2021-2022学年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形课时练习练习题.pdf

人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形课时练习考试时间：9 0 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第I I 卷（非选择题）两部分，满 分 1 0 0 分，考试时间9 0 分钟2、答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单 选 题（1 0 小题，每小题3 分，共计3 0 分）1、平行四边形的6C 在平面直角坐标系中的位置如图所示，Z A OC=45 ,OA=OC=yf2,则点8的坐标 为（）A.（夜，1）B.（1,7 2）C.（正+1,1）D.（1,V 2 +1）2、如图，在菱形力颇中，A B=5,A C=8,过点6 作 6瓦 于 点 瓦 则 比 的 长 为（）3、将一张长方形纸片的按如图所示的方式折叠，A E,力尸为折痕，点 6、折叠后的对应点分别为B D ,若4 A 0=1 0 ,则/必 F 的度数为（)C.50D.554、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某个合作小组的4 位同学拟定的方案，其中正确的是（）A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量其内角是否均为直角D.测量对角线是否垂直5、如图，矩形以回的边以长为2,边 48长 为 1,物在数轴上，以原点。为圆心，对角线仍的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A.2.5 B.2&C.石 D.y/56、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（）A.梯形的下底是上底的两倍 B.梯形最大角是120。C.梯形的腰与上底相等 D.梯形的底角是607、如图，在菱形ABCD中，P 是对角线A C上一动点，过点尸作于点笈于点色 若菱形4BCD的周长为2 4,面积为2 4,则PE+PF的 值 为（）DA8、如图，将矩形纸片ABC。按如图所示的方式折叠，得至U 菱形A E C F,若 AB=6,则8 c 的长为()D C D F CB A E BA.2 B.25/2 C.4 D.2石9、如图，矩形力及力中，DE L A C于 E,若Z A D E=2/E D C,则/核 的 度 数 为（）A.36 B.30 C.27 D.18io、在中，力是角平分线，点昆尸分别是线段；切的中点，若力即、牙r 的面积分别为21、7,则 嘿 的 值 为（）AC第n 卷（非 选 择 题 70分）二、填 空 题（5 小题，每小题4分，共计2 0 分）1、如图，已知正方形/空9 的边长为6,E、尸分别是4 6、a 边上的点，且/的 =4 5 ,将加 绕点逆时针旋转9 0 ,得到若4Q2,则用/的长为.B F C M2、如图，在 平 行 四 边 形 力 中，A B=,B C=5,以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交 a 于点化交 切 于 点。，再分别以点R。为圆心，大于;网的长为半径画弧，两弧相交于点M 射 线 G V 交胡的延长线于点区则力后的长是.3、如图，在 阿 中，Z A CB=90,以；a 1和 4?为边向上作正方形1曲 和正方形8 c M 和正方形A B GF,点 G 落在M I 上,若 A C+B C=7,空白部分面积为16,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.4、点、E、尸分别是Z U 8 C 三边的中点，Z V 16 C 的周长为2 4,则/如 1的周长为.5、如图，在四边形A 5 C D 中，Z A B C+A DCB =90 ,E,产分别是4。,B C 的中点，分别以A 8,C）为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8%，则E F 的长为_ .三、解 答 题（5小题，每小题10分，共计5 0分）1、如图，四边形4?（力为平行四边形，N员”的 平 分 线 交 于 点 色 交欧的延长线于点反 点后恰是切的中点.求证：（1）力 此在（2）B E V A F.2、已知如图，在n A B C D 中，点E是A O 边上一点，连接8,C E,B E =C E,5 E，CE,点尸是E C 上一动点，连接8 F.（1）如图1,当即，至 时，连接）尸，延长8 E,C O 交于点K,求证：F D=D K；（2）如图2,以B F 为直角边作等腰用F B G,N F B G =9 O。，连接G E,若 DE =RC D =5当点尸在运动过程中，求A8G周长的最小值.3、已知：在A 4 8 c中，点。、点E、点尸分别是A 3、A C.B C 的中点，连接。E、D F.