2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：5. 6 函数.pdf
5.6 函数 y=A sin(s*+0)川川川川川I川川川川I川川川川川川川川川川“川川川川川川h 课 前 预 习 卅川川川川川川I川川川川I川川川川川“川川川川川川川川h最新课程标准学科核心素养1 .结合具体实例，了解y=4s i n(s+9)的实际意义.2 .能借助图象理解参数3,p,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.1 .掌握y=s i n x与y=A s i n (g r+)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.(教学抽象)2 .会 用“五 点 法 画 函 数 y=A s i n (x+e)的图象，借助函数图象求出函数解+析式.(教学运算)教材要点要 点 一A,co,9对函数y=A s i n (o x+0)图象的影 响 对 函 数 y=s i n (x+p)图象的影响3.A对函数y=A s i n (t t w+p)图象的影响状 元 随 笔(1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系.(2)3越大，函数图象的周期越小，3 越小，周期越大，周期与3 为反比例关系.(3)(p 大于0时，函数图象向左平移，0,co 0 的有关性质1.定义域：R.2 .值域：.2 7 t3.周期性：7=皆.CD4.对称性：对称中心(咛 生，0),对称轴是直线X吟券O t ez).5 .奇偶性：当 9=E(%eZ)时是奇函数；当 夕=桁+方(Z W Z)时是偶函数.6 .单调性：通过整体代换可求出其单调区间.状元随笔 研究函数y=A s 加(co x+(p)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.(2)整体思想：研究当x G a,0 时的函数的值域时，应将co x+(p 看作一个整体0,利用x G a,0 求出0的范围，再结合y=s 山。的图象求值域.基础自测1 .思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)(1)把 函 数 y=s i n 2r的图象向左平移个单位长度，得到函数y=s i n(2 x+1)的图象.()(2)要得到函数y=s i n (x+学 的图象，可把函数y=s i n (一力的图象向左平移胃个单位长度.()(3)把 函 数 y=s i n x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得 到 y=s i n 2x的图象.()(4)函 数)，=co s 的图象是由函数产co s x的图象向右平移1个单位长度得到的.()2 .为了得到函数y=s i n(X即 的 图 象，只需把函数y=s i n x 的图象()A.向左平移;个单位长度B .向右平移1个单位长度C.向上平移W个单位长度D.向下平移W个单位长度3.函数y=co s 4x 的图象可由函数丁=以)龙的图象经过怎样的变换得到()A.所有点的横坐标为变为原来的4 倍B.所有点的横坐标变为原来的;倍C.所有点的纵坐标变为原来的4 倍D.所有点的纵坐标变为原来的1 倍4.若函数y=sin(求+夕)(0)的部分图象如图，则co=“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川“川h 丁 陶 陶 凰5解 透t川川川用川川卅卅卅川卅卅川卅N卅卅卅川川川勿川三角函数图象的变换角 度 1同名三角函数图象的变换例 1由函数y=sin x 的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=1 2 s in(2%一 意+1的图象.方法)2佃三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：(1)两种变换中平移的单位长度不同，分 别 是 阳 和,但平移方向是一致的.(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的.角度2异名三角函数图象的变换例 2为了得到函数)，=s in(2x聿)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()A.向右平移差个单位长度B.向右平移号个单位长度C.向左平移点个单位长度D.向左平移1 个单位长度方 法)3佃不同名三角函数之间的变换方法(1)利用诱导公式，寻找不同名三角函数之间的关系，主要利用方土a 化简.(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后，再根据平移、伸缩变换，得出最终结果.跟 踪 训 练 1 (1)要得到函数y=3 sin(2x+；)的图象，只需将函数y=3sin 2%的图象()A.