2021-2022学年重庆市高二（上）期中数学试卷（解析版）.pdf

2021-2022学年重庆市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A =x|x 2l,8=M-5 V x 7 ,则 4 0 8=()A.R B.x|lx 7C.x|-5 x l)D.x|-5 V x -1 或 1 V x 0)被 圆 C：/+产+叼-21=0 截得的弦长为4旄.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 为圆：(x-8)2+产=1上一动点，点。为圆C 上一动点，点 M 在直线y=4 上运动.求眼 尸|+|。|的最小值，并求此时M 的坐标.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=3/1 ,B=x|-5 x V 7 ,则 A C B=()A.R B.x|lx7C.M-5V xl D.x|-5 x -1 xl=Rxl 或 xV-1,B=x|-5x7,.,.4A2=x|-5 x -1 或 lV x 0,解得%7 或&|C )|r 2 一 n=2,圆。与。相交，故选：C.27.函数/(x)=里 皂 的 部 分 图 象 大 致 为()X-Xe -eA.1OxiB.判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可.解：函数的定义域为x|xWO,f C-x）=3（*）-吆（13）_=_ 3cosx.=_于（X）,则/（x）是奇函数，排除 B,-x X X-Xe-e e-eD,TT 1当 OVxV 时，3%2cos%0,0,则f （x）0,排除 A,2ex-e故选：C.8.如图，在平行六面体A B C O-4BIGDI中，E,尸分别在棱BBi和。上，K BBf3A.-I B.0 C.D.3 6【分析】根据已知条件，结合空间向量及其线性运算法则，即可求解.解：E F=E B1+B1F=E B +B D +D F9 1 .2 “一 一.1 .AAj -AB+AD y AAjo o=-疝+标 卷 函=x AB+y AD+zAApBP x=-1,y=l,z=,3x+y+z=y-故选：C.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.己知空间向量(2k+2,k,-4)，b=(-2,1,8)，且Z 1 E，则()A.k=-6 B.|b 1=6 9 C.%=-1 2 D.|b|=V 6 9【分析】由数量积为0列式求解左值，再由向量模的计算公式求|b I.解：V a=(2k+2,k,-4)，b=(2,1,8)R-a J _ b,a -b=-2(2k+2)+k-32=C-即 k=1 2-Ib|=V(-2)2+l2+82=V69-故选：CD.1 0.已知 4 (1,2),8(-3,4),C (-2,0),则()A.直线x-y=0与线段A B有公共点B.直线A B的倾斜角大于1 3 5 C.ABC的边8 c上的中线所在直线的方程为y=2D./ABC的边B C上的高所在直线的方程为x -4 y+7=0【分析】直接利用两点式，斜截式和中点坐标的应用确定A、B、C、。的结论.解：已知 A(1,2),B(-3,4),C (-2,0),所以直线4 8的方程为：y-2=(x-l)-整理得x+2 y-5=0,5,故A错误；_ 5由于直线A B的直线方程斜率为k=-1,故直线A B的倾斜角大于1 3 5 ,故B正确；设8 c的中点为。(晟，2),所以4。的直线方程为y=2,故C正确；X+则VZ：o，解得由于点 B(-3,4),C (-2,0),所以 kBc=-4,故经过点A(1,2)垂直于直线B C的直线方程为x-4 y+7=0,故。正确;故选：BCD.1 1.已知正四棱锥S-A B C。的侧棱长是底面边长的 倍，。为底面中心，E是S B的中点,A C=2,则()A.异面直线A E,S C所成角的余弦值为返10B.SA=A/SC.异面直线A E,S C所成角的余弦值为叵10D.s o=V s【分析】根据正四棱锥的特征，底面为正方形，所以由4 c=2可得底面边长，再根据条件可求得侧棱长，即S A；由S。为底面垂线，在直角三角形中可求解S O；建立空间直角坐标系，由向量夹角公式可求得异面直线所成角.解：因为正四棱锥，AC=2,所以底面正方形边长为&,因为侧棱长是底面边长的 倍，所以侧棱长为捉，即S 4 =正，故8正确；因为正四棱锥S-A B C。，。为底面中心，所以S O,底面A B C Z),所以 SO0 4,在直角三角形S O A中，S 0=1S A2_0 A 2=V 1=旄，故。