2021北京陈经纶中学初二（下）期中数学试卷含答案.pdf

2021北京陈经纶中学初二（下）期中数 学一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形 是（）A.5,12,13 B.1,2,752.下列根式中属于最简二次根式的是（）A 瓜 B.7 7 13.下列各式中，运算正确的是（）A.=B.3百 一 百=3C.1,5 2D.4,5,6C.3+&=3 0 D.“2)2=-214.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分/A D C 交 BC边于点E,已知BE=4cm,A B=6cm,则 AD的长 度 是（）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm5.如图，矩形ABC。的对角线AC,3。相交于点O,且 EAC,CE/B D,若 A C=2,则四边形OCC.4D.26.九章算术是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x 尺，则可列方程为()A,-3=(10-x)2B.-32=(10-x)2 C.x2+3=(10-x)2D.x2+32=(10-x)27.如图，平行四边形ABCD的周长是22cm,对角线AC与 BD交于点O,ACAB,E 是 BC中点,AOD的周长比 AOB的周长多3 c m,则 AE的长度为（）A.3cm B.3.5cm C.4cm D.4.5cm8.如图，在给定的正方形A B C。中，点E从点8出发，沿边3 C方向向终点C运动，。尸_ L A E交A 3于点F，以F D，F E为邻边构造平行四边形D E E P,连接C P，则“E E+N E P C的度数的变化情况是（）A.一直减小 B.一直减小后增大 C.一直不变 D.先增大后减小二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.9.若代数式J口 有 意 义，则实数x的 取 值 范 围 是.10.如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A 8的面积分别是9和4,则最大正方形。的面积是.11.如图，数轴上的点A表示的数是1，OB 1 O A,垂足为。，且8 0=1,以点A为圆心.A B为半径画弧交数轴于点C,则C点表示的数为.12.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5,B C=12,则 EF=；1 3 .如图，四边形A B C。是菱形，AC与 BD相交于点。，添加一个条件：，可使它成为正方形.B 区1 4 .如图，四边形A B C。是菱形，点0 是两条对角线的交点，过点。的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为1 2 和 1 6 时，则 阴 影 部 分 面 积 为.1 5 .如图，在菱形ABCD中，Z A B C =60,E为 AB边的中点，P为对角线BD上任意一点,A 3 =4，则 P E+P4的最小值为.1 6 .定 义:对于线段MN和点P,当P M =P N,且 NMPNW120。时，称点P为线段MN”等距点”.特 别 地，当 P M =P N,且 N M R V =1 2 0。时，称点P为 线 段 的“强等距点”.在平面直角坐标系宜 为 中，点A的坐标为（2 后,0）.（1）若点8是 线 段 的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为；（2）若点C是线段Q4的“等距点”，则点C的纵坐标1 的取值范围是.三、解答题：本大题共1 0个小题，共 5 2 分.1 7-2 5 题每题5 分，2 6 题 7 分.1 7 .计算：+/3 -V 1 2 j.1 8 .已知=逐+1，求/一 2%的值.1 9 .下面是小明设计的“作平行四边形A B C。的边AB的中点”的尺规作图过程.已知：平行四边形A B C D.求作：点M,使点M 为边AB的中点.作法：作射线。A ：以点A为圆心，长为半径画弧，交 O A的延长线于点E；连接E C交 AB于 点 所 以 点 加 就 是 所 求 作 的 点.根据小明设计尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明：连接四边形ABCO 是平行四边形，AE/BCAE=,四边形E 8 C 4 是平行四边形()(填推理的依据).A M =MB()(填推理的依据).，点M 为所求作的边A3的中点.2 0.如图，在a4 B C 3 中，E,尸分别在A。，B C 上，J i A E=C F,连结B E、D F.求证：BE=DF.2 1 .如图，在 AA8C中，8。是 AC 垂直平分线，过点。作 AB的平行线交3C于点尸，过点B作 AC的平行线，两平行线相交于点E，连接C E.求证：四边形3ECO 是矩形.2 2 .