2021届新高考地区优质数学试卷分项解析12 三角函数与解三角形（解答题）解析版.pdf

2021届新高考地区优质数学试卷分项解析专题1 2三角函数与解三角形五、解答题4 6.（2 0 2 1 江苏常州市高三一模）在口4 8。中，Z B A C =-,点 在 边 上，满足2（1）若 N B A D -,求 Z C ；6（2）若C O =2M,AD =4,求 口 抽。的面积.JT【答案】（1）一；（2）1 2 5/2 .【解析】（1）在A B。中，由正弦定理求得s i nN8D4 =、5，得到N B Z M的大小，进而求得N C的大小;2（2）由A B f B D,C D =2 B D,得到A 3=组3。,A C =，根据向量的线性运算，求得3 3u m r 21 X1 1 1 t i n 4 1A D =-A B +-A C ,进而得到A O 2=-AB2+-AC2,求得6C,A B,AC的长，利用面积公式，即可求3 3 9 9解.【详解】（1）在 A 60中，山正弦定理得B DA Bs i n A B A D s i n A B D A山.A B s m 右所 以 6 73,s i n A B D A =-=B D 22万 TC因为N B Z M w（O,乃），所以N 5 D 4 =或/3 9 4 二-,3 39 77 7T 1T当N 5 Z M =时，可得N B =-,可得/。=一；3 6 3ll ll Ji当=2时，可得N B =2,因为N 8 4 C =上（舍去）,2231T综上可得N C=-3（2）因为 A B =6 B D,C D =2 B D ,所以=3 3B C，_ 1 1 2 1由 而=通+丽=通+配=通+-（而-通）=一 通+才乙3 3 3 3所 以 砺2=(2而+L衣)2=3而2+!而2+已 通 而3 3 9 9 9即 A D2=-A B2+-A C2,9 924-AB9又由A =4，可得x（乎B C y+q xB C)2=4 2,解得 B C=6 7 2，则A B =2疝 4。=4 6,所以s.=3钻 3 4。=1 2&.4 7.（2 0 2 1 河北邯郸市 高三一模）设口45。的内角A,3a co s B -b c o s A-c5B,C的对边分别为a,b,c,且满足、t a n A y（1）求-的值；t a n B（2）若点为边A B 的中点，AB=10,CD=5,求 的 值.【答案】4；（2）4 7 5.【解析】3 3（1）由Q C O S 8-COSA=C,带入余弦定理整理可得/一,所以t a n A s i n Ac o s B c la2+c2-b22 ac Vt a n B co s A s i n B b1+c2-a2,b2+c2-a2-b3,带入/-/=即可得解:2 b cC F C E（2）作A3边上的高CE,垂 足 为 瓦 因 为t a nA =,t a nB =,所A E B Et a n A B Et a n B A E,t a n A乂-t a n 34,所以3E =4 A E，因为点为边A 5 的中点且A5=1 0,所以8D =5,A=2,OE=3,再根据勾股定理即可得解.【详解】3(1)因为a co s B-Z 7 co s A =5所以/+C 2lea2 b c3c5B P a2-b2=|c2j tan A _ sin Acos B _a 2actan B cosAsin B b2+c2-a2.-b2hca”tan A a-+c2-b 8c-5,所以-=F 9 T=X -二 4 tan B 一矿 5 2 c2（2）如图，作AB边上的高C E,垂足为反因m为、一 t an AA -C E,t，an Bn CE，所以,t-a-n-A-BEAE BE tan B AE,tan A，又-=4,所以5E=4AE.tan B因为点为边AB的中点，AB=1 0,所以8D=5,AE=2,OE=3.在直角三角形CDE中，8=5,所以CE=J F M =4在直角三角形BCE中，BE=8,所以BC=7 F =4逐.4 8.（2 0 2 1 全国高三专题练习）如图，在口46 c中，A B 1A C，A3=AC=2,点E，尸是线段8C7T（含端点）上的动点，且点E在点尸的右下方，在运动的过程中，始终保持/尸=一 不变，设NE48=84弧度.（1）写出。的取值范围，并分别求线段AE,A/关 于。的函数关系式;（2）求/面 积S的最小值.【答案】(1)0 0 -,A E4血s i nj e+工、I 4 J,AF 号 2GM.【解析】(1)依据直角三角形也接写出。的范围，然后根据正弦定理可得AE，A/关 于。的函数关系式.(2)根 据(1)的条件可得SAEAF，并结合辅助角公式，简单计算以及判断即可.