2021北京五十七中高二（上）期中数学（教师版）.pdf

2021北京五十七中高二（上）期中数 学一.选择题（每题4分，共 4 0 分）1.（4分）复 数 组 的 共 轨 复 数 是（）2 Z-133A.B.-i C.T D.i5 52.（4分）不等式l 1 成立的一个充分不必要条件是（）XA.0 x 1 C.0 x 1 D,无 /?=/（：）,c =/（1）则a,b,c 的大小关系为（）A.b a c B.a c hC.c a b D.b c a6 .（4分）已知圆例的方程为x2 +y 2-6 x-8y =0,过点尸（0,4）的直线/与圆”相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC,弦 长 最 长 的 弦 为 则 四 边 形 A B C D 的面积为（）A.3 0 B.4 0C.6 0D.807.（4分）如图，已知|A 8|=1 0,图中的一系列圆是圆心分别A,8的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3,.n,利用这两组同心圆可以画出以A,8为焦点的椭圆，设其中经过点 用，N,P的椭圆的离心率分别是 e,w，eN,ep,贝(!()A-eM=eN=epB.ep eM=eNC.e.C p D.e”0）,若圆C上存在点尸，使得ZAPB=90,则机的最大值为13.（5 分）已知点p（x,y）是直线Ax+y+4=0（Z0）上一动点，PA P 8 是圆C:f +/-2y=0 的两条切线，A、8 是切点，若四边形R4CB的最小面积是2,则女的值为.2 214.（5 分）如图，椭圆，+当=1（人 0）的左、右焦点分别为匕、F2,过a b椭圆上的点P 作 y 轴的垂线，垂足为Q,若四边形耳鸟PQ为菱形，则该椭圆的离心率为.15.（5 分）已知函数/（x）=x/sinox,g（x）=6.coscox,其中0,A,B,C 是这两个函数图象的交点，且不共线.当。=1时，AABC面 积 的 最 小 值 为:若存在AABC是等腰直角三角形，则。的最小值为一.16.（5 分）如图，正方体ABC。-的棱长为2,点 P 在正方形4 5 8 的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足A A,逐 的点尸组成，则卬的面积是一；四面体尸-ABC的 体 积 的 最 大 值 是.三、解 答 题（共 6 小题，满分0 分）1 7.函数/（x）=cos（?rx+）（0 e 7,PQ=PF2,.I PF；|+|P Q|=IK Q|=2,Q的轨迹是以片（-2,0）为圆心，2yli为半径的圆，动 点Q的轨迹方程为（x+2产+y =28.故选：C.【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.4.【分析】根据直线平行的充要条件，直线方程的求法以及倾斜角与斜率的关系，逐项求解.【解答】解：“直线，nr+y=1与直线x-/ny=l互相垂直”的充要条件为,X1 +1X（-M）=0,故机可取任意实数，故“加=1”是“直 线 尔+y=1与直线x-冲=1互相垂直”的充分不必要条件，故错误；直线o r+2 y +6 =0与直线x +(a-l)y +Y-l =O互相平行，则，解得 =T,故正确；m 矿-i)6经过点(1,1)且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为：-+=1 ,y =k x,将(1,1)代入得x +y -2 =0,或a ay=x,故错误；直线/的方程为底;-y s i n 0 +2 =0 ,斜率上=t a n c =qe(fo,-6 J 6,+o)，s i n 6 =0时，倾斜角为工，所以s i n。2直线/倾斜角a的范围是，争，正确.故选：B.【点评】本题考查命题真假的判断方法以及直线平行与垂直的充要条件，直线的倾斜角与斜率的关系等，属于中档题.5.【分析】利用函数f(x)的解析式以及函数的周期性和奇偶性，将a =/(5),6=心,c =/(-|)进行转化，然后求出数值比较即可.【解答】解：因为当x e(0,l)时，f(x)=2x+x,又f(x+2)=f(x),且/(冗)为奇函数,所以/(5)=f(3)=f(1)=0 即 a =0,/,=/(1)=25+10，故6 0,c=f(-)=-./(|)=-心=-2；-g 0,故c a c.故选：A.【点评】本题考查了函数值大小的比较，涉及了函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是将自变量转化到(0,1)内求解.6.