(1)如图 1,若A C=BC,求证：四边形O E C F 为菱形；(2)如图2,过C作C G 4?交O E 延长线于点G,连接M，AG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与A A D G 面积相等的平行四边形.图1图24、如图：已知及7?是等腰直角三角形，且N Z O=9 0 ,过 点 作 比；使 在 力 上 取 一点其 连结四，点 8关于四的对称点为3,连结8 并延长笈交力的延长线于点尸，延长四交6 吠于点G,连结B G.(1)求证：4 C B G=/C D仄;(2)若 A E=DE,B C=Q,求 比 长；(3)在(2)的条件下，为直线加上一点，使/3 为等腰三角形，则所有满足要求的药/的长是.(直接写出答案)5、在菱形相 切 中，Z A B C=60,P 是直线加上一动点，以 为边向右侧作等边“加(4 P,E按逆时针排列)，点少的位置随点尸的位置变化而变化.(1)如图1,当点。在线段切上，且点 在菱形4 8(力内部或边上时，连接四，则露与龙的数量关系是,B C与四 的 位 置 关 系 是；(2)如图2,当点尸在线段物上，且点 在菱形4 腼 外 部 时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)当点户在直线放上时，其他条件不变，连 接 的 若 48=26，B E=2回,请直接写出“加的面积.-参考答案一、单选题1、C【解析】【分析】作 8 方，x,求得。、8。的长度，即可求解.【详 解】解：作如下图:在平行四边形OABC 中，A B =O C =OA =42,AB/O C：.NZMB=ZAOC=45 AD8为等腰直角三角形贝IAD?+BO?=A8?,解得 4)=8=1O D =OA +A D =42+B(x/2+l,l)故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.2、B【解析】【分析】根据菱形的性质求得8。的长，进而根据菱形的面积等于：A C m =C 6 8 E,即可求得胆的长【详解】解：如图，设AC8。的交点为0,四边形ABC。是菱形AC1BD,AO=CO=-A C =4,DO=BO,CD=AB=52在RMAOB 中，AB=5,AO=4BO=IAB2-AO2=3:.BD=2BO=6 菱形的面积等于;AC 8。=CQ.BE故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得5。的长是解题的关键.3、A【解析】【分析】可以设=a,A FA B =B,根据折叠可得A F,N B A E=/B 4 6,用 a,B表示尸 =1 0 +,Z B A E=1Q+a,根据四边形4 6（力是矩形，利用/仿=9 0 ,列方程1 0 +1 0 +1 0 +7+0=9 0 ,求出 a +=3 0 即可求解.【详解】解：设/戌1 =a,A FA B =,根据折叠性质可知：/D A F=N F A F,N B A E=/B，A E,V A B A D=1 0 ,：.Z DA F=I Q+,Z B A E=l Qa+a,.四边形力阳9 是矩形：.Z DA B=9Q,.1 0 +1 0 +1 0 +a+a=9 0 ,。+=3 0。，：.Z E A F=Z B A D1+Z D1 A E+Z FA B ,=1 0 +a +,=1 0 +3 0 ,=4 0 .则N 分尸的度数为4 0 .故选：A.【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.4、C【解析】【分析】根据矩形的判定：（1）四个角均为直角；（2）对边互相平行且相等；（3）对角线相等且平分，据此即可判断结果.【详解】解：A、根据矩形的对角线相等且平分，故错误；B、对边分别相等只能判定四边形是平行四边形，故错误；C、矩形的四个角都是直角，故正确；D、矩形的对角线互相相等且平分，所以垂直与否与矩形的判定无关，故错误.故选：C.【点 青】本题主要考查的是矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.5、D【解析】【分析】利用矩形的性质，求证明NO4 5 =9 0。，进而在R A A O B 中利用勾股定理求出的长度，弧长就是0 8 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可.【详解】解：.四边形以8 C 是矩形,NOW=90,在RfAAOB中，由勾股定理可知：OB2=O +AB-,;.OB=-JOA2+A B2=，弧长为石，故在数轴上表示的数为石，故选：D.【点本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键.6、D【解析】【分析】如图(见解析)，先根据平角的定义可得Nl+N2+N3=180。，再根据/1=/2 =/3可求出Zl=Z2=Z3=6 0 ,由此可判断选项B,。；先根据等边三角形的判定与性质可得DE=CD,NCDE=60。