【详解】7 1(1)由题意知o +-|s i n 6+-|4 I 4)I 4)&五 V 2 _ A/2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)A 4F-2.(a T lV c o s V-V O 2 V 2 1sin 8 +7 sin 6 +c o s。c o s。1 4)2 2_ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _ _1 .“l +c o s26sin 2 0+-2 27T当且仅当。=时，取“=”.84 9.(20 21 全国高三专题练习)在口 A8C中，a,b,c分别为角A，B,C的对边，且b c o s-A =c-匚。.2(1)求角8；(2)若口48。的面积为2 6，8c边上的高AH=1，求b,5【答案】(1)(2)b =2 后,c =2.6【解析】(l)化角为边，化简得c 2+a 2-6 2=百a c，再利用余弦定理求角5；(2)由正弦定理算出c,由面积公式算出“，由余弦定理计算人中即可.【详解】解：(1)因为b c o sA =c-a 所以/?:+。-=c-a 2 2 b c 2所以/+。2 一。2 =2 -百，B P c2+a2-b2=y3ac -由余弦定理可得c o sB =一 二，2 ac 2T T因为3 (0,7)，所以3 =.6A H sin Z A H B A/s i n 2 o(2)由正弦定理可得。=-=-=2.sin 5 .兀sin 6因为D A3c的 面 积 为，所以；。5 m 8 =；。=2 6，解得&=4出.由余弦定理可得。2=+,2-2a c c o sB=4 8 +4 2 x2 x46x=28,2则 b=2 a.3TI5 0.(20 21 湖南高二月考)如图，在平面四边形力 版 中，ADL C D./B AD=，2 AB=B 2 4.(1)求 c o s N ADB；(2)若 BC=,荥 C D.【答案】(1)c o sZ A )S =;(2)C D=3 04【解析】(1)A 3。中，利用正弦定理可得sin N A O B，进而得出答案;(2)88中，利用余弦定理可得CD.【详解】(1)A B。中,AB B Dsin N A D B-sin N B A D2，4即 sin/A Q B一正,解得 sin N A DB =3，故 4V 14c o s Z A D B =-4 sin/A DB =J =c o s/CDB4 B CQ 中，c o s Z C D B =BD +CD BC-,即 夜 一(岳)，2BD CD 4 24 CD化筒得(C力一3底)(CO +&)=0,解得CZ)=3夜.5 1.(20 21 山东高三专题练 习)在 A B C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且a(sin A-sin B)+Z?sin B =c sin C.(1)求角C；(2)若c =3,a+b =6,求D ABC的面积.【答案】(1)-；(2)吨.3 4【解析】(1)由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得。角；(2)利用余弦定理和已知a +b =6可求得。力，从而得三角形面积.【详解】C L h C(1)由正弦定理，得sin A =,sin B =sin C =,2H 2 R 2 R又。(sin A-sin B)+Z?sin B=c sin C,所以 Q?+人2 一i=2 2 2由余弦定理，得c o sC 2 abab2 ab故 c o s C =.2又Ce(O,)，所以C =三.(2)由余弦定理，得 +从 一 出;二，联立方程组，得 9=a1+b2-ah+/?=6化简,ab=9。+。=6解 得。=3b=3所 以DAHC的 面 枳S=gsinC =.7T52.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习)在 圆 内 接 四 边 形ABCO中，8。=4,/8 =2/。,/4。8=,求 八4 8面积的最大值.