【分析】根据题意，把圆用的方程化为标准方程，求得圆心坐标与圆的半径，结合直线与圆的位置关系可得AC,的值，进而分析可得答案.【解答】解：圆M:Y+y 2-6 x-8 y =0可化为(x-3)2+(y-4)2=2 5,其圆心为(3,4),半径/MS,可得点P(0,4)在圆内.过点P(0,4)的 最 长 弦 为 圆M的直径，则|DB=1 0 ,最短的弦为过P与直径OB垂直的弦，且|M P|=3,CA=2 1 2 5-9=8 ,又由 A C _ L 3。，则四边形 A B C D 的面积 S =2 xSM K=-x A C x B D =40；故选：B.【点评】本题考查直线与圆相交的性质，关键是求出AC和即的长度以及两者的位置关系，属于基础题.7 .【分析】通过数格子，得到焦半径c,在分别求出过P,M,N的椭圆的长轴2”，根据椭圆的离心率e =,a求出椭圆的离心率，再比较其大小.【解答】解：通过数格子，得到椭圆的焦距一定为1 0,即2c=1 0,解得。=5一下是各点的对应表：【指经过该点的圆的半径】以A为圆心的圆的半径以3为圆心的圆的半径对 P:1 3 3对 M:3 1 1对 N:5 7所以由椭圆的第一定义得到：对过尸点的椭圆：|9 4|+|依|=2=|3 +1 3|=1 6,a=8,e=-=-a 8 5对过M 点的椭圆：|M 4|+M 8|=2=|3 +1 1|=1 4,a=7,eM=-=-a 7c S对过 N 点的椭圆：|A M|+|B|=2 =|5 +7|=1 2,a=6,eN=-=-a 6所以显而易见：ep eM 8 =2 F 4,作P M A.A B,垂足为令从而得至U P/-r=4 P/-(6-r)2,求出R 4,进而 求 出,由二次函数的性质求解PM的最大值，即可得到答案.【解答】解：由已知，直二面角a-A B-4，且A 3为平面a和平面Q的交线，因为 D&/3,所以。AU?，CBt/3,又 C B L A B,所以 D 4 _ L a,CB a,则AMD与A P B C是直角三角形，又 Z A P D =NBPC,故又 A O =5,8 c=1 0,所以 P 3 =2 P 4,作垂足为M,令在两个R t A P A M和R t A P B M中，PM是公共边且P 8 =2%,所以 P A?/=4P A2-(6-r)2,解得 1 2-4/,所以 P M =J 1 2 4 7 =一(+2)2+1 6 ,则 的 最 大 值 为4,所以AM5面积的最大值为S =,x 6 x P M x 6 x 4 =1 2 .2 2【点评】本题考查了直二面角的理解与应用，面面垂直的性质定理的应用，三角形相似比的应用以及平面角几何中边角关系的运用，二次函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.1 0.【分析】将方程中的x换为-x,y换为-y,方程不变，判断出对；通过将方程中的x,y互换方程改变，判断出错；由方程上的点的坐标有界判断出对，错.【解答】解：对于，将方程中的X 换成-X,y 换成-y 方程不变，所以曲线C关于X 轴、y 轴、原点对称，故对对于，将方程中的x 换为y,y 换为x 方程变为y4+丁=1 与原方程不同，故错对于，在曲线C上任取一点%),x：+y；=l,题|,1,，片,片，.,.片+y：.x：+y：=l ,即点M 在圆/+/=1外，故对，错.故选：D.【点评】本题考查点(x,y)关于x 轴的对称点为(x,-y)；关于y 轴的对称点为(-x,y)；关于原点的对称点(一 x,-y)；关于y=x的对称点为(y,x).二.填空题(每题5分，共 3 0分)1 1 【分析】分类求出椭圆的长半轴长和半焦距，代入椭圆离心率求得实数，”的值.【解答】解：由 演+分 2=1,得。+千=1,m 4若得0 “4,此时a=L，=!一_ 1=g,C=J E E .,m 4 2 4 m 4m 2m则二 =眄亘=也，解得i=8.1 m 22故答案为：2 或 8.【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题.1 2.【分析】根据圆心C到。(0,0)的距离为1 0,可得圆C上的点到点O的距离的最大值为1 2,再由4 4 P B =9 0。，可得P O =A 8 =m,可得办，1 2,则答案可求.2【解答】解：圆C：(x-6)2+(y-8)2=l 的圆心C(6,8),半径为2,.圆心C到 0(0,0)的距离为V 62+82=1 0,圆C上的点到点O的距离的最大值为1 0+r=1 2.再由N A/B =9 0。可得，以4?为直径的圆和圆C有交点，nJW PO=AB-m.故有内，1 2,m的最大值为1 2.