,再根据平行四边形的判定可得四边形ABCE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得A E=8 C,然后根据菱形的判定可得四边形OEEG是菱形，根 据 菱 形 的 性 质 可 得 小=最后根据线段的和差、等量代换可得CD=AD,BC=2 A D,由此可判断选项A,C.【详解】解：如图，Nl+N2+N3=18()o,Nl=N2=N3,Zl=Z2=Z3=60,V ADBC,ZADC=1800-Zl=120,.梯形ABC。是等腰梯形，NABC=N1=60,ABAD=ZADC=120,CD=CE,则梯形最大角是120。，选项B正确；没 有指明哪个角是底角，,梯形的底角是60。或120。，选项D错误；如图，连接DE,CD=CE,22=60,M CDE是等边三角形，/.DE=CD,NCDE=60,ZADC+ZCDE 180,.点A,R E共线，.Z/WC=N3=60,AB|CE,AB=CE,.四边形ABCE是平行四边形，AE=BC,NCGF=NCDE=6O。,:.DEFG,-EFDG,EF=FG,四边形OEFG是菱形，:.DE=EF=AD,:.CD=AD,BC=AE=AD+DE=2 A D,选项 A、C 正确;故选：D.G【点睛】本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键.7、A【解 析】【分析】连 接 B P,通过菱形ABCD的 周 长 为2 4,求出边长，菱 形 面 积 为2 4,求 出 具树的面积，然后利用面积法，S.,BC=S,ABP+S,CBP，即可求出 PE+PF 的值.【详 解】解：如图所示，连 接 8 P,.菱 形/物 的 周 长 为24,A8=BC=24+4=6,又 .菱 形4筋 的 面 积 为24,S,A8c=24+2=12,：SdABC=SdA B P +S4cBp=2 ,：.-A B PF+-BC PE=2,2 2AB=BC,：.A B（PE+PF）=2,：AB=6,/.PE+PF=4,故选：A.【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系.8、D【解析】【分析】根据菱形及矩形的性质可得到/以C的度数，从而根据直角三角形的性质求得及7的长.【详解】解：.四边形力比F为菱形，:./FC0=4E C0,E（=A E,由折叠的性质可知，/E CO/B CE,又N/7砂/比。/比 层 90,凡 氏/6 3/8 止 30,在 应 胸 中，E O2E B,又,：E OA E,A B=A R E B=6,：.EB=2,E(=4,R t/BCE 中，BC=飞EC。-EB1=2 6，故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根 据30。的直角三角形中各边之间的关系求得6 c的长.9、B【解 析】【分析】根据已知条件可得ZADE以及ZEDC的度数，然后求出AODC各角的度数便可求出ZBDE.【详 解】解：在 矩 形46口 中，ZADC=90,：ZADE=2NEDC,：.ZADE=60,ZEDC=30,：DE VAC,：./DCE=90-30=60,；OD=OC,：.NODC=NOCD=4）。,：.ZDOC=60,：.ZBDE=90-NDOC=30.故选：B.【点睛】题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键.10、B【解析】【分析】过点力作/8C 的高，设为x,过点 作斯C的高为g x,可求出80=别 是 线 段 切 的 中 点，可得出CE.C)=2C E.C F,进而求出CO=型,X若的值为黑即可求解.【详解】解：过点力作46。的高，设为x,过点 作绪。的高为:x,47 OR一,CF=,再由点反尸分XX再利用角平分线的性质可得出SA八A”BD=2*x*BD=21 7,SA EtFrcC =2 2xCF=7BD=,CF=,X X:点、E、尸分别是线段47、切的中点，.CE EF _ CF _ 1CAADCD2，CA=2CE,:CECD=CACF,CE.CD=2CEF,：.CD=,X过点作壮力。DNLAC,为NBAC平分线，J.DM=DN,：St n m)=-2A B-DM,A C DS arn 2=-AC-DN,.SABD AB-DM DB An AB DBSACD AC-DN CD AC CD42.AB BD 42 3*AC-CD-56-56-4，x故选：B.【点 青】本题考查角平分线性质定理及三角形中位线的性质，解题关键是求出*=黑.AC C-y二、填空题1、5【解 析】【分析】由 旋 转 性 质 可 证 明 应 侬 戚 火 从 而 上 月 快 设 用 作 上x,则 可 得 册8 T，由勾股定理建立方程即可求得乂【详 解】由旋转的性质可得：际DM,CM-AE=2,ZADE=ZCDM,/龙 沪90 .四边形4E C0是正方形：.Z A D(=Z B=90 ,A B=B(=&:.乙 A DE*4 FDO 4 A DC-4 E D2 蜴：.4FDC+/CD后45 即 N,WM5 0/./E D内NM DF在 的1和朗如 中DE=D M =K；(2)延长四到点R 使 正 区 先证明点G 在过点。