正确；根据条件，建立如图坐标系:所以 4 (1,0,0),5 (0,0,娓)，C (-1,0,0),E (0,匹)，V 2 2所以 AE=(-L ，C S=(1，。，娓)因为c o s=AE-SCI AE I I SC IV15所以异面直线A E,S C 所 成 角 的 余 弦 值 为 逗，故 C正确;10故选：BCD.1 2.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值A (A#1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系x O y 中，A (-1,0),B (2,0),动 点 C满 足 犍(芸,直线/：mx-y+m+=0t 则()A.动 点。的轨迹方程为(x+2)2+*=4B.直线/与动点C的轨迹一定相交C.动点C到直线/距离的最大值为a+1D.若直线/与动点C的轨迹交于P,。两点，且|PQb2&，则，=7【分析】设 c (x,y),由题意求出点C的轨迹以及轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，依次判断四个选项即可.解：设 C(x,y),因为动点c满足力,|CBl 2所以也+1)2+丫 2 27(x-2)2+y2 2整理可得 x 2+y 2+4 x=0,即(x+2)2+/=4,对于A,动点C的轨迹是以N (-2,0)为圆心，r=2 为半径的圆，动 点 C的轨迹方程为(x+2)2+=4,故选项A正确；对于3,因为直线/过定点M(-1,1),而点M(-1,1)在 圆(x+2)2+y 2=4 内，所以直线/与动点C的轨迹一定相交，故选项B正确；对 于C,当直线/与MN垂直时，动 点 C到直线/的距离最大，且最大值为r+|M N|=2+&,故选项C错误；对于D,记圆心N到直线I的距离为d,则因为|P Q 2=4 （-建），则 4 （r2-d2）=8,因为r=2,l|m-11 所以d=，即J 2 J 血,解得7=-1,故选项。正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.把答案填在答题卡中的横线上.1 3 .若直线2 x+y -5=0 与 蛆-3）叶 6=0 垂直，则机【分析】利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出.解：直线2 r+y-5=0 与3 y+6=0 垂直，.2/n-3=0,解得2 =5，故答案为：彳 .1 4 .已知正方体ABCO-AIBG OI的棱长为4,斓 苫 从 力，点 N为 SB的中点，则阳川=叵.4 -【分析】以力为原点，D4为 x轴，C 为 y轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出|W V|.解：正方体A B C。-A 山C i。的棱长为小.1 A M g MCy点 N为 3 8 的中点，以。为原点，D4为 x轴，DC为），轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系,9 1 1则 A (，0,0),C i (0,a,a),M(,N(a,a,)f2，|W|=(a-1a)2+(a-1)2+(f-f)2=4-故答案为：YHG15.某班级从A,B,C,D,E这5位学生中任选2人参加学校组织的“请党放心，强国有我！”的演讲活动，则学生A被选中，学生8没被选中的概率为 士 .10【分析】要 使“学生A被选中，学生8没被选中，则选中A后，还需在C、4和E三人中再选1人，再结合组合数，古典概型，即可得解.解：5人中任选2人有C=10种选法，其中学生A被选中，学生B没被选中有C；=3种选法，因此所求的概率为得.故答案为：16.在空间直角坐标系。-xyz中，A(1,1,?),8(2,2,4),P(0,0,5),若平面A B C的 一 个 法 向 量m=(3,1,-1)，则 直 线A B的 一 个 方 向 向 量 为AB=(1,1,4)_，直线AP与平面ABC所成角的正弦值为噜_-【分析】由向量垂直即可求解直线AB的一个方向向量；再由彳与下所成角的余弦值可得直线A P与平面A B C所成角的正弦值.解：VA(1,1,力，8(2,2,4),AB=(1,1,4-t)，又平面 ABC 的 一 个 法 向 量 1,-1).AB*m=3+l-4+t=0,即，=0 二直线A8的一个方向向量为根=(1,1,4)；A (1,1,0),P(0,0,5),则/=(-l,-1,5)，又平面A B C的一个法向量孟=1,-1),直 线A P与 平 面A B C所 成 角 的 正 弦 值 为|c o s 1=1 里|=I m l-l A P II -9 V33W11XV27 11 _故答案为：AB=(1,1,4)；管.