2021届上海市青浦高级中学高考数学综合练习试卷(一)(含答案解析).pdf

2021届上海市青浦高级中学高考数学综合练习试卷(一)一、单选题(本大题共4 小题，共 20.0分)1.己知数列 0 的前项和Sn=a n2+Zm +c,则数列 即 是等差数列的充要条件为()A.a 芋 Q,c=Q B.a =0,c =0 C.c=0 D.c#02.设函数/(x)=X。一 a x(a 0)的零点都在区间 0,5 上，则函数g(x)=：与函数/i(x)=炉-a 的图象的交点的横坐标为正整数时实数a的取值个数为()A.3 B.4 C.5 D.无穷个(y x3 .若 x,y 满足约束条件x+y Wl,则目标函数z =2x+y的最大值是()(y -1A.3 B.|C.2 D.34 .满足 1,2 a X U 1,2,3,4 的集合X 的 个 数 是()A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.4 个二、单空题(本大题共12小题，共 65.0分)5.设全集U =R,4 =X|2M-2)1,B=xy=I n(l-x),则图中阴影部分表示的集合为6.已知周期为 2 的偶函数f(x),当x 6 0,1 时，/。)=2*1,则/(lo g 2 48)=.7.若对任意s iM x+2/c c os x 2k 2 0恒成立，则实数%的取值范围_.8.若函数/(x)=ta nxI nQ +Ya+产)为偶函数,则。=.9 .己知函数/(%)=/+3-近 二 商 x+鬻为偶函数，则该函数图象与y 轴交点纵坐标的取值范围是.10.不等式|2%+1|+优 一 1|0恒成立，则实数m的 取 值 范 围 是.13 .定义区间躯蠲：编砥L，标 孤1K 司的长度均为疯T，其 中 此 女。已知实数闻相，则满足t t 更 工 的 案 构 成 的 区 间 的 长 度 之 和 为.审一:窗需 一 蔑14 .函数y=ax(a 0,且a片1)在 1,3 上的最大值比最小值大，则a的值是.15.函数/(%)=-1/+/+(巾2 一 )双7n 0)有三个互不相等的零点0,%,不，且与 /(1)成立，则实数m的 取 值 范 围 为.16.已知函数/。)=c os(wr +(3 0)的最小正周期为兀，若函数y=f(x)在 0,a 上单调递减，则。的 最 大 值 是.三、解答题(本大题共5 小题，共 65.0分)17.已知集合4 x|x2 3%10 0,B =xm+2 x 1期 与 圆/外 展 =&有两个不同的交点A，B(1)求m的取值范围；(2)若HU,点，。的 坐 标 为，孰 一 项，求 盛ABC的面积.2 1.记数列 an的前w项和为无,2知Sn=20n 2n+l.(I)求数列 a 4的通项公式；(口)记%=(-1尸log21|9n+4)-孤 数列 匕 的前 项和为,求【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了充要条件、等差数列的判定、递推关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.由S；,=a +b n +c,可得：a1=a+b+c,当nN 2 时，an=Sn-Sn_1=2an a+b,可得：数列 即 是等差数列的充要条件为2 a-a +b=a+b+c,解方程即可得出.解：由&=a n 2 +b n +c,可得：=a+b+c,当n 2 时，an=Sn-Sn_ i=an2+bn+c a(n l)2+b(n 1)+c=2 an-a+b,则数列 a j 是等差数列的充要条件为2 a-a +b=a+b+c,解得c =0.故选C.2.答案：B解析：试题分析：分析：由题意根据函数/(乃=%4 一 a x(a 0)的零点都在区间 0,5 上可得。的范围，然后然后再进行判断.,函数/(x)=x4-a x (a 0)的零点都在区间 0,5 上，又f(x)=x4-a x =x(x3-a)令/Q)=0，,%=0,或 x=如 郎4 a 0 恒成立T.不2F(x)在(0,+8)上单调递增，在(一 8,0)上单调递增且/=F(-l)=0a 1-0 X3-125T.当 =2,3,4,5 时满足题意故 选B得到目标函数z =2 x +y 的最大值.本题考查的知识点是简单的线性规划，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，画出满足约束条件的可行域是关键，4.