2021届人教a版（文科数学） 推理与证明单元测试.pdf
2021届人教A版（文科数学）推理与证明单元测试（3）1、甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了2、用反证法证明命题：”一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：（l）A+B+C=9 0o+9 0 +C 1 80 f这 与 三 角 形 内 角 和 为1 80 相 矛 盾，4 =8 =9 0。不成立（2）所以一个三角形中不能有两个直角（3）假设三角形的三个内角A.氏C中有两个直角，不妨设4 =3 =9 0。，正确顺序的序号为（）A.（1）（3人.c D.3、德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从我们创造的花园中赶走”，赞赏在1 87 1年提出了集合论的某位数学家，请问是下列哪位数学家（）A.德.摩 根B.高 斯C.欧 拉D.康托尔4、若实数a，b,c满足a+b+c=l,给出以下说法：a,b,c中至少有一个大于3；a,b,c11中至少有一个小于3；a，b,c中至少有一个不大于1；a,b,c中至少有一个不小于4.其中正确说法的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.05、因为指数函数y=罐 是增函数，而=是指数函数，所以函数y=*是增函数，该推理的错误在于（）A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错6、2,二维空间中圆的一维测度（周长）1=2 7 1 r,二维测度（面积）S=n r ,观察发现S=I；三4 32V =-n r .维空间球的二维测度（表面积）S=4兀r ,三维测度（体积）3 ,观察发现V =S.3则由四维空间中“超球”的三维测度Mr,猜想其四维测度亚=2 4 2 4A.2 4 7 1 r B.2 n r c.12nr D.m r7、若自然数”使得作竖式加法+(+1)+(+2)均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：3 2 是“开心数”.因 3 2+3 3+3 4 不产生进位现象；2 3 不是“开心数”，因2 3+2 4+2 5 产生进位现象，那么，小于1 0 0 的“开心数”的个数为()A.9 B.1 0 C.1 1 D.1 28、一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是()A.甲 B.乙 C.丙 D.T9、定义A*8,5*C,C*D,D*A 的运算分别对应下面图中的(1),(2),(3),(4),则图 中(5),(6)对应的运算是()(*(4)国(D(5)的A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D1 0、下列说法中正确的是().A.合情推理就是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程1 1、我国古代数学名著 九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1 +中即代表无限次重复，但原式却是个1+-定值，它可以通过方程l +=x 求得=巨 笠，类似上述过程，则小3+13+7x2()A.5+1 B.3 C.6 D.2 7 22用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数”h 中恰有一个偶数”正确的反设为()A.a,b,。都是奇数B.a,b,c 都是偶数C.a,b,c 中至少有两个偶数D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数1 3、如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.2 1 3(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1 号针移到3 号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(n)=,1 4、在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为*,外接圆面积为S,则立=上.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切2 S2 4球体积为匕，外接球体积为匕，则 乜=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.匕1 5、学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖，；丙说：“A、D两件作品未获得一等奖，；丁说：“是q 乍品获得一等奖”.评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是1 6、观察下列等式：1 6 ,1 7 ,1 9,2 0 ,2 2 ,2 3+=3 9；3 3 3 3 3 3则当机 “且根,w N 时，3 m+1 3 m+2 3 加+4 3 m+5 3n-2 3/?-1 _ /旦 匚 人 田+十 +十 -(最后结果3-3-3-3-3-3用7%,”表示).1 7、方程V-(A:+2)x+l 3 左=0有两个不等实根x”X2,且0 XI 1 X 2 2,求实数k 的取值范围.1 8、已知函数/(x)=l +匕 尸(-2 xW2).(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)作出该函数的图象，并写出该函数的值域.19、设f(x)是R上的函数，且满足f(O)=l,并且对任意实数x,y,有f(xy)=f(x)y(2xy+1),求 f(x)的式.a=4S-120、已知数列 叫 的 前n项和为S”，2-1 ,%=1且 e N*(1)求也 的通项公式0也=h T a b+ab参考答案1、答 案C若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了.本题选择C选项.2、答 案B根据反证法的证明步骤：第一步反设，第二步得出矛盾，第三步下结论，从而可得正确选项。详解根据反证法的证明步骤知：第一步反设：假设三角形的三个内角A.3.C中有两个直角，不妨设A =B =90。；第二步得出矛盾：A+8+C =90+90 +C 1 8 0。，这与三角形内角和为1 8 0。相矛盾,4 =8 =90 不成立第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角；故 顺 序 为 ，故答案选B名师点评反证法是一种简明实用的数学证题的方法，也是一种重要的数学思想，掌握反证法证明的步骤是关键，本题属于基础题。3、答 案D结合数学史和四位数学家的主攻领域,采用排除法和正面分析法相结合即可得到答案.详解对 于A选项:数学家德.摩根主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面做出重要贡献，并且逝世日期为：1 8 7 1年3月1 8日.故A排除；对 于B选项:德国数学家高斯逝世日期为：1 85 5年2月2 3日.故排除B;对 于C选项:瑞士数学家欧拉，1 7 07年4月5日一一1 7 83年9月1 8日.