如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在 图 1 中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;(2)在图2中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,2 夜，石;(3)在图3中,画一个三角形,使它的面积为5.(1)补全图形，并证明四边形8 尸 co是菱形；(2)若 A B=3,BC=4,求四边形B F C O 的周长.2 4.阅读下面材料：学 习 了 平行四边形单元知识后，小东根据学习平行四边形的经验，对矩形的判定问题进行了再次探究.以下是小东的探究过程，请你补充完整：(1)在平行四边形A B C D 中，对角线A C 与 B D 相交于点0.补充下列条件中能判断平行四边形A B C D 是矩形的是(请将所有正确答案前的字母填写在横线上)A.AO3BD B.AC=BD C.AD=DC D.0DAB=0ABC(2)小东进一步探究发现：在通过对“边、角、对角线”研究矩形的判定中，小东提出了一个猜想：”一组对边相等，一组对角均为直角的四边形为矩形.”请你画出图形，判断小东的猜想是否是证明题.如果是真命题，请写出证明过程，如果不是，请说明理由.2 5.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如。2 2 出;+/=(4 )2,那么yla2+2 ah+h2=a+b.如何将双重二次根式 5 2#化简?我们可以把5 2 指 转化为(A/3)2 +(V2)-=(行土 0)完全平方的形式，因此双重二次根式1 5 2-J =J 5 J 得以化简.材料二：在直角坐标系x O y 中，对于点尸(x,y)和 Q(x,y)给出如下定义：若 y =则称点。为点尸的横负纵变点”.例 如：点（3,2）的“横负纵变点”为（3,2）,点（一 2,5）的“横负纵变点”为（-2,-5）.请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点（夜，一 的“横负纵变点”为，点卜3 6,-2）的“横负纵变点”为；（2）化简：布+2尺;（3）已知”为常数（l W a3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.【详解】解：根据题意得：x-3 0,解得：x 3.故答案为：x 3【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键.1 0.【答案】1 3【解析】【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可.【详解】解：两个正方形的面积分别为9和4,它们分别是直角三角形的两条直角边的平方，则根据勾股定理可得：$c =S.+SB=9+4=1 3 ,故答案为：1 3.【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.H.【答案】1 一发【解析】【分析】先根据勾股定理求出A B的长，即为A B与A C的长，再根据两点间的距离公式，即可求出C点表示的数.【详解】由勾股定理可得，A B l2+l2=y/2 VA B=A C,，AC=及，点A表示的数是1,；.C点所表示的数为1 6；故答案为1-夜.【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，是解题的关键.1 31 2.【答案】4【解析】【分析】先由勾股定理求出A C,再得出O C,证 明 即 是 O 3 C的中位线，即可得出结果.【详解】解：四边形A B C O是矩形，A ZB AD=90,O C=AC,AD=B C=2,4 7AB2+BC2=V52+122=1 3，130C=,2.点 E、F 分别是8 0、BC的中点，尸是 B O C 的中位线，：.EF=；OC=,2 413故答案为：一.4【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形中位线是解决问题的关键.1 3 .【答案】Z B A D =90【解析】【分析】根 据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件.【详解】解：由于四边形ABCD是菱形，如果 B A D =9 0，那么四边形A8C0是正方形.故答案为：B A D =90.【点睛】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理.1 4 .【答案】4 8【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答.【详解】如图所示：.菱形A8CD的两条对角线的长分别为1 2 和 1 6,菱形 A8CD 的面积=xl2xl6=9 6,2V 0是菱形两条对角线的交点，菱形A8CD是中心对称图形，A O E G =N O F H,四边形 会四边形 ON CG,四边形O E D M会四边形O F B N ,，阴影部分的面积=g S菱 形ABCD=g X 9 6 =4 8 ,故答案为：4 8.