答案:D解析：1,2 c%c 1,2,3,4 ,知集合“中必有元素1 和 2,并且还有元素3 和 4中的0个，1 个或2个，由此能写出满足条件的集合X.本题考查集合的包含关系的判断及其应用，解题时要认真审题，仔细解答.解：1,2 UX U 1,2,3,4),集合X 中必有元素1 和 2,并且还有元素3 和 4中的0 个，1 个或2 个，.满足条件的集合 X 有 1,2 ,1,2,3 ,1,2,4 ,1,2,3.4 共 4 个，故选：D.5.答案：1,2)解析：试题分析：根据题意求出分别求出集合4 8中x的取值范围，然后根据图示示意做题即可.由题意可知集合A中x 必须满足x(x -2)0即0 x 2,集合8中1 -工必须大于0所以集合8中x 必须满足x 1,图中阴影部分表示集合A中去掉力n B,即关于集合A中4CB的补集故答案为口,2).6.答案：|解析：解：根据题意，/Q)是周期为2的偶函数，且5 l og24 8 6,则/0唯4 8)=/(l og24 8 -6)=f(6-l og24 8)=/(l og2)=/(l og2).又 由 当 0,1 时，/(x)=2X-1,贝!l/(l og2$=1 =1；故答案为：|根据题意，分析可得/(l og2 4 8)=/(l og24 8 -6)=f(6-l og24 8)=f(log2=/(l og2),结合函数的解析式计算可得答案.本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题.7.答案：(1一&,+8)解析：解：不等式s iM x +2kcosx 2k 2 0；设c os%=t,则t G 1,1,原不等式化为/-2kt+2k+l 0在上恒成立，七蓝I 或 灯 2 。或*。；解得1 -鱼 f c 1；实数k的取值范围是(1 -V2,+oo).故答案为：(1 V2,+0).根据同角的三角函数关系，利用换元法设c os x =t,t e -1,1,原不等式化为产一2h+/0 +1 0在-1,1 上恒成立，分类讨论，建立不等式组，即可求出实数k的取值范围.本题考查了不等式的恒成立问题，解题的关键是转化为二次不等式恒成立问题，是综合性题目.8.答案：1解析：解：根据题意，函数/(X)=+Va +小),则x)=t a n(x)l n(x +Va +/)=tanxln x+Va +x2)，若函数/(x)=tanxln(x 4-Va+N)为偶函数,贝ijf(-x)=f(x),B P t a nx/n(x +Va +x2)=t a nx/n(无 +Va +x2)变形可得l n(a)=O,解可得a =l；故答案为：1.根据题意，求出/(一%)的表达式，结合函数奇偶性的定义可得 t e rn%仇(一%+公工 溟)=t t m%+历P)，变形分析可得答案.本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性的定义，属于基础题.4-3-tv-O解析：解：.函 数/。)=/+仙 一 斤 中)+黑 为 偶 函 数，/(-%)=/(%)，b V1 a2=0 /(%)=x2+-。2+1,八，a+2.此函数的图象与y 轴交点的纵坐标为名三把，a+2设a =sina(a 6 则“一/+i _ c s a+i _ 七2 2 a+2 sina+2 cosa tsina=2 t 1 =V1 4-t2s in(a 0)A 2t-1+,4 0 t -.3故答案为0 t.利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a,人的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值.本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出小匕的关系是解决本题的关键，利用换元法求函数的最值，综合性较强.10.答案：(-|,1)解析：试题分析：利用零点分段讨论法能求出不等式|2 x +l|+|x-l|2 的解集.由2 x +l =0,得x =一；由x 1 =0,得x =l.当x 2 1 时，原不等式转化为：2 x +1 +x -1 =3 x 2,解得x|,无解；)当1 x 1 时，原不等式转化为：2 x 1 +%1 =x 2 4,1 x 1.)