【答 案】最大值为6百【解 析】)TT TT 7T因为四边形A5CD是圆内接四边形，求 得NB=,/=一,得 到NE4C=一,由正弦定理，求得3 3 4A C =2R，在 八4 8中，由余弦定理和基本不等式，求 得4 C D 2 A D C D-A D C D=A D C D 当且 仅 当AD=C时，取 等 号，即4NCOW 24,所 以 SA,e =-2 A D C D s i n D=AD CD O,O 9 8,(A-B3,求5 2并证明sin A 叵.5【答案】/(x)=sin(2x +看(2)c o s二0=但，证明见解析.2 10【解析】(1)由7(0)=g结合9的取值范围可求得9的值，再结合=0可求得出的值，进而可得出函数/(x)的解析式;(2)求出A5的取值范围，由已知条件求出sin(A-B)的值，利用同角三角函数的基本关系及二倍角的降舞公式可求得c o s上2的值，然后利用两角和的正弦公式可证明得出sin A .25【详解】1I-J T j r(1)由/(0)=，得sin =，又金(p 0，结合函数图象可知-,所以。69.2 C D n 5又攵e Z,所以女=1，从而。=与2=2,因此，/(x)=sin(2x+由/（铝培卜sin（A ）=|,j r TT 4.08 4一,所以，0A 8 ,故4=2A+B A-B-1-2 2+4A-B2又y=sinx在(o,)上单调递增，A efo,yj,，一 吟所以sin A sin|工（4A-B y.7t A-B 71.A-B V2（3/io y/io 2小sincos-+cossin-=x-F=.4 2 4 2 2 10 10 J 57T54.(2021 河北唐山市高三二模)在口4 8 c中，角A,8,C的对边分别为“，b,c.C=,AB边上的高为(1)若SABC=2 6,求口4 8。的周长;2 1(2)求*+：的最大值.a b【答案】(1)2/10+4；(2)殍.【解析】(1)由一角形面积公式可得c=4,ab=8,结合余弦定理，可得(a+0)2=4 0,即可得口人6。的周长;2 s in-A+sin A（2）由（1）和正弦定理可得，2 1 =2sin8+smA=I 3 J,转化为三角函数以后利a b 73 百24用辅助角公式化简运算，由0A，根据三角函数的性质求解最大值.3【详解】解：（1）依题意5AAsc=gasinC=g c 6 =2G ,可得c=4,jr因为。=一，所 以 访=8.由余弦定理得+从 _ 加,=。2,3因此（4+6）2 =c?+3必=40,即“+=2疝L故DABC的周长为2加+4.（2）由（1）及正弦定理可得,2 1 2b+a 2b+a 2sinB+sin A+-=-=-=-a h ah 2c J32sinf A|+sin A r.八I 3)_ V7sin(A+),(其中。为锐角,忑 一 石且 tan 6=）2由题意可知0A二，因此，当A+6=工时，2+,取得最大值 叵.3 2 a b 355.（2021 辽宁高三二模）已知在锐角DABC中，角A,B.C的对边分别为a,b,。，口 相。的面积为S,若45=从+。2-/，b=瓜.（1）求 A；（2）若,求DABC的面积S的大小.（在2cos之3+cos23=0,。cos A+cos8=6+1，这两个条件中任选一个，补充在横线上）【答案】（1）A=f；（2）条件选择见解析；S=上 也.4 2【解析】（1）利用三角形面积公式由45=炉+2/,得到426csinA=+c2-a2,再利用余弦定理求解；27 T（2）若选，由2cos2 3 +COS23=0，易得B=1,再 结 合（1）利用正弦定理求得a,再利用三角形面积公式求解：若选，由bcosA+acosB=6 +l，利用余弦定理得易得c=J5+l,再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）因为4s=巨+储,所以 41Z?csin A=+c2-6/2,即 2 sn h2+c2-a2,2-=-2bc 2bc所以 sin A=cos A,故 tan A=1,因为0A 工，2所以A =f.4（2）若选，因为2cos2B+cos28=0，所以 cos?B=L4所以cosB=，.27 T因为0 8 一,2jr所以8 J.3a b由正弦定理 =；，得.或 一.兀，sin A sin B sin sin 4 3所以。=2.所以S=La/?sinC=2逐 5泊（兀一色一色=.2 2 1 4 2若选，因为人cos A+acosB=6 +l,.,b2+c2-a2 a2+c2-b2/r.由余弦定理得人-+a-=J3+1,2bc lac解得c=W +l.S=gbcsin A=g.卡（百+l）si 吟=56.（2021 江苏盐城市高三二模）在Q&a；a=3cos3：asinC=1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是 否 存 在 它 的 内 角ARC的对边分别为a/,c,且5足8 4 1 1(4一。)=6 5亩。，c =3?