【点睛】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键.1 5.【答案】2G【解析】【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置，根据菱形的性质，知：点A和C关于80对称.则 连 接CE交80于点尸，P即为所求作的点，P E+B 4的最小值即为CE的长.【详解】解：连接A C,.菱形 A B C。，A B =B C=4,A C L B。且平分 8。，二点A和C关于8。对称.则连接CE交6。于点P，此时P E+P A的值最小为C E的长，Z A B C =6 0),5c是等边三角形，E为 边 的 中 点，/.C E 1A B,/为A 8边的中点，:.BE=2,在 RfABCE 中,C E B C2-B E2=无=2 6故答案为2 G.【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理、菱形的四边相等性质，能够正确找到点P的位置是解题的关键.1 6.【答案】.(6,1).91或七 一1【解析】【分析】(1)过点8作轴于点根据“强等距点”的定义可得出N A 5 O =1 2 0。，B0=BA,根据等腰三角形的性质以及3 0度角的直角三角形的性质即可求出线段、8M的长度，再由点8在第一象限即可得出结论；（2）结 合（1）的结论以及“等距点”的定义，即可得出/的取值范围.【详解】解：（1）如图，过点3 .作轴于点 点B 是 线 段 的“强等距点”，Z A B O=1 20 .B O=B A,*BM _L x轴于点 M,O 河=A=O A =G Z OB M Z A B O=60 .2 2在 R/A O B M 中，OM=6 Z OBM=60.；B M=1.点8的坐标为或.点8 在第一象限，:.网 百,1）.故答案为：（6,1）.（2）由（1）可知：线段。4的“强等距点”坐标为（由,1）或（百,1）.是 线 段 的“等距点”，.点C 在点（6,1）的 上 方 或 点 下 方，或 Y-1.故答案为：或T-1.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，3 0 度角的直角三角形的性质，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键.三、解答题：本大题共1 0 个小题，共 5 2分.1 7-25 题每题5 分，26题 7 分.1 7.【答案】3 内 一 走2【解析】【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.【详解】解：原 式=变+6 血+2 62=36 一 2【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键.1 8 .【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.【详解】解：当 =6+1 时，原式=x（x-2）=（75 +1）（7 5-1）=5-1=4【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法以及平方差公式，本题属于基础题型.1 9 .【答案】（1）见解析；（2）BC,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可.（2）连接AC,E B,证明四边形A C B E 是平行四边形即可解决问题.【详解】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示.（2）证明:连接A C E R四边形A B C。是平行四边形，:.AE/BC,AE=BC,二四边形 B C 4 是平行四边形（一组对动平行且相等的四边形是平行四边形）;.AM=MB（平行四边形的对角线互相平分）v点M为所求作的边AB的中点.【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.20.【答案】详见解析【解析】【分析】根 据 平 行 四 边 形 性 质 得 出A D=B C,求出DE/BF,得出四边形。EBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可.【详解】.四边形ABCO是平行四边形，：.AD/BC,AD=BC,JAECF,：.DE=BF,DE/BF,.四边形OE8尸是平行四边形，：.BE=DF.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形OEB尸是平行四边形是解决问题的关键.21.【答案】见解析.【解析】【分析】根据己知条件易推知四边形ABED是平行四边形.结合等腰AABC“三线合一”的性质证得BDXAC,即NBDC=90。