得工!r故答案为：4；,点户从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿折线A C-C 3 向终点3 运动，运动时间为t(5),：.PC=5t-AC=5t-5,故答案为：5/-5；(3)当，1 时，若 M 落在BC上，如图:c由图可知，点 M 落在8C C 的内部，此时应满足01半,：.BP=BC-PCO-5t,同理可得 P Q=8-4f,PM=16-8z,而P MA B,即共BC 6 5解 得t=k，由图可知，点 M 落在BCD的内部，此时应满足芋 f 2,Q 1 1综上所述，点 M 落在BCD的内部0 y 或 芋 /2；(4)当 f l 时，若NCMP=90,即 M 落 在 CD上，如图：由(3)知 PM=St,：PM/AB,:.CPMsXCAD,.PM P C H n8 t 5-5 t A D-A C 3 -5 j解得t=n,若/PCM=90,如图：A,/PC M=/A O C=90,:ACPM sD AC,.P M _ P C 8 t _5-5 t,而 一 应 V-3 解得f=冬，4 9为锐角三角形，当 i c y 2 时，若NPCM=90,如图：,嗡 I F ，C P M为锐角三角形，Q OR 7Q 10综上所述，当 为 锐 角 三 角 形 时，/的范围是Ay今 或 然 =蛆2-2 3+2,即可求解；(3)分两种情况：“0和a 的最大值即可;(4)由题意求出M(-1,3/n+2),N(-1,0),AT(3,3/M+2),根据题意列出方程 4=3|3?+2|,求出m 的值即可.解：(1).y=mx2-2mx+2m(x-1)2+2-in,对称轴为直线x=l,故答案为：直线x=l；(2)函数经过(3,3),.3=9机-6m+2,31 .对称轴为直线x=l,时 y 随 X 的增大而增大；(3)当 a0 时，当 x=l时，y 有最小值，-771+2=-3,7 7 2 -5,当x=-1 时，y 有最大值,.3z+2=17,的最大值为17；当 a 0 时，y 的最大值为17；当。0 时，y 的最大值值为手;O(4)由题意可知 M(-1,3瓶+2),N(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=l,：.M(3,3m+2),，W=4,MN=|3?+2|,YMM=3MN,A4=3|3m+2|,2W 10 m=-百或m=.