且与四垂直的直线月V 上运动，再作点关于点。的对称点0,连接6 0 交 加 于 点 G,此时应 G 的周长最小，求 出 此 时 由 G 8+旗的值即可.【详解】证明：(1).四边形力时是平行四边形,/.A B/CD,：./K=/A B E,:B FL A B,B E I CE,：.ZABF=9Q,?BEF?CEK 90?,A Z A B E=9Q-/E B F=/B FE,:./K=4B FE,：B E=CE,:.CE KA B E F(A A S),：.CK=B F,E K=E F,：AD/BC,：.A KE D=A E B C,4FE D=4E CB,：B E=CE,；/E B C=/E CB,:KE D=/FE D,：.E D=E D,.,.A 海 阳 9 (S I S),：.DK=DF,(2)如图，作 B N工B E,G V J _8 V 于点/V,延长M；交射线四于点只贝/EBN=/FBG=9Q ,./NBG=4EBF=90-Z GBE,:NN=NBEF=90,BG=BF,：./BN G 4BEF(AAS),：.BN=BE-,：AEBN=Z N=A B E P=,.四边形BEPN是正方形,：.PE=BE=CE,：.当点夕在四上运动时，点 G 在刚上运动；延长律到点。，使PQ=PE,连接BQ交PN于点G,./W 垂直平分EQ,.点 0 与点6 关于直线/W 对称，两点之间，线段最短，/.此时 GE+GB=G/GB=BQ 最A、,.班为定值，.此时海烟应最小，即座1(；的周长最小;作 DH 工CE 千点、H,则/糜 =/腕1=9 0 ,:4E CB=/E B C=45 ,:./H E D=/E CB=45 ,：.4H DE=45 =/H E D,：.DH=E H,=”甘=泥=(可,:.DH=E H=k：.CH=y/CD2-D H2=可-=2,：.B E=CE=E fhCH=+2=?,:.E Q=2PE=2B E=6,:NB E Q=90,:.B Q=W+G=3档,:.GE+GB+B E=3&3,班G周长的最小值为3石+3.【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及运用轴对称的性质求线段和的最小值问题的求解等知识与方法，深入探究与挖掘题中的隐含条件并且正确地作出辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题.3、(1)证明见详解；(2)与AADG面积相等的平行四边形有D4)F E、口D E F B、2 E C F、口E F C G.【分析】(1)根据三角形中位线定理可得：DE/BC,DF/AC,DE=B C ,DF=A C,依据平行四边形的判定定理可得四边形即 为平行四边形，再由8 C =AC,可得DE=D F,依据菱形的判定定理即可证明；(2)根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理可得四边形加微DECF、力叨是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AM E 与各平行四边形面积之间的关系，再根据平行四边形的判定得出四边形及4 是平行四边形，根据其性质得到EG =F C =O E,根据等底同高可得S“0 G=2 S“E，据此即可得出与AA D G 面积相等的平行四边形.【详解】解：(1):D、E、夕分别是4?、AC.8 c 的中点，A DE/BC,DF/AC,D E -B C,DF=-AC,2 2四边形切汁为平行四边形，：BC=AC,：.DE=DF,四边形以江 为菱形；(2),:D、E、尸分别是1 8、AC.6 c 的中点，A DE/BC,DF/AC,EF/I A B,DE=-BC,DF=-AC,EF=-AB,2 2 2且 AD=BD,AE=C E,BF C F,四边形第方、DECF、/力石是平行四边形，q q q -q -J,q -Ls 。a D E n.D EF&EFC。&DBF?。QADFE aDEFti?o D E C F，:DE/BC,CG/EF/AB,四边形戈穴是平行四边形，EG=FC=DE,/.S A/M、=2S A n.,S、A DG SOABFE=S oDE FB aDE CF=aE FCG.与AAOG面积相等的平行四边形有o4）庄、口D E F B、oDE CF、口E FC G.【点睛】题目主要考查菱形及平行四边形的判定定理和性质，中位线的性质等，熟练掌握平行四边形及菱形的判定定理及性质是解题关键.4、（1）证明过程见解析；（2）8 G 的长为4 质；（3）2 祈 或 6 后-4 祈 或 加 或 6 石+4 加【分析】（1）连 结 回 交 C G于点也 交 切 于 点。，证明四边形A?必是正方形，再根据对称的性质得到3 垂直平 分 阳，得到8 C 侬 8 C G（用S）,即可得解；（2）较B G交A D千点、N,得到a（/弘），得 到&=庞=5,B Q=CE=5也,再根据勾股定理得到B M,最后利用勾股定理计算即可；（3）根据点G 的位置不同分4种情况进行讨论计算即可；【详解】（1）证明：如图1,连 结 期 交 C G于点M,交 切 于 点。