【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值是解题的关键，属于中档题.1 3.【分析】先求圆的半径，四边形B 4 C 8 的最小面积是2,转化为三角形P 3 C 的面积是1,求出切线长，再求P C的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值.【解答】解：圆C:f +y2-2y=0 的圆心(0,1),半径是/=1,由圆的性质知：S 四 边WB=2SBC，四边形P A C B的最小面积是2,SBC的最小值S =1 =g 43是切线长)4 g 小 值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，J P+22=45.,左 0,:.k=2【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题.1 4.【分析】根据题意可得尸耳=2x 2cx co s 3()o =2/5 c,根据椭圆定义有尸片+P 鸟=2 +2c=2。，即可求解.【解答】解：根 据 题 意 可 得=大 居=P g =2c,在直角三角形Q O 中，因为。6=2。，FQ=C,所 以/。4 0 =60。,/.PF】=2x2cxcos30=2百。,PFX+PF?=2?c+2c=2a,c 1 e-1:.e=f=-，a V3+1 2故答案为：息 口.2【点评】本题考查了椭圆的离心率，考查了计算能力，转化思想，属于中档题.15.【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积.利用等腰直角三角形的性质的应用求出。的最小值.【解答】解：函数f(x)=&sin o x,g(x)=&c o s o x,其中。0,A,B,C 是这两个函数图象的交点,当(w=l 时，/(x)=/2sinx,g(x)=&co sx.所以函数的交点间的距离为一个周期2万.高 为 夜 注+注&=2.2 2所以：5M8c=3 .2万(1 +1)=2万.如图所示：当口=1时，AA8C面积的最小值为2万：若存在A4BC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,则 至=2.(0.也+也)，co2 2解得。的最小值为王.2故答案为：2肛工.2【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.16.【分析】由已知可得平面区域卬是以A 为圆心，以 1 为半径的圆面，由圆的面积公式求得W 的面积；由题4意可得，当在边AO上时，四面体尸-4 3 c 的体积有最大值，再由棱锥体积公式求解.【解答】解：连接A P,则 A A 1 4 P,：Ay A=2 y%P=亚,AP=1以A 为圆心，以 1 为半径作圆交正方形ABC。所 得,圆，4W 的面积是,X T T XF=；4 4由题意可知，当在边AO上时，四面体尸-ABC的体积的最大值是g x g x 2 x 2 x 2 =g.故答案为：；.4 3【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题.三、解 答 题(共 6 小题，满分0 分)17.【分析】(I)由题意可得且=COS(0+Q),可得0 的 值.由 =cosOrx。+工)，可得与的值.2 2 6(I I)先求得g(x)的函数解析式，由可得x+巳 ,从而可求函数g(X)在 区 间 上 的2 3 6 3 3 2 3最大值和最小值.【解答】(共 13分)解：(I),/=cos(0+cp)的值是巴 (2 分)V =cosS%+q)2万一看=研)+不 可得x()的值是g.(5 分)_11 jr jr(II)由题意可得：/(x +-)=cos(x+-)H)=cos(x+)=-sin TTX.(7 分)3 3 6 2_ 冗 冗 冗所以/(x)+/(x+-)=cos(x+)-sin 7i x=cos xcos-sin rxsin-sin/rx.(8 分)3 6 6 6=cosx-sin4x-sinTX =cos；FX-3sin;rx=/5cos(;rx+M).(10 分)2 2 2 2 3所以一生釉X+2 .6 3 3所以当万x+g =0,即x=g 时，g(x)取得最大值百;当万x+=等，即x=g 时，g(x)取 得 最 小 值-日.(13分)【点评】本题主要考查了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题.18.【分析】(/)证明CDA B ,根据线面平行的性质即可得出8/尸；()建立空间坐标系，求出平面A8C和平面8 b 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；(/)设 C M=t C B,求出AM,和E A/,令 AA/O求出f 的值得出结论.