【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】根据三角形内角和为灯及题干条件，结合两角和与差的正弦公式，可求得角力,7 7 27r TC选择，利用正弦定理可得s i n 8,根据角8的范围，可求得3 =，或8 =.当8 =一时，求得角G3 3 3 27r即可求得面积，当8 =7时，根据正弦定理，求 得。，即可求得面积；jr选择，根据余弦定理.，可求得。二一，即 可 求 得 小b,进而可求得面积；23选择，根据正弦定理，可得a s i n C =c s i n A =一，与题干条件矛盾，故不存在.2【详解】解：在 口4 6。中，3二 乃 一(A +C),所以 s i n 5 =s i n 7r(A +C)=s i n(A +C).因为s i n 5-s i n(A-C)=6 s i n C,所以 s i n(A +C)-s i n(A -C)=V 3 s i n C ,即 s i n A c o s C+c o s A s i n C -(s i n c o s C-c o s A s i n C)=G s i n C,所以 2c o s A s i n C =V 3 s i n C.在UABC中,。(0,%)，所以s i n C w O,A所以c o s A=2T T因为AE(O,;T),所以A =一.6选择：因 为=由正弦定理得s i n B =J s i n A =,因为 3（0,）,T T所以8 =，或8 =,此时口4 3。存在.3 3当 8 =2 时，C =,所以/?=(7c o s A =之 ，3 2 2所以 D A B C 的面积为当6=2时，C =工，所以 匹 也0 =3石，3 6 s i n C所以口 抽。的面积为5,腔=；历5小4 =3乂36乂3*3 =乎选择：因为。=3 c o s 5,所以。=3 x ”,得/+尸=9 =/,6。T T所以。=一，此时口4 8。存在.27 1因为A=一，6所以。=3 c o s =,a =3 x s i n =6 2 6 2所以 A6 c的面积为S BC=a b =处.2 8c3选择：由-=-,得a s i n C =c s i n A =，s i n A s i n C 2这与a s i n C =l矛盾，所以口/。不存在.5 7.(2021 湖南衡阳市高三一模)口4 8。中，角A,B,C的对边分别为。，方，J 且。成等差数列.冗(1)若A =一,求3；3(2)求3的取值范围.冗兀【答案】(1)3 =；(2)0 B =a +c，由正弦定理化边为角，利用A =得。=彳 8,代入可求得B角；（2）由余弦定理表示出c o s B，代入/?=，用基本不等式得C O S 8的范围，从而得3角范围.2【详解】（1）a，b ,。成等差数列，,2/?=。+。2s i n 3 =s i n A+s i n C,当4 =工时，2s i n 8 =s i n工+s i n C,B f J 2s i n B=s i n +s i n|B|=H c o s B +s i n B 3 3 3(3)222 s i n B c o s B =一，2 2 2乃 ,71 n 71 71.o 71 71.n 万I 6；2 3 6 6 2 6 6 32 2（t Z +c Y（2）由余弦定理及处=a +c,八,+,一 亍J 3（c a 1、1 ,当。=c时取等号.2 ac 8 1 a c）4 2TT结合余弦函数的单调性可知：08工一.358.（20 21 辽宁铁岭市 高三一模）在si n?A-（si n B-si n C）2=si n Bsi n C,si n =a si n B ,“si n 8 =b si n（葛这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.口A 6 C的内角A、B、C的 对 边 分 别 为b、c,若JZ+Z?=2c，求A和C.n 5乃【答案】选择见解析，A=,C =.3 1 2【解析】选择条件，利用正弦定理结合余弦定理求出c o sA的值，结合角A的取值范围可求得A的值，由正弦定理结合条件&a+b =2c可得出7 5si n A+sinB =2si n C，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出si n（C-今）=；,由角C的取值范围可求得结果；A选择条件，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出si n 的值，结合角A的取值范围可求得2角A的值，由正弦定理结合条件、历a +b =2c可得出J 5si n A+si n 5=2si n C，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出si n l C-=万1，山角。