向左平移;个单位长度B.向右平移彳个单位长度C.向左平移/个单位长度D.向右平移得个单位长度(2)把函数y=c o s(3%+舅的图象适当变换就可以得到y=sin(-3 外的图象，这种变换可以是()A.向右平移；个单位长度B.向左平移今个单位长度C.向右平移自个单位长度D.向左平移合个单位长度函数y=A sin(5+9)的图象角 度 1 “五点法”作图例 3作出函数y=2 sin 七+袭)的一个周期内的简图.方法拉的五点法作图五点法作函数y=4 sin(cox+p)(xeR)图象的步豚.JT 3兀列表，令 3 x+g=0,兀，个，2兀，依次得出相应的(尤，)值.(2)描点.(3)连线得函数在一个周期内的图象.(4)左右平移得到y=A sin(sx+9)，x R 的图象.角度2由图象求三角函数的解+析式例 4如图所示，它是函数丫=4 sin(3X+Q)(A0,0,一兀 夕0,M0,一 9 0,c o 0,OVg V)的周期为兀，且图象上的一个最低点为M管，一2).(1)求兀v)的解+析式；(2)当xw o,时，求40的最值.易错辨析三角函数图象变换规则不清致误例 6为了得到=$布；x 的图象，只需要将y=s in (%一 的图象()A.向左平移/个单位 B.向右平移/个单位C.向左平移1个单位 D.向右平移W个单位详细分析：y=s in (5 一看)=s in|(了 一 称，.当由=5 苗&一 的图象得丫二成!！g X的图象时，应该是向左平移1个单位.易错警示易错原因纠错心得错 因1:审题不清，没有弄清哪一个函数图象变换得另一个函数图象；错因2：平移的单位长度由于忽视X的系数导致错误.在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：(1)平移之前应先将函数解+析式化为同名的函数；(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚；(3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是a x+q中 的 心 而 是七.课堂十分钟1.要得函数=$万的图象，只需将函数y=s in (x的图象()A.向左平移g个单位长度B.向右平移胃个单位长度C.向左平移专个单位长度D.向右平移考个单位长度2.要得到函数产c o s(3+号 的 图 象，需将函数产c o s 3 x的图象()A.向左平移点个单位长度B.向左平移5个单位长度C.向右平移占个单位长度D.向右平移g个单位长度3.y=/(x)是以2 7t为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y=X x)的解+析式为()A.y=3 s in (x+1)B.y=_3 s in (x+1)C.y=3 s in (x1)D.y=3 s in (x-1)T T4.把函数)，=s in x(xGR)的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是7 T J T5.已知函数/（x）=A s in （t t）x+夕）（A 0,。0,一弓 夕5 ）的一段图象如图所示.求7 U）的解+析式；（2）求7 U）的单调减区间，并指出Z U）的最大值及取到最大值时X的集合.5.6 函数 y=A sin(0X+。)新知初探课前预习要点一1 .左 右3.A要点二2.-A,A 基础自测1 .(1)X (2)X (3)X (4)72.答案：B3.答案：B4.答案：4题型探究课堂解透例 1详细分析：方法一 y=sin x 的图象方 法 二 y=sin x 的图象所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的2倍横坐标不变*3；=2si n x的图象关于才轴作对称变换-7=-2si n J T 的所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的4倍纵坐标不变向 右 平 移 合 个 单 位 长 度-2si n 2.x 的 图 象-a,=-2si n （21 r-/）的 图 象向 上 平 移1个单位长度./-y 2si n I 2JC-）+1的图象.例 2 详细分析：因为 y=cos 2A-=sin（级+），而 y=sin 2（x1）+与=sin（2 x f）,所以y=cos2x的图象向右平移生个单位长度可得到尸sin Q一 的图象.答案：B跟踪训练 1 详细分析：（l）：y=3 sin（2x+：）=3sin 2r+|=3sin 2（x+p）,：.1（pf ,：.p=l,故需将函数y=3sin2x的图象向左平 移;个单位长度.故选C.将y=sin 3口一自）的图象向左平移三个单位长度就可以得到丫=而!（-3x）的图象.故 选 D.