，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到回BECD是矩形.【详解】证明：!?是 AC的垂直平分线D E彳一 B，AD=DC,BDCA/NBDC=90由题意知，AB/7DE,ADBE四边形ABED是平行四边形AD=BE,ADC=BE,又 ACBE即 DCBE四边形BECD是平行四边形四边形BECD是矩形【点睛】此题考查等腰三角形的性质，矩形的判定，解题关键在于得到四边形A B E D是平行四边形.22.【答案】见解析.【解析】【分析】（1）画一个三边长为3,4,5的三角形即可；（2）利用勾股定理画出三角形即可；（3）画一个边长为而,可,而的直角三角形即可.【详解】（1）如图所示；（2）如图所示;【点睛】此题主要考查了作图与应用作图.本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决.23 .【答案】（1）见解析；（2）1 0【解析】【分析】（1）依题意补全图形，先证四边形BFCO是平行四边形，再由矩形的性质得出O C=O B,即可得出结论；（2）由勾股定理求出A C=5,得出O C的长，由菱形的性质得出8 F=C F=O 8=O C=3,即可得出答2案.【详解】解：（1）补全图形如图所示:：B F/AC,CF/B D,：.四边形B F C O是平行四边形，又 四边形A8 C。是矩形，/.O C=O A -A C,OD=OB=B D,AC=B D,：.O C=O B,，四边形BFCO是菱形；（2）四边形4 8 C。是矩形，A ZAB C=90 ,AC=7AB2+BC2=A/32+42=5，15，OC=A C=,2 2 四边形BFCO是菱形，5:.B F=C F=OB=OC=-,2二四边形B F C O的周长=4 X -=1 0.2【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键.2 4.【答案】（1）B；（2）猜想：是真命题【解析】【详解】（1）：AC=B D,ZDAB=ZAB C,.平行四边形ABCO是矩形；故选2;（2）是真命题作图：证明：连接AC,在四边形ABC。中，已知AB=CD,N3=ND=90。，.ACD四，A B C,（或者通过勾股定理），AD=BC,二四边形ABC。是平行四边形,:=90二平行四边形ABCO是矩形.2 5.【答案】（1）（3,-百）；（-373,2）（2）75+72（3）（-逝）【解析】【分析】（1）根 据“横负纵变点”的定义解答；（2）根据材料一，模仿解答；（3）先化简加得到点M的坐标，再根据点“是 点 的 横 负 纵 变 点”【小问1详解】vV 2 0-.点（虚,一百）的“横负纵变点”为（0,G）；,-3 6 0，点卜3在一2）的“横负纵变点”为（-3点2）；故答案为：（立词;（-373,2）,【小问2详解】,求 出 点 的 坐 标.g +2加=2+闽=逐+血【小问3详解】v a 2,*0 W c i -1 4 1,*!u 1-1 4 o+|ja-l-10=拒:.M q五 四,/2 0,故答案为：卜3）【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，考核学生的计算能力，计算时注意负数的绝对值等于它的相反数.2 6.【答案】（1）见解析；（2）OE=EM；BM=垃A E,证明见解析【解析】【分析】（1）如图1,连接。F,根据对称得：X h D E X F D E,再由HL证明R t。尸 G w R t O C G,可得结论；（2）证得N E ）G=T/A O C=4 5 ,则可得出结论DE=EM：过点M作交A8 的延长线于点N,连接BM,证明 D A E g z Y E N M （A 4 S）,由全等三角形的性质得出A E=M N,AQ=EN,则得出A=8 N=MN,证得 B M W 是等腰直角三角形，则可得出结论.【详解】解：（1）依题意补全图形如图1,D图1证明：四边形ABC。是正方形,：.DA=DC9 ZA=ZC=90，,点A关于直线DE的对称点为F,：.LADEq AFDE,：.DA=DF=DCf ZDFE=ZA=90,：NDFG=9C,在 RtADFG 和 RtADCG 中，DF=DC DG=DG：.RtADFGRtADCG(HL),:NFDG=NCDG；(2)DE=EM.V ZADE=ZFDE,ZFDG=ZCDGf：.ZEDG=y ZADC=45,TEM1.DE,A ZMED=90,：.ZEMD=ZEDM=45,：.DE=EM；8M=V2证明如下：如图2,过点M作交A8的延长线于点M 连接 ：/AED+/NEM=9C,ZAED+ZADE=90,4NEM=ZADEf又：/EAD=/MNE=90。,DE=EM,:,DAE/ENM(A4S),:AE=MN,AD=EN,*：AD=AB,:.AB=EN=AE+BE=BE+BN,:AE=BN=MN,ABNM是等腰宜角三角形，BM=72 MN=y/2 AE.【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键.