【解答】(I)证明：.AB/C,A B u平面4 组，8 仁平面43E,.8/平面 ABE,又 C D u平面C D E,平面C D E C 平面.CD/EF.(H)取 AD的中点N,连接回V,B N .：A E =DE,.ENLAD.又平面 平面/W C D,平面 4)E C 平面=E N u 平面.ENJL 平面 ABCD.-：A N =-A D =2,AB=4,Z D A B =60,2B N =V22+42-2 X 2 X 4XCOS60=273./.A N2+B N2=A B2,即4 V l.BN.AADE是等腰直角三角形，A D=4,:.EN=2,以N 为原点建立空间直角坐标系N-_yyz,如图所示，则 N(0,0,0),8(0,243,0),C(3,6，0),F(-l,&,2).BF=(-l,-73,2),BC=(-3,-V 3,0),n-BF=0设平面5C E的法向量为=*,y,z),则 .即n BC=0,令 y=G,则 1=1,z=l.于是=(一1,6,1).又平面A B C D的法向量为N E=(0,0,2),_ n-NE 2 也cos=-_ =-产=.|那|阳 2xV5 5由题知二面角A 8C-尸为锐角，所以二面角A-的余弦值为且.5-X-6 y+2z=0,-3x-6 y=0.(I ll)不存在满足条件的点M,使理由如下:因为点M 为线段BC上的动点，设 CM=fC；(O 1).则 M(3 f-3,同+拒,0),A M (3f 5,下 t+5/3 0)E M=(3?3 /3t+(3,2)-3)(3/-5)+(5+6)2 =0,化简得：2/-3/+3=0,方程无实根.【点评】本题考查了线面平行的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题.19【分析】若选择，(I)由正弦定理可得sinA的值，结合b-a =l,可求0 Z A c,可得0 N C 工，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用三角形内角和定2理，两角和的余弦公式可求8 s 8,进而可求s in B,利用正弦定理即可求解a 的值.若选择，(I)利用正弦定理可得sinA的值，由于儿osA=-2,可得范围四 4 ，即可求解Z 4 的值；2 2(I I)由题意利用大边对大角可求0 N C 生，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用两角和的余弦2公式可求8 s 8,进而可求s in B,由于AcosA=-*,可求的值，根据正弦定理可得a.2【解答】解：若选择，(I)因为a=?c,sinC=,由正弦定理可得sinA=.S m C=Y 3,3 14 c 2因为5-a=l,所以a b,可得0 4 4 工，可得NA=工.2 37T T(H)在 AABC中，a=-c,所以a c,，所以0 N C 0,则(%+5,y0)-(x0-5,%)0,即片一2 5 +y；0,将 篙+舌=1 代入可得片-2 5 +2 4(1-篇)0,可得宕，可得或看(x,0),由 丽=2 两，知 P(x,2 y),通过点尸在圆/+y?=4 上，代入求解即可得到轨迹方程.并说明图形.(2)由题意，可知斜率4 存在，设/:y-g =Z(x-l)代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用过点。(1,；)引曲线C的弦他恰好被点。平分，即可求直线的斜率，从而可得直线的方程；(3)设 E(x,y),由题意知/的斜率存在，设/:y =A(x -3),代 入?+丁=1,设 A(M，y j,B(x2,y2),利用韦达定理以及平面向量的基本定理，得 到 函=函+9=(%+%2，,+%，)，又 赤=(乂 )，转化求解顶点石的Q轨迹方程为 x2+4y2-6x=0(0 x (x,0)由。月=2。麻，知尸(x,2 y),.点P 在圆W +y 2=4 上，2.x2+4 y2=4,故点”的轨迹C的方程为三+丁=1 ,4 -(2)由题意，可知斜率及存在，设/:y-g =k(x-l)代入椭圆方程，消去y 可得(1 +4k2)x2-4kQk-)x+(1-2 k)2-4 =0,因为过点。(1,；)引曲线C的弦相 恰 好被点Q 平分，所以 当 与*=1,解得k =_g.此时 (),所以直线/:y-；=-g(x-1),即/:y =-gx +1.