的取值范围可求得结果;2选择条件，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A的值,由正弦定理结合条件J5Q+Z?=2c可得出V2 sin A 4-sin B=2sin C，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出sinC-看）=g,ill角C的取值范围可求得结果.【详解】（1）选择条件，由 sin?A（sin=sin3sinC及正弦定理知。？一（b-cj=bc,扇*2 _ 2 1 1整理得，b2+c2a2=bc9由余弦定理可得cosA=幺-=2bc 2bc 2又因为A e（O,），所以A=2,又由 J5Q+/?=2C，得 J5sin A+sin 6=2sin C，由 8=至 _。，得0 s in至+sin（空 一C1=2sinC,3 3 I 3 J即+且 0,co s-0,可得sing=,所以，一=一，故4=一.2 2 2 2 6 3以下过程同（1）解答；选择条件，1asin8=Z?sin（g-A）,及正弦定理知，sin A sin B=sin B sin,v fie(0,),则 sin3 0，从而sinA=sin(互 一A1=cosA+s in A,则sinA=G cosA，解得tanA=g，I 3 J 2 2rr又因为Ae(O,)，所以A=,以下过程同(1)解答.59.(2021 山东烟台市高三一模)将函数/(x)=sinx+G cosx图象上所有点向右平移弓个单位长度,然后横坐标缩短为原来的/(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；(2)在口?。中，内 角 的 对 边 分 别 为a,6,c,若sin(W-8卜=；,。=且(5 1力=2 6，求DABC的面积.k O ；【答案】g(x)=2sin(2x+?J,单调递增区间为:-+k7i,+k7T(Z eZ)；(2)工i t叵 或3 6 2272.【解析】/、1 1 ijr jr 冗(1)由题可得g(x)=2sin 2 x +-,令一一+2br2x+2攵 乃即可解得单调递增区间;k 67 2 6 2T T 7T(2)由题可得c=2,B=或8=一，由余弦定理可求得。，即可求出面积.6 2【详解】(1)/(%)=sinx+V3cosx=2sin x+?，/(x)图象向右平移2个单位长度得到y=2sin(x+总 的 图象，横坐标缩短为原来的J (纵坐标不变)得到y=2sin1+高图象，所以8 3 =2511112%+看)，令一工+2 万 2x+2A:,解得一2+x 2 +改 开,2 6 2 3 6所以g(x)的单调递增区间为：一g+Z乃 彳+4乃(Z e Z)(2)由(1)知，c=g w j=2,因为si n(?_ Bko se+=c o s2仁+8)=；,所以c o s仁+B)=g乂因为8 w(0,)，所以6+二=(,一不，o v 6 6 J当COS(2 +B=，时，B+,B-,得5 =2+/-2 x 0 x ax，解得。=3或。=一1 (舍)，2所以 BC-a 3 S,8 r =a cs i n B =-3-V2=.AB C 2 2 2 2法二：(1)过点A作出高交3 C于 尸，即口43尸为等腰直角三角形，Q A B=母,A尸=3尸=1，同理 AFC为直角三角形，v A F =l,AC =y5,1 3:.F C =2,故 5 c =5 E +E C =3,S AB C=-B C -AF =-.(2)在D A 5c中，由正弦定理/一 =,即&_=*L,得s i n C=立，又b =gc =6，s i n 6 s i n C s i n 45 s i n C 5所以NC为锐角,法一：由上，cosC=Vl-sin2C=-1由cos?AO6 g(Z4DB为锐角)，得5 3sin ZADB=71-cos2 ZADB=1 1-=-,V 25 5sinZDAC=sin(ZAD8-ZC)=sinZADB cosZC-cosZADB-sinZC=x-x5 5 5 5 25由图可知：ND4c为锐角，则cosNDAC=J l一sin?NDAC=，所以25.NADB+NADC=7Ttan ZDAC 二sin ZDAC 2cos ADAC 11法二：由上，1 4 3tanC=-,E ll cos?ADB-(ZAD5为锐角)，得 tan NAOS=，2 5 43?.tan ZADC=，故4tan ZDAC=tan(乃-(ZADC+ZC)=-tan(ZADC+ZC)=-tan(ZAZ)C)+tan(ZC)l-tan(ZAC).tan(ZC)4法三：井D为直角三角形，且IA尸|=1,cos4403=1,所以 sin ZADB=Vl-cos2 ZADBAF 5 4 2 3AD=-=-,D F=AD cosZADB=-,CD=-,sinZADC=-sin ZADB 3 3 3 5在DADC中，由正弦定理得,CDACsin ZDAC sin ZADC，故 sinNAC=*25由图可知 ND4C 为锐角,则 cos ZD AC=J l-sir?ND4 c=业5，所以 tan ADAC=25sin ZDAC 2cos/.DAC 1161.