故排除C；对 于D选项:德国数学家康托尔，1 84 5年3月3日一一1 9 1 8年1月6日；集合论的创始人,并且希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：”没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来.”D选项正确.故选:D名师点评本题主要考查数学史，旨在拓宽学生的知识面和激起学生对数学的兴趣.属于基础题.4、答案B分析：根据反证法思想方法，可判定是正确的，通过举例子，可判定是错误的.详解：由题意a，b,c满足a +b +c =l,1则在、中，当-3时，满足a +b +c =l,所以命题不正确；对于中，假设a，b,c三个数列都大于1,则a +b +c l,这与己知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a，b,c中失少有一个不大于1,所以是正确的;1对于中，假设a，b,c三个数列都小于4,贝i j a +b +c l,这与已知条件是矛盾的，所以假1设不成立，贝l j a，b,c中失少有一个不小于4,所以是正确的；综上可知，正确的命题由两个，故 选B.名师点评：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5、答案A6、答 案B3 4由题意可知，四维测度W的导数W，=8n r ,则W=2 n r本题选择B选项.名师点评：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的.二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.7、答 案D根据题意个位数需要满足要求：V n+（n+1）+（n+2）1 0,即 n V 2.3,二个位数可取0,1,2三个数，.十位数需要满足：3 n 1 0,.,.n 3.3,十位可以取0,1,2,3四个数，故四个数的“开心数”共 有3 X 4=1 2个.故 选D.名师点评：本题的关键是解题策，本题可以列举，但是比较复杂，所以可以通过分析得到个位数和十位数的特征，从而得到开心数的个数，比较简洁.8、答 案B由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，.乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.选B.9、答 案B通过观察得到A表示：“0”，B表 示“”，C表 示“1”，D表 示“口”.所 以（5）表 示8*。，（6）表示A*C.故 选B.1 0、答 案D1 1、答 案A由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求 解（舍去负根），可得要求的式子，令个3+43+亡=则两边平方得，得3+8+用点=后,即3+m -m2,解得小=I+13,加-旦 舍去，故选A.2 21 2、答案口“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反面是“自然数a,b,c 中有两个偶数、三个偶数或没有偶数”，也即是“a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”。故选D。1 3、答案 2 11n=l 时，f(l)=l；n=2 时，小盘-2号针，大盘一3号针，小盘从2号针一3号针，完成，即 f(2)=3=2?-1;n =3时，小盘-3号针，中盘一2号针，小盘从3号针一2号针(用f(2)种方法把中、小两盘移到2号针)，大盘移到3 号针；再用f(2)种方法把中、小两盘从2号针移到3号针,完成，则 f(3)=f(2)X 2+l =3 X 2+l=7=2 3-l.同理，可得 f(4)=f(3)X 2+l=7 X 2+l=1 5=2 4-1,，依此类 推,f(n)=f(n-l)X 2+l=2D-l.1 4、答案，内切球半径与外接球半径之比为1:3 ,根 据 球 体 的 体 积 公 式 所 以 体 积 之 比3为 1:2 7.1 5、答案B若A 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若B 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若C 是一等奖，则乙丙正确,甲丁错，符合题意；若D 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意,故一等奖是C.1 6、答案A?-机2e 行.“7 ,8 ,1 0 ,1 1 z 7 ,1 1 x,观察可知：一+=(+)+3 3 3 3 3 32 二(3 x 2 +1 +3 x 4-1)+(.9,有2(4.2)=4 项，3+电+型+乌 +3 3 3 3 3 3 3 3+乌)+(更+型)=(5+)+33 333苧16一31(十=)23一322一3二3+19-317一3有2(8 5)=6 项，因此3/Z+1 +3 机+2 +3m+4+3 机+5 +33求 和33 m+13+33m+23+3 -2 +3 7 1-13 3+3 m+43共有2(“-加)项，利用倒序+3m+5 +333(3根+1 +3-1)(?)=(m+n)(n_m._加.3考点归纳猜想1 7、答案解：因为方程/一(左+2)+1-3 左=0有两个不等实根X”x2,且 0 x i l X 2 0,且 f(l)=-4 k 0,所以0 左.所以实数k的取值范围为 0 左 !5X Y1 8、答案解：当 0W x W 2 时，/(x)=l +=1；X X当一2 x 0 时，,f(x)=l d-=1-A：.所以/(x)=1,0 2,1 x,2 x 0.(2)函数f(x)的图象如图所示,由图象知，f(x)在(一2,2 上的值域为 1,3).y-弋II二2。21 9、答案因为对任意实数x,y,有 f(x y)=f(x)y(2 x y+1),所以令y=x,有 f(0)=f(x)x(2 x x+1),即 f(0)=f(x)-x(x+l).又 f(0)=1,f(x)=x(x +1)+1 =x 2+x +1.2 0、答案。“=2-1；见4 s -1试题分析：由 1 =三工一7,得(2-1)。用=4 S“-1,2n-l当 N 2 时,可得(2 一 3)%=4 5 _,-1,然 后 两 式 相 减 得=兴-,可得 兽 一 为2 n-l 2H+1 2-1各项为1 的常数数列,从而可求得.1b=i 1先得“=而 下,再 放 缩 (2T)然后利用裂项求和可证.详解 由a,=与4 s 一-1，得(2 T)*=4 S,1,2n-当“N 2 时，可得(2 -3)a“=4 s“t 1,两式相减得：(2 +l)a“=(2n-l)a+i,即又4=3,可得=：=1,所以=3 3 2 x 1 1 2 x 1 +1所以#-为常数数列，2n-l所以=所以 a“=2-1.2 一 1 由 勺=2-1,得S“=2,(2 一 1)所以=3当=1 时，7 =1 .2 (-2 (-1)2 n-n所以7；1+-(7+(-)+212 2 3 n n 2 n 23所以GM 时，T/(N*).名师点评本题考查了用放缩法和列项求和法证明不等式，属中档题.2 1、答案:：可以利用综合法、分析法证明不等式.详解法一综合法.Va+b+c=O,/.(a+b+c)2=0.上式展开，得 ab+bc+ca=-2./.ab+bc+caO.法二分析法.Va+b+c=O,，要证 ab+bc+caO,只要证 ab+bc+ca 0,a+b 0(a-b)2(a+b)0 a3+b3 a2b+ab2考查目的：不等式证明
