2021届新高考数学2月大数据模拟卷02（上海专用解析版）.pdf

2021年2月高考大数据精选模拟卷02数学上海卷(考试时间：1 2 0分钟试卷满分：1 5 0分)姓名 班级 考号注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.测试范围：高中全部内容.一、填空题(本大题满分5 4分)本大题共有1 2题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 .写出一个最小正周期为2的奇函数/(%)=.【答案】f(x)=sin/rx【解析】由最小正周期为2,可考虑三角函数中的正弦型函数/(x)=A s i n&x,(A w O),2 7 r满足/(-x)=-s i n 8 =-/(x),即是奇函数；根据最小正周期T =2,可得。=万.C D故函数可以 7(x)=A s i n乃x(A/0)中任一个，可取/(x)=s i n G.故答案为：/(x)=s i n;r x.2 .在复平面内，复数z =i(a +i)对应的点在直线x +y =0上，则实数。=.【答案】1【解析】z=i(a+i)=ai+i2=-l+a i,其在复平面内对应点的坐标为(一1,。)，由题惹有：-1+。=0 ,则a =1 .故答案为：1.4 x+2 y+l=03 .若关于x,V的方程组(a w R)无解，则。=_ _ _ _ _ _ _ _2 x+ay+=0【答案】14 2 1 解析 可得方程组无解，等价于直线4 x+2 y +1 =0和直线2 x+a y +1 =0平行，则一=工-,解得。=1.2 a 1故答案：1.q4.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C =W lo g 2(l+R),其中C为最大数据传输速率，单位为b i s/s；W为信道带宽，单位为H z；士为信噪比。香农公式在5 G技术中发挥着举足轻重的作用.Nq q当7 7 =9 9,W=2 0 0 0 H z时，最大数据传输速率记为G；当六二乡乡乡%W=3 0 0 0 H z时，最大数据传输速率NN记为。2,则 今 为【答案】3【解析】由条件可知 G=2 0 0 0 lo g2(1+9 9)=2 0 0 0 lo g21 0 0 ,、C,3 0 0 0 lo g,1 0 0 0 0 3 ,cC,=3 0 0 0 lo g,1+9 9 9 9 =3 0 0 0 lo g21 0 0 0 0.-=不x 1 0 g m i 0 0 0 0 =3./v o z C,2 0 0 0 l o g21 0 0 2故答案曾：35.设抛物线C:/=4 x的焦点为产，准线/与x轴的交点为M，P是C上一点.若|尸产|=4,则|用上【答案】2币【解析】设P(%y),因为1尸或=4,由抛物线的定义得x+l =4,解得x =3,所以y2=i 2,又M(-1,0),所以了+4=2,故答案为：2不6 .已知函数/(x)=t a n 一 ，若函数g(x)=/(x)+s i n x在区间 一3,间(机=左肛左e Z)上至少有4个零点，则机 的最小值为【答案】3兀【解析】在同一坐标系中作出函数 =-/()和丫=5皿的图像(如图)，观察图像可知y=-/（幻 和y=sinx的 图 像 在 区 间 上 有3个零点，隹区间-3,3%上有4个零点,又m =k i,%Z,二 加23万，；机的最小值为31.故答案为：3 7c.85 917,等比数列 4 的首项为2,项数为奇数，其奇数项之和为记，偶数项之和为 正，这个等比数列前项的积为7；（及2 2）,则7；的最大值为【答案】285 21【解析】设共有2冽+1项，由题意S-=q+小+,+=，S厚=%+q +=，32-165至=4+a,q+生 不4=2+q（a、+a4+4-=2 q=，故。=一,-一、-16 32 2故乙=4出 4 =1 =V x-4_ 4 T，因为2时函数递减，所以 =2 1有最大一值2.故答案为22 28.已知点p是双曲线二 一 匕=1上的动点，耳，F,分别为双曲线的左，右焦点，。为坐标原点.若点M4 12是Nf；P玛的角平分线上的一点，且耳则|0M|=.【答案】2延长P居 交KM延长线于点N,因为点M是 的 角 平 分 线 上 的 一 点，R F.M Y MP ,所以点M为6N的中点，|/W|=|用；又点。为耳心的中点，所以|OM|=g|KN|当点尸在右支时（如 图1），|OM|=g怩N|=；（|PN|P闾），由双曲线的定义可得：归 耳 卜 归 国=2“=4,所以|0 闸=（|殖|一|凰+4）=2,当点p在左支时（如图2）,|OM|=g|E N|=g（|用由双曲线的定义可得：归周一归耳|=2 a =4,所以|OM|=；|E N|=；（|尸制+4|PN|）=2.