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的直线方程：(1)经过A (-1,3),且与直线3x-y-6=0平行；(2)在y轴上的截距与在x轴上的截距之差为3,且垂直于过M(2,3)和N (0,4)两点的直线.【分析】Q)由题意利用两直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程.(2)求出直线的斜率，设出直线的斜截式方程，根据直线在坐标轴上的截距之差为3,求出待定系数，可得结论.解：(1)设经过A (-1,3),且与直线3x-y-6=0平行的直线的方程为3x-y+A=0,把点A代入，求得攵=0,故经过4(-1,3),且与直线3元-y-6=0平行的直线的方程为 3x -y=0.(2)直线MN的 斜 率 为 等=-，故要求直线的斜率为2,0-2 2设直线的方程为y=2x+b,则它在X轴上的截距为-由题意，b-(-)=3,求得b=2,故要求的直线的方程为y=2x+2,即-2=0.18.已知A B C 中内角 A,B,C 的对边分别是 m b,c,且 c o s A c o s B -1 =s i n A s i n 8-2s i n 2c.(1)求角C；(2)若 c=4,2+按=32,求A 5C 的面积.【分析】(1)由题意利用两角和的余弦公式、诱导公式，求得c o s C的值，可得。的值.(2)由题意利用余弦定理求得外的值，可得 A 8C的 面 积 为 炉s i n C的值.解：(1);A B C 中内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 c o s A c o s B-l=s i n A s i n B-2sin2C,即 cosAcosB-sinAsin8=l-2sin2C,即 cos(A+8)=-cosC=1-2 (1 -cos2C),B|J 2cos2C+cosC-1 =0,cosC=-1 (舍 去)，或 cosC=,2(2)若 c=4,2+/=3 2,则由余弦定理可得 c2=6=a2+b2-2a/?cosC=32-2cib*cos-,3ab=16,.ABC 的面积为 时 sin：=4 y.1 9.在平面直角坐标系 xOy 中，A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),圆 M 为ABC的外接圆.(1)求圆M 的标准方程；(2)过点P(7,2)作圆例的切线，求切线方程.【分析】Q)设出圆的一般方程，代入点的坐标，求解即可.(2)设出直线方程，利用点到直线的距离与半径的关系，求解直线方程即可.解：(1)设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+E)，+F=0,4(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),圆 M 为ABC 的外接圆，2 6-D+5E+F=0 8-2 D-2 E+F=0，解得 D=-4,E=-2,F=-20,50+5D+5E+F=0所以圆M 的方程为/+)2-4x-2y-20=0,故圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)占 25.(2)当切线斜率不存在时，切线方程为K=7.当切线斜率存在时，设切线方程为-2=攵(x-7),即-y-7k+2=0.-卜7k+2 _L,1 2由 2=5,解得 k -所以切线方程为y-2=(x_7)即 12x+5y-94=0.综上所述，所求切线方程为x=7 或 1 2/5 y-9 4=0.20.如图，在四面体ABC。中，分别是A。,BO的中点，乙48=/BCQ=90 ,EC=，2AB=,AD=&.(1)证明：平面EFC_L平面BCD；(2)若二面角。-A 8-C为3 0 ,求二面角A-C E-F的正弦值.【分析】(1)由已知可得E F V B D,再求解三角形证明E F V F C,即可得到E F上平面B C D,进一步得到平面E F C J _平面B C D；(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面A C E与C E F的法向量，利用向量公式即可求得二面角A-C E-尸的正弦值.【解答】(1)证明：尸分别是线段A。，8。的中点，尸AB,：Z A B D=9 0Q,：.AB BD,则 F _ L B。，2：A D=&，AB=l,:.B D=(&)2-2=I，又N 8C D=90 ,尸为B O的中点，.