（2021 聊城市山东聊城一中高三一模）在口 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c请 在 7cosc=JjcsinB；侬 一a）cosC=ccosA；/十/一,2=孚 板 这三个条件中任选一个，完成下列问题（1）求角C；(2)若。=5,c=7,延长CB到点。，使8 5 4 4 0。=上，求线段BD的长度.7注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.IT【？+案】（1）条件选择见解析，C=一；（2）班）=5.3【解析】（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角C;（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求C，进 而 求 的 长 度.【详解】（1）若选：.+/?（：05。=6。5皿6,*sin B+sin 8 cos C=G sin C sin 3，又 sin B w 0,1 +cos C=/3 sin C，即 sin C-1，又0C7T，兀 c 兀 5n 门 加_ _ C_=10,.BD=CDBC=5.62.（2021 山东滨州市高三一模）在平面四边形ABQD中，A3=4,AO=2正，对角线AC与BD交于点E，E是8。的中点，且 荏=2祝.兀(1)若 N A B D =一,求 B C 的长；4(2)若A C =3,求cos/6 Ao.【答案】(1)BC=-；(2)一旦.2 4【解析】(1)由正弦定理求得N A D B，易得D B，A E，c o s Z D E A,然后在 BEC中由余弦定理得6C：(2)设D E=E B=x,在 A D E和A WB中用余弦定理列方程求得,然后再由余弦定理求得cos A BA D.【详解】解：(1)在 ABO中，A B =4，AD=207 1/ABD =,4由正弦定理得,AB ADsin/ADB sin ZABDA.7 1丁 4 x s i n 所以 s i n Z A D B =12V 27 1因为0 N A D B 所以A E =2.设DE=B E=x,在 ABQ中，由余弦定理得cos /A D B =（22+4/一 422 x 2 夜 x lx在口AE。中，由余弦定理得,cos Z A D B（2V2）2+X2-222 X 2 y2 X X”,4X2-8 f+4所 以 一L 二 S yJ 2 x 4j 2 工解得 x=25/2 在 ABO中，由余弦定理得,所以8。=4拒.c o s Z B A D =AB?+-B D?2x A Bx A D16 +8-32 V 216 7 2-46 3.（2021 山东德州市高三一模）在“s i n C=cs i n（A+g），匕=a cos C+乎cs i n A，a cos B+b cos A 2 c cos A.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.4问题：在口/1 8。中，角A,8,C的对边分别为“，b,c,O A H C外接圆面积为兀，s in 3 =2 s in C,且，求口 抽。的面积.【答案】巫3【解析】先通过选的条件计算出角A,再根据DAB C外接圆面积求出半径，然后利用正弦定理算出a,再根据s in B=2 s in C,得到边的关系，结合余弦定理算出三角形的边，最后利用面积公式即可获解.【详解】若选：因为渴n C（呜），在DA8C中，由正弦定理得s in A s in C=s in Cs in A +g）,因为()/3H IT if c ,L P c-，h=-，3 3 3而“c 1,.1 45/3 2V3 73 2 r)以 S4ABC=匕 csin A=x x x-.若选|：由正弦定理得sin B=sin AcosC+sin Csin A，3道sin(A+C)=sin Acos C+-sin Csin A sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+sin Csin A，3化简得：cos Asin C=-sinCsin A，3因为()。