当x一,时，原不等式转化为：2 无1 +1 x =3 无 x 之.综上所述，不等式|2x+l|+|x-l|2的解集为一|x 1.故答案为：(|,1).11.答案：6解析：试题分析：因为应产徽=轲M=礁 旗 图,为 照 耶.，所 以=已 超，瘴=做 隼 时，藤=酬 含 哪，所以集合，融摩的所有元素之和为6.考点：集合的表示方法；集合中元素的特征。点评：做本题的关键是正确理解新定义。考查了学生的理解能力。属于基础题型。12.答案：m 0,.0 y 0,HP2m+4 y+：对任意y 6(0,1)恒成立，设/(y)=y+；，则/(y)=i-a /(i)=5,2m+4 5,m 4 5故答案为：zn 0 得0 V y VI,然后消去x 后，分离参数机，另一边用单调性求最小值即可.本题考查了函数恒成立问题.属中档题.13.答案：2委 :伽韦斯|解析：试题分析：原不等式等价于 邑 气之M当常融姆或寒喏曲时，原不等式等价于4；察 一：股跚密一地d T 霸朴斯不尊富不韩礴鲁嵋匕队设舞前=姆-加帘叱gM 晶，则.河瑟市=.%-僦 益 卿=蟠-愚”顾。设.翼,礴=(的两个根分别为脸/蹴题-:：选1 1,则满足到前士前的富构成的区间为瞬，喇，区间的长度为颈-谢。当面嘴富,嘘独时，同理可得满足算减.质的富构成的区间为 久即:，区间的长度为局-翁。由韦达定理，“船年=斯斗题开念，所以满足条件的富构成的区间的长度之和为网一阈斗碱-&=j衡+悬 1 国L：满一靛=工考点：本题考查了一元二次方程的根点评：此类问题通常转化为-元二次方程根的问题，难度比较大，关键是掌握一元二次方程中的韦达定理及根的分布14.答案：在或在2 2解析：本题主要考查指数函数的单调性的应用，属于中档题.当a 1 时，y=a 为增函数，当0 a 1 时，y=合为 1,3 上的增函数，在口3 上的最大值比最小值大会3-a =p解得a =在：2当0 a 0,v m 0,解得m I，,:/+%2 =3,故 2|1.当1 工1%2 时，/(I)=一式1 一%1)(1 -2)20，而/(不)=0，不符合题意，当1冗 1 0，X -Xx 0,X-X2 /(I)恒成立的充要条件是f(l)=m2-|0)的最小正周期为兀，若函数y=/(x)在 0,团上单调递减，则2a+g W n,解得a p所以。的最大值是看故答案为：宗函数的最小正周期求出3的知，再根据余弦函数的单调性求出“的取值范围.本题考查了余弦函数的周期性和单调性应用问题，是基础题.17.答案：解：集 合 4=xx2-3x-10 0=x|-2 x 5,B=xm 4-2%2m 1,解得m 3,m 4-2 2m 1当B H。时，？n+2 之一 2,2m 1 5解得TH=3.综上，实数2的取值范围是(-8,3.m+2 2 m-l,当时，bn 4-2 -2 ,由此能求出实2m 1 5数机的取值范围.本题考查实数机的取值范围的求法，考查子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18.答案：（I）证明：方法一：忑 亚=（项+能）后=而 荏=而（四+而）=0，ArC 1 AE,-AC-AF=(砸 +DC)-AF=DC-AF=DC +DF)=0.4 1 c l AF.ArC _L 平面4EF.(6分)方法二：BC _L 平面HE u 平面ABBiH,BC LAE.又AEJ.AiB,4E 1 平面4B C.4道 u 平面&BC,AE 1 ArC.同理可证力F L&C.v AE C AF=A,41。1平面4配.（6分）（H）解：如图，以为AB为x 轴，A。为），轴，A 为 z 轴，建立空间直角坐标系,因为AB=4,AD=3,4 4=5,得到下列坐标：4(0,0,0),8(4,0,0),C(4,3,0),0(0,3,0),4(0,0,5),Bi(4,0,5),G(4,3,5)5(0,3,5).由(I)知，AC=(4,3,5)是平面4后尸的一个法向量.设平面DiBiBD的法向量为五=(x,y,O),则五.瓦瓦=0.BD；=(-4,3,0)，-4x+3y=0.令x=3,y=4,则五=(3,4,0).方 7?、一 的-3X4+4X3+0 X L 5)_ 12V2C 0 S 一 同 砧I-,32+42+0 2 x 2 +32+(-5)2-25.n L Z12 V 2.2 V337y k 2 5 7 2 5 平面AEF和 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 警.