故答案为：2.9.在平面直角坐标系X 0 y 中，已知直线丁 =如（加0）与曲线y=d从左至右依次交于A，B,。三点.若u i r u t i n直线/：k x-y+3 =0（AwR）上存在点尸满足P 4 +P C =2,则实数k的取值范围是【答案】（-o o,-2 V 2 u 2/2,+o o）【解析】因为直线丁 =如与曲线y=d 都关于原点对称，且都过原点，所以5为原点，A，。关于点Bu i r u u n u i r对称，因为直线/：区一）+3 =0 （ZwR）上存在点尸满足 A+P C=2,所 以 P B=1,3则点3到直线去y+3 =。的距离不大于1，即7=7-解得左4 2&或 攵 2 2 起，5+匕所以实数攵的取值范围是（-8,-20 320,+8）.故答案为：（-8,-20 320,+8）1 0 .集合A =1,2,3,中所有3个 元 素 的 子 集 的 元 素 和 为.答 案 （-2 乂2 一1）4【解析】集合A=1,2,3,中所有元素被选取了 C；T次，.集合A =1,2,3,中所有3个元素的子集的元素和为0（1 +2 +3 +加 业乜亚文出二叵工2 2 4故答案为（2 乂皆一1）.41 1 .若 A6C中，A B =垃 B C =8,Z6=45，D为 A6C所在平面内一点且满足（A B-A D）-（A C A r）=4,则 A O长 度 的 最 小 值 为.【答案】V 2【解析】以点A 为坐标原点，过点A 且垂直于B C 的直线作轴建立如下图所示的平面直角坐标系x Ay,则点 4（0,0）、B（-l-1）,C（7,-l）,设点。（x,y）,则 A 8 =（T,-1）,A C =（7,1）,A D =（x,y）,A B-A D =-x-y AC-A D =7x-y,.（AB.Ar）.（A C A Q）=（-x-y）（7x-y）=（y +x）（y-7x）=4,Q2y150Mx 2n*+1 2 m =/（）=1，则称函数/（）具有性质M，给出下列四个结论：函数y =V-x不具有性质加；X.-X函数y=；具有性质A f；若函数y =l og 8（x+2）,x e 0,4具有性质M，则/=5 1 0；若函数旷=跑 产 具 有 性 质M，则。=5.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】依题意，函数y =/（x）的定义域为。，若对任意玉6。，存在e。，使得/a）（X2）=l，则称函数/（x）具有性质函数y =V-定义域是R,当=0eR时，显然不存在使得/1（玉）/）；：!,故不具备性质M，故正确；y =是单调增函数，定义域是R,y=e X+e X yex-e-x=y/7=l,当且仅当x =0时等号成 2 2立，即值域为L”）.对任意的0,/（%.）!,要使得/（内）/（w）=1，则需/（）1，而不存在“R，使/（与）1,故y=F不具备性质M，故错误;函数y=10gli（x+2）在0用 上是单调增函数，定义域是0刁，其值域为log82,log8（r+2）.要使得其具有M性质，则对任意的石/（与）1。88 2/088（/+2）,总存在w e0 j,/()/(x1)G|log8(r+2)，log82clog8 2,log8(r+2),即.log8(r+2)1log82Nlog82,即3或a v 3,在此条件下，另一方面，y=-的值域是 =3sinx+a3sinx+。值域的子集.43sin 无+。1 V，/七 /斗y=-的值域为4a 3 y4-的值域为3 sin x+6?4。+34a 34要满足题意，只需。+34 4-=1;Q 3 时。一3444a-34。+3 a-34 4故-a+3 a-3a+3 a-3。+3 ,4。+3a v-3 时。+34 1,即ci 3=1,即(”3)(a+3)=1 6,即4 9=1 6,即/=2 5,故。=5.故错误.故答案为：.二、选 择 题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.要使得满足约束条件y x-4,的 变 量 表 示 的 平 面 区 域 为 正 方 形，则可增加的一个约束条件为x+y2A.x+y4B.冗+y 2 4C.x+y6【答案】C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x+y CQSA+COSB+COSC；40”是“函数/(x)=,|在区间(0,+8)内单调递增”的充分必要条件.