兀，所以sinC V O,所以tanA二 百，因为OVAV TI,所以A=方.其余步骤同.若选：由正弦定理得：sin Acos sin Bcos A=2sin Ceos A，所以$山(4+5)=2$抽。05 24,所以sinC=2sinCcosA，因为()。兀，所以sinC V O,所以cosA=，27 T因为0 4 兀，所以A =；.其余步骤同.6 4.(2 0 2 1 全国高三专题练习)在口4 8。中。，b,c 分别为内角A,B,。所对的边，若2asin A=(2sin6+sinC)b+(2sinC+sin B)c.(1)求 A的大小；(2)求s in B+s in C的最大值.【答案】(1)y;(2)1.【解析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然 后 结 合余弦定理可得的大小；(2)由题意结合(1)的结论和三角函数的性质可得s in 5+s in C的最大值.【详解】(1)由己知，根据正弦定理得力：4&+弓力+仁。一。)。B P a2=b2+c2+bc由余弦定理得/=+/-2 ccos A1 2乃故cos A=-一，所以 A=.2 3(2)由(1)得：sin B+sin C=sin B+sin f-=cos B+sin B=sinf+BU )2 2 13)T T故当8 =一时，s in 3+s in C取得最大值1.66 5.(2 0 2 1 全国高三专题练习)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答./3 cos A(ccos B+bcos C)=asinA；c 2b-c cos C=-2cl tan A+tan B+tan C=A/3 tan B tan C-已知 AB C 的内角A 民 C 的对应边分别为a,b,c,.(1)求 A ;(2)若a =2/+c=J l U,求口4 5。的面积.【答案】(1)A=-;(2)13 2【解析】77第(1)小问：方案中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化筒后求得A =；37T方案首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得A =；3方案利用两角和的正切公式将t a n A+t a n 5+t a n C化成t a n A +t a n(B+C)(l-t a n 8 t a n C),再利用7Tt a n(3 +O=-t a n A对式子进行化筒得到A =；第(2)小问：由余弦定理3/=0 2+0 2-2 0$4,。=2,4 =?可以得到关于九。的关系式，再 结 合 =J T 5可求得0 c=2,最后求得三角形的面积即可.【详解】(1)方案：由已知及正弦定理得g e o s A(s in Ce os 8 +s in Bcos C)=s in2 A所以 5/5 cos A s in(C+8)=s ir j 2 A ,所以 6 c o s A s in A =s in?A又 A (0,7 T),所以 s in A wO,所以 t a n A=V 3,71所以A =3方案：由已知正弦定理得2 cos C s in A =2 s in 8 s in C =2 s in (A+C)s in C =2 s in A cos C+2 cos A s in C-s in C所以 2 cos A s in C-s in C =0,即 2 cos A s in C =s in C,又 Ce(O,乃)，所以 sinC#O,所以cos A2汽所以A=一3方案：因为 tan A+tan B+tan C=V3 tan B tan C所以 tan A+tan 3+tan C=3 tan B tan C=tan A+tan(B+C)(l-tan B tan C)=tanA-tan A(l-tanB tan C)=tan AtanBtanC即 5/3 tan B tan C=tan A tan B tan C又 A,5,C(0/),所以 tan 3 w 0,tan C w 0,所以 tan A=Q,cos A=,27T所以A=一3(2)由余弦定理。2 =+c2-2bccos A,4/=2M=y 得 4=/+/一儿即(h+c)2=4+3 力c,又因为b+c=JiU,所以上;=2所以S ABC=g csin A=66.