，图1,CAD/BC,AD=BC,.四边形?!筋是平行四边形，：BC=DC,NBCD=90,四边形力愉是正方形，.点笈与点8 关于四对称，四垂直平分隔，：.BC=BxC,BG=BG：CG=CG,:、BCSXBCG CSSS),:./CBG=/C B G,:DC=BC:./CDB=/C B G：./CBG=/CDB.(2)解：如 图 1,设 砌 交 4?于点M,：BC=CD=AD=Q,:.DE=/AD=5,：4CDE=90,.,.6F=5/102+52=575，V ABCQ=Z CDE=ZBMC=90,：.ZCBQ=9Q-ABCM=ADCE,：.4 B C g丛CDE(ASA),：.CQ=DE=,BQ=CE=55 CMY BQ,.SBCQ=g BQ*CM=7 BC*CQ,.-x5/5C M=ixlO x5,2 2.G if=2y5,.BM=J102-(2 )2=4亚,/A B C=NBAN=9G,./G DA*/CDB尸 包,N/8忸N S G=90,.AGDN=AABN,4GND=4ANB,./G D 2 4GND=N 4外N 4仍=90,./B G B尸90,./BGM=4BGM=|NBGB、=A5,N 5祐=90,./BM G=/BGM=45,.GM=BM=4 亚,.BG=J(4鬲 +(4扃=4幅,.%的长为4痴.(3)解：如 图1,由(2)得O f=2小,GM=4也，CG=2 石+4石=6石,如图 2,CH=CG=6后,则/肱=NC阳=4 5 ,:./G C H=9 C ,/.GH=J（6 x/5）2+仅 用=6 厢,：.B H=GH-BG=6 M-4M=2 710 ；如图3,H G=CG=6后,且点与点6在直线隔的同侧,:.B H=H G-B G=6亚-4 /10 ；如图 4,CH=GH,则/7G=N%C=4 5 ,：.ZCHG=9Q,cR+G=cd,：.2G/f=（6指）:.GH=3M,:.BH=BG-GH=4晒-3厢=加；如图5,G=C G=6石，且点与点6在直线期的异侧,图5/.B H=H小B G=6 石+4 加，综上所述，掰的长为2M 或6 6-4加 或 布 或6 6+4布，故答案为：2M 或66-4 9或 加 或6省+4瓶.【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，正方形的性质，准确分析计算是解题的关键.5、(1)B P=CE,CE L B a(2)仍然成立，见解析；(3)3 173【分析】(1)连接力G根据菱形的性质和等边三角形的性质证明劭口。后即可证得结论；(2)(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明为总。少即可；(3)分两种情形：当点尸在劭的延长线上时或点尸在线段加的延长线上时，连接4 C交 物 于 点0,由/腔=9 0 ,根据勾股定理求出四的长即得到即的长，再求力。、PO、阳的长及等边三角形加表的边长可得结论.【详解】解：(1)如图1,连接；延长方交/于点，图1.四边形力6或是菱形,：.A B=B C,：Z A B C=60 ,.4 6。是等边三角形,：.AB=AC,/为C=6 0 ；是等边三角形，：.AP=AE,ZPAE=6Q,：.ZBAP=ZCAE=&00-APAC,:./BA2XCAE(SAS),：.BP=CE-,.四边形力6位是菱形，/.ZABP=ZABC=30,：.ZABP=ZACE=3Q,V ZACB=O,:.NBCE=60+3 0 =9 0 ,:.CE1BC；故答案为：BP=CE,CELBC；(2)(1)中的结论：BP=CE,血4 9仍然成立，理由如下:如图2中，连接4 C,设纺与独交于,菱形力犯9,NABC=60,.46。和/切都是等边三角形,：.AB=AC,/胡 27=120,N物A120+/DAP,.4%是等边三角形，：.AP=AE,ZPAE=6Q,：.ZCAE=&0Q+60+ZDAP=120+ZDAP,：.ABAP=ZCAE,：./ABPACE(夕IS),：.BP=CE,/ACE=NABD=30,:./DCE=30,V ZADC=&Q0,:./DCE+NADC=9Q,:./CHD=9Q,：.CEVADy：.(1)中的结论：BP=CE,血/仍 然 成 立；(3)如图3 中，当点P 在即的延长线上时，连接1 交 劭 于 点。，连接四，B E,作于E图3.四边形46口是菱形,：.ACVBD BD 平分 NABC,V ZABC=60,AB=2币，,：.ZABO=30,：.A0=AB=j3,OB=3AO=3,:.BD=6,由（2）知 CEJLAD,：AD/BC,：.CEVBC,:BE=2M,BC=AB=2y/3,CE=2晒）2-Q B。=8,由（2）知 BP=CE=8,：.DP=2,：.0P=5,AP=J o V+o 产=J（a 2+5 2 =2 币,.力 必 是等边三角形，5A/1 P=3 X （2 77）2=7 6，4如图4 中，当点尸在龙的延长线上时，同法可得加-J o +o 产=J（省产+昼=2 向,【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题.