尸C=/,V E C=；.EF2+FC2=E C1,即 E F _ L F C,:B D C F C=F,B D、F C u平面 BC D,；.E F _ L平面 BC D,而E F u平面EFC,平面E F C _ L平面8 8；(2)解：由(1)可知，B C D,而 AB E F,则 4 8,平面 BC D,/O B C为二面角。-A8-C的平面角，即/O 8C=3 0。，如图，以8为坐标原点，分别以8。，1 M所在直线为y轴，z轴，以过B且垂直于B D的直线为x轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,1),8 (0,0,0),。(0,1,0),C (返，,0),E (0,),F (0,0),4 4 2 2 2*-AE=(0,y,蒋)，而=(乎，-j,1)，F E=(O,0,y)乙 乙 3 +乙 乙设平面A C E的一个法向量为7=(x,y,z),则f -*1 1m-AEyy-z=O 厂L，取 Z=l,得益=（*，I,1）；-V3 1 1 3m*EC=-px-7ry-T-Z=O4 4 2设平面CEF的一个法向量为局=(a,b,c),则n,EC c=0一*1n,F E 5c=0取。=1,得n=(l,0)。设二面角4-C E-尸的平面角为。，则|cose|=|cos l=|*2I m I Ini=且7二面角A-C E-F的正弦值为 房平2 1.如图，在直三棱柱AB C-AiBiG 中，点。为 4 8 的中点，ZABC=9O ,A B=BC=2,AA1=2 .(1)证明：BC平面A OCi.(2)求点8 到平面AOG的距离.【分析】（1）只需证明BC平行于平面A O G 内直线0 M 即可；（2）先作4 0垂线8”,再证明A”垂直平面A 0G,通过等面积法求解.【解答】（1）证明：连接4 C,交 A G 于 M,连接0 M,因为A B C-A/iG 是直三棱柱,点 0为 4 B 的中点，所以M 为4 c 中点，所以0 M BC,因为8CC平面40 C i,OA/u平面A0 C,所以5 c 平面AOG.（2）解：过 B 作 8_LA0 于 H,连接8 0,因为ABC-4 8 1 c l是直三棱柱，点。为 AiB的中点，所以4、。、3 共线，因为NABC=90 ,所以 BCLAB,又因为AB是 8 H 在平面ABC内投影，所以因为。MB C,所以又因为OMAAO=。，所以BH_L平面AOM,于是点B到平面AOG的距离为BH长度，AB-BB.2-273 广所以 8H=-/2/r-、a=FA B1 V2+（2A/3）2 2.已知直线/：2 x -y+m-1=0 (m 0)被圆C：/+)2+阳-2 1 =0截得的弦长为4遍.(1)求圆C的标准方程；(2)若点P为圆：(x-8)2+产=1上一动点，点。为圆。上一动点，点”在直线丫=4上运动.求|M P|+|M Q的最小值，并求此时M的坐标.【分析】(1)化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理结合弦长为4娓，即可求出，的值，从而得到圆C的标准方程：(2)设 圆C的圆心为C,圆。的圆心为。，半径分别为八，m所以|M P|+|M Q|最小值即废的最小值，设点。关于直线y=4的 对 称 点 为 点 则。(8,8),则I M Q+I M D I的最小值为I D C 1，利用两点间距离公式即可求出夕C|的长，从而求出|M P|+|M Q|最小值，联立直线C。与)=4可求出此时点M的坐标.2解：(1)由/+1产+加)，-2 1 =0,得/+(y+)2=2 1+3 ,2 4所以圆的圆心坐标是C (0,-V)，2,圆 C：x2+y2+my-2 1 =0 (/n0)被直线/：2 x -y+机-1=0 截得的弦长为 4遍，K+m-1 I-2.(I 2 E“)2+(2娓)2=2 1+3-,炳 4解得m=-1或4,又,/%(),./n=4,圆C的标准方程为：N+(y+2)2=2 5.(2)设圆C的圆心为C圆。的圆心为。，半径分别为工 吃,如图所示,：.D(8,0),C(0,-2),n=5,n=,.I M PI+I M 2 I最小值即|M C|+|M O|-n-的最小值，设点。关于直线y=4的对称点为点D,则。（8,8）,连接D C交直线y=4于点M,此时I M C I+I例。|的值最小，最小值为D C=痛 不 施 刊=2V4 1 1：C（0,-2）,O （8,8）,二直线 S的方程为y=-x-2,4，至 j _24联立方程（y-7x ,解得 x-5,y=4 y=4.此时点M的坐标为（善，4）,5：.MC+MD-r-n 的最小值为 2痛-5-1 =2几-6,即I M PI+I M Q I最小值为2而-6,此时点的坐标为（善，4）.5