(2021 广东广州市高三一模)已知DABC的内角A,8,C的对边分别为a,c,且b=3,cos2B=cos(A+C),(2 sin A+c sin C=6 sin B.(1)求3；(2)求口”。的周长.7 T【答案】(1):(2)9.3【解析】(1)应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得B：(2)由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得a+c,从而得三角形周长.【详解】(1)因为cos28=cos(A+C),所以 2cos2 B l=-co sB，(2cosB-l)(cos B+1)=0,71因为0 3 所以(a+c)?=。？+/+2ac=18+18=36,。+。=6，所以+Z?+c=9.67.(2021 山东济宁市高三一模)己知 A BC的三个内角A,B,C的对边分别是，b,c,且bcos C+ccos B=2(2cos A.(1)求角A；(2)若。=2 6，UABC的面积为2&，求b+c的值.7T【答案】(1)A=；(2)6.【解析】(1)由正弦定理把条件反osC+ccos3=2cosA转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A的关系式，从而可得结论；(2)首先可根据解三角形面积公式得出力c=8,然后根据余弦定理计算出。+c=6.【详解】(1)因为 6cosc+ccosB=2z78sA由正弦定理得，sin Bcos C+sin Ceos 5=2sin Acos A所以 sin(8+C)=sin A=2sin Acos A因为0 A JI所以，sinA/O1兀所以cos A=,所以A=23(2)因为DAHC的面积为2 6，所以一besin A=2 G,2因为A=N,所以，儿sin?=2G ,3 2 3所 以 历=8.由余弦定理得，a2=b2+c2-2 Z?ccos A因为。=2 6,所以 1 2 =从+，一给CCOS =S +C）2 3C=（+C）224,所以。+c=6.6 8.（2 0 2 1 浙江高一单元测试）DAbC的内角力，B,。的对边分别为a,b,已知/为锐角,2 2s in B -cos C =-.2 ab（1）求 4（2）若b =3,且8C边上的高为26，求口4 8。的面积.4【答案】（1）7:（2）7百.O【解析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用。表示“，然后把三角形的面积用两种方法表示求得C,从而可计算出面积.【详解】2 2z 一 一（1）由 si n B -co s C =-;J 2 ab si n B lab c o s C=，一 ，2 ab由余弦定理得2 absi n B +c2-a2-h2=c2-a2 所以 2 asi n B =Z?,由正弦定理得2 si n A si n 5 =si n B,4是三角形内角，si n 3。0,1j r所以si n A =,乂力为锐角，所以A =一.2 6(2)由(1)a2-b1+C1-2 h c c o s A=-c2+c2-2 x-c-c-co s=-：c1 a=-c，16 4 6 16 4所以S&8 c=，8 csi n A =，a x2G,即2 _乂 走c?x =L x且,c =4不，2 2 2 4 2 2 4/?=c=V2 1.4=6 csi n A =x V2 1x 4 /7x l =7 7 3 .2226 9.（2 02 1 全国高三专题练习）在口45。中，角A,5,C所对的边分别为a,hc,已知人=1,面积,2s，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.8sin A(1)B=-;6(2)B=C.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答 案】2+V3.【解 析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得sinBsinC=L,再利用所选条件结合正弦定理求出另外两4边，可得三角形的周长.【详 解】由三角形的面积公式可知，S=-absinC,21 ,._ a2-6z/?sinC-，2 8 sin A整 理 得4加inAsinC=a,由正弦定理得：4sinBsinAsinC=sinA,因为出24工0,，4$m3411。=1,/.sinBsinC=,471 I|若 选 择 条 件（1）由B=：得sinB=，则sinC=,6 2 27T又.A,8,C为三角形的内角，.3=C=,6由正弦定理 得 三sin Absin