答案：（1）C （2）D例3详细分析：令,列表如下:描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象:X7 T-32兀T5兀T8兀T1171t027 13兀T2冗y020-20例4详细分析：解 法 一（单调性法）由图象可知：A-2,7=竽 YD=3兀=誓，则（o=1 .点（兀，0）在递减的那段图象上，.十G 5+2 E,苧+2&兀（A G Z）,则由 si n 停+9）=0,得争+=（2&+l）7 t（&C Z）.V n（pTi,.，该函数的解+析式为y=2si n停x+1）.解 法 二（最值点法）由图象可得7=3兀，A=2,则=,将最高点坐标停，2）代入y=2si n 停x+s）,得 2si n （专+,=2,T T J T T T,升+*=2 E+E（k Z）,：.（p=2kn+/七Z）.又一兀 8 兀,：（p=q.,该函数的解+析式为y=2si n停为+.2解 法 三（起始点法）由题图得7=3兀，A2,故。=g ,函数y=A si n （w x+夕）的图象一般 由“五点法”作出，而起始点的横坐标刈正是由（o x o+9=0解得的，故只要找出起始点的横坐标M）,就可以迅速求得角0.由图象求得3=1,X o=甘，9=0必=一|x（一?.该函数的解+析式为y=2si n停工+鼻）.解 法 四（图象平移法）由图象知，将函数y=2si n 2 的图象沿x 轴向左平移F7 1个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解+析式为y=2si n 翡 十 3，即y=2si n 6r+g.答案：y=2si n&+5）跟踪训练2详细分析：（1）由图象得A=l,=y-j,所 以 T=2 n,则 o=l.将点怎，1）代入函数段）解+析式得si n （袭+0）=1，又一与 片，所以94，因此函数y（x）=si n （x+.故选 B.（2）列出x,y的对应值表：描点，连线，如图所示.X三-883兀T5兀T7 兀T2x+：07 T2兀3兀T2兀y0也0一 也0答案：（1）B （2）见解+析例 5详细分析：若选：（1）由已知得=2 兀，则。=1,于是 x）=2si n （x+9）因为外）图象过点（率 1）,所以si n 仁+8,即 c os 9=T，IT 7T又因为一5 3 o,所以勿=一?,故 於)=2s in (l1).(2)由已知得 g(x)=2s in(2x-/，于是 2 E5 2x 2%兀+1,解得kn 4WE+寿,O O故 g（x）的单调递增区间为 也 一7T E+引57r（MZ）.若选：由已知得，T=2 兀，则 co=9于是 7 U）=2s in （x+p）.因为 x）图象关于直线工=空 对称，所以争+勿=%兀+，,即 0=4 兀一季（A Z）I T 7 T又因为一 夕 0,所以0=一5,故 _/(x)=2s in (%一袭).(2)由已知得 g(x)=2s in(2x 今)由 2 E W 2x 专,即 24 碧.故 g（x）的单调递增区间为%兀一翁，E+翁（Z W Z）.27r若选：（1）由已知得T=京=2 兀，则=1,于是於）=2s in （x+（p）.因为於）图象关于点（去 O）对称，所以1+（p=k7 t,T T T T即 0=E一d（A W Z）,又因为一”0,所以夕=一事，故火x）=2s in Q一季）.（2）由已知得 g（x）=2s in（2 x-,J I J I 兀由 2 E5 W 2x 瓦 W2 E+5,攵 Z,即 7 1-2 44 W k7 1+胃故 g（x）的单调递增区间为 e-符，航+工（4 e z）.跟踪训练3详细分析：（1）由函数y（x）图象上的一个最低点为M停,由周期丁=兀，得 3=笔=2.1 兀一2）,得 A=2.由点M管，-2)在图象上，得 2s in 售+，=2,即 s in 停+0)=-1,4 元 7 T所以可+9=2 阮一(A6 Z),1 1 T F故(p=2kit (kGZ),又 9G(0,&,T V所以 k=,(p=%,所以函数的解+析式为兀c)=2s in(2x+/.JI(2)因为 x e 0,y 5 J )所“以t、i 2八x+,d7 C q亨兀 T3t J ,所以当2x+l=1,即x=o 时，函数y(x)取得最小值i；i,-.7 1 7 1当 2x+d=3，即=今 时，函数y(x)取得最大 值 小.课堂十分钟1 .答案：A2.答案：A3.答案：D4 .答案：y=s in(2x+5 .详细分析：(1)由图象可以得到函数#外的振幅A=3,3 7 1 1 5 7 r 2设函数周期为T,则;7 =4%一 京=詈，所以7=5 兀，则3 稳,2 兀 兀由3期+夕=0,得 +夕=0,所以=一 而，所 以/)=3s in (|L总.(2)由3+2/兀 XW与+2 E(%e z),得手+5E4兀+5 E(k G Z),所以函数的减区间为-3兀5+5 E,4兀+5 E ,k eZ.函数兀0的最大值为3,当且仅当|x%=；+2E,k w z,即 =苧+5 h t(k G Z)时函数取得最大值.所以函数的最大值为3,取得最大值时的x的集合为卜卜=苧+5%兀(AG Z).