(3)设 E(x,y),由题意知/的斜率存在，2设/:y =A(x 3),代入 +y 2=l,得(1 +4k2)x2-2 4k2x+36k2-4 =0,=(-2 4k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)0,得标 (，、2 4k2设 A(X，y),B(X2,%)，则%+=:4攵 2，/c、，/c、，/、“2 4 2 3 -6kX +必=%(%3)+4(-3)=2(%+-2)_6 Z =+4 6-6 k=十以二.四边形O A E B为平行四边形，-.2 4 F 一6k。七=。4 +。8 =(%+X 2，乂+必)=(干 记，帝记)又 O E =(x,y),2 4k2-X ,I 1+4 公 4，-6ky=7 7 T1 +4 公消去攵得，x2+4），-6 x =0 ,k2 -,50八 v x v 一8，3Q顶点E的轨迹方程为d+4 y 2 _6 x =0（0 x/【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.2 2.【分析】（I ）通过题意可写出在a所有自邻集即在4范围内组成的集合.（H）利用配对原则证明对于A“的含5个元素的自邻集3 =%,X”X 3,匕，x5,不妨设 X W 七 匕 七.构造集合 C =”+1-毛，n+-x4,n +1 -X；,n+-x2 +它们是不相邻的集合也是自邻集，这样可得证结论.（I I I）自邻集中最大元素为上的自邻集的个数为4,k=l,2,3.n.几.4,al l_i=h2+h3+-+hl l_l,an=h2+h3+-+bn_l+hn,an=an_,+bn,下面只需要证明：%,a,i.自邻集含有-2,n-,这三个元素自邻集含有-1,这两个元素，不含”-2,且不只有”-1,这两个元素，自邻集只含有-1,，?这两个元素，这样的自邻集只有1个.可 得 勿 与 的 关 系，【解答】解：（I）A4的所有自邻集有：1,2,3,4 ,1 ,2,3 ,2,3,4 ,1,2,2,3 ,3,4 .（I I）证明：对于4“的含5个元素的自邻集8 =占，x2,x3,x4,x5,不妨设X 1 三 三 Z 七因 为 对 于 都 有 若-l eB或x,+l e8,i=l,2,3,4,5,所以W=X+，x4=x5 1,%3=毛+1 或对于集合 C=+1%，n+xt,n+x3,+1 9,n +1 x,）,因为啜X exn,所以啜）?+l-x,n,z =1 2,3,4,5,n+-x5 n+x4 n+x3 n+l x2 +l%,所以c A,.因为工2=占+1，x4=x5-1 X 3=X?+1 或毛=%-1.所以n+l-X j=(+,n+1 -x4=(,n+-Xy)+1 ,n+l-x3=(n+l-x4)+lKM+l-=(n +l-x2)-l,所以对于任意 +1-%+1 w C 或 +1-%-1 e C,i=,2,3,41 5,所以集合C 也是自邻集.因为当”为偶数时，三工+1-忍，所以3/C.所以对于集合4 的含5 个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5 个元素的自邻集与其对应.所以，儿的所有含5 个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.(III)证明：记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为d，k=l,2,3,n.当.4 时，an_t=b2+b3-t F bn_x,a“=a +b3 T-卜 bn_t+bn,显然4=%+2 下面证明：自邻集含有“-2,n-,这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素”后的集合为。因为-1.n-2 D,所以D 仍是自邻集，且集合。中的最大元素是-1,所以含有-2,1,”这三个元素的自邻集的个数为2 T.自 邻 集 含 有 这 两 个 元 素，不含-2,且不只有Z-1,这两个元素，记 自 邻 集 除 之外最大元素为，则2轰弧-3,每个自邻集去掉-1,这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为加，可将此时的自邻集分为-4；含有最大数为2 的集合个数为 ,含有最大数为3 的集合个数为么，含有最大数为-3 的集合个数为2 一.则这样的集合共有2+么+b“_3个.自邻集只含有-1,这两个元素，这样的自邻集只有1 个.综上可得 6“=d+4 +b_3+b“_i+1 d +/+4-3+*+bn_2=an_x,所以所以若几.4,求证：a ,2%.故.4 时，%,2。“_ 得证.【点评】本题为集合与数列的综合类考题，是集合类的新定义，关键理解新定义并通过新定义进行求解.