(12分)解析：(/)方法一，利用向量方法，方法二，利用线面垂直的性质证明：4 c l z E,AAC 1 A F,根据线面垂直的判定定理，可得力1C1平面4E F；(H)建立空间直角坐标系，求出平面A E E 平 面 的 一 个 法 向 量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEF和平面。1当8。所成的角的正弦值.本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，属于中档题.19.答案：解:(1)设点P坐标为(x,y),由|PA|二 2|P B|,得：J(x+4尸+产=2+1)2 +y 2,平方可得久 2 +y 2 +8%+16=4(x2+y2+2x+1),整理得：曲线E 的轨迹方程为/+y2=4；(2)直线I 的方程为y=fcx-4,依题意可得三角形C。为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为加”=V2,:.k=A/7;(3)由题意可知：。，Q,M,N 四点共圆且在以OQ为直径的圆上,设QCg t-4)，以 OQ为 直 径 的 圆 的 方 程 为 t)+y(y 11+4)=0,即：%2 tx+y2 (1 4)y=0,又M,N 在曲线E：x2+y24上,可得MN的方程为5 4-(1t-4)y-4 =0,(y r IX+2=0WX=2,y+1=0(y=1.直线MN过定点g,-l).解析：本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，注意运用圆上的点的切线方程和切点弦方程，考查化简整理的运算能力，属于较难题.(1)设点P 坐标为(x,y)，运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；(2)由题意可得三角形CO。为等腰直角三角形，运用弦长公式和点到直线的距离公式，计算即可得到所求直线的斜率；(3)由题意可知：O,Q,M,N 四点共圆且在以。为直径的圆上，设Q(t,-4),运用直径式圆的方程，及圆上点的切线方程和切点弦方程，结合直线系方程，即可得到所求定点.(I)由圆方程知：圆心坐标为(0,0),圆半径为3,20.答案:根据直线与圆的位置关系有:n 0?2(2)V 点C的坐标为。(0,-2)点C到直线的距离为埃2又卜可求得后x y=幺所以 ABC的面积为挛.2(I)根据圆的方程得：圆心坐标为(0,0),圆半径为拉,根据直线与圆的位置关系有可得m的范围.(2)根据条件可得：点C 到直线的距离为辿,解析：2然后联立广mu，可求得把的长，从而可得=2 A B C 的面积.21.答案：解：(I)当7 1 =1时，由=2 an 2 n +1,可得%=S =2%2 +1,即有的=1.当n 2 2 时，an=Sn-S n-i =2an-2 n +1-2an_x-2 n +2 -1,即为外,=+2,可 得+2 =2(a _ i +2),显然a n-i +Z 力 0,所以数列 5+2 是首项为3,公比为2的等比数列，则即+2 =3 2 T,即有an=3 -2 吁1-2,n N*；(I I 泡=(-1)-l o g2|(an+4)-i =(-1).l o g2|(3 -+2)-|=(-1)-l o g22 =(-1).n,当 n 为偶数时，Tn=(-1+2)+(3 +4)+(n +1+n)=1n；当 n 为奇数时，Tn 7 n-i +=1(n-1)n=1(n+1)-信n,n为偶数综上可得，Tn=2.1-1(n +l),n 为奇数解析：(I)运用数列的递推式：n =l 时，5 =S,nN 2 时，a n=SnS n _ i，化简整理，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(口)运用对数的运算性质化简可得垢=再对 讨论是奇数和偶数，运用并项求和，计算可得所求和.本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，同时考查对数的运算性质，对数值的奇偶性进行分类讨论求解，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题.