其中错误的个数是()A.1B.2C.3 D.4【答案】A【解析】解：由/(x)=cosxsinx=sin2 x，得/(x)的最大值为g,故 错误；“V x e R,V 一f+14 0”的否定是-+i o ，故 正确；JT TT AB C为锐角三角形，.4+3 一，则A 一B,2 2y=sinx 在(0,口 上是增函数，s%A$山 仁 一 8)=cosB,同理可得 sinB cosC，sinC cos A,；.sinA+sinB+sinC cosA+cosB+co s。，故 正确；a 4 0,函数/(%)=厂 一国的零点是。，0,结合二次函数的对称轴，可得函数/(力=尸 一 回 在区间(0,+。)内单调递增；若函数f(x)=,一 同 在区间(0,+。)内单调递增,结合二次函数的对称轴,可 得 了0,/.a 0,“aWO”是“函数 力=厂 一 回 在区间（O,+。）内单调递增”的充分必要条件，故 正确.,其中错误的个数是1.故选:A.uU U U T If I zy I U 16.对任意两个非零的平面向量a和夕，定义a（8），=卑cos。，其中。为a和夕的夹角，I川1 1 1 1 1 1 qr 11若两个非零的平面向量a和b满足：。和匕的夹角6 e（0,二）；ab4和。I0 a】的值都在集合 x|x=n e N 中，则a1 O b1的值为（）5 3 1A.B.C.1 D.一2 2 2【答案】B【解析】根据题意,率 1 ,cos8 G（-,1）,ha=-co s0 E所成角的正弦值;（2）求直线D E到平面P 8 C的距离.【答案】(1)叵;(2)旦.10 2【解析】(1)如图所示，设。E的中点为。，8C的中点为F，连接OP,O F ,O B,则OP_LDE.因为平面P D E 平面B C D E,平面PDE 平面=所以OP_L平面J3CDE.因为O B u平面3CDE，所以OP_LOB，所以NQBP即为直 线 依 与平面3CDE所成的角.因为8C=4,则。E=!BC=2,所以OP=OF=6.2在RtZXOBE中，B F =2,O F L B F ,所以O8=J7.在 RtZO3P 中，P B =S产+O B。=J3+7=V15,/a O P 6 向所 以 sin Z.OBP=)=-.P B V10 10(2)解法一：因为点。，E分别为AC,AB边的中点，所以OE BC.因为。E Z平面PBC,8 C u平面PBC，所以。E平面PBC.由(1)知，OPL平面BCDE,又(F_LCE,所以以点。为坐标原点，O E,OF,OP所在直线为工，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 0(0,0,0),P(0,0,V3),B(2,6,o),C(-2,73,0),尸(o,6 o),所以PB=(2,G,6),用=(4,0,0).设平面PBC的一个法向量为“=(x,y,z),由，n-PB=2x+6y-x/3z=0,.得n C B=4x=0 x=0,J =Z,令y=z=l,所以”=(0,1,1).uuu rU M/厂 OF，百几因为。尸=(0,j3,0),设点。到平面P8C的距离为d,则1=可厂=7 5=、E到平面PBC的距离等于V62解法二：如图,因为点 ,E分别为AC，AB边的中点，所以DE/BC.因为D EZ平面PBC，B C u 平面P B C,所以OE平面P8C因为OPL平面BCDE,B C u平面8C Q E,所以O P,5c.又 O F 上 B C，O P c O F =O,所以 3C_L 平面。PF.因为BCu平面PBC，所以平面P8C_L平面OPE.因为平面尸8 C 平面作O G _ L P/交 依 于点G,则0G1平面PBC.在 Rt z OP产中，O P =O F =5 所以 尸 产=后，0 G =0 P 0 F=.P F 2因为点。在直线D E L,所以直线 E到平面P B C的距离等于 底.218.（本题满分14分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分7 分，第 2 小题满分7 分.在锐角 AB C中，内角A,8,C所对的边分别为a也c,若CG 3 kC,8C边上的高4 5 =12,4s i n Z B A C -.5（1）求8C的长：（2）过点A作A d _ A 6，垂足为A，且N C 4 E为锐角，A E =36，求s i n ZA C E.【答案】（1）B C=1 2：（2）s i n ZA C E =.5【解析】(1)由 cco s 3 =h co s C 及正弦定理得 s i n C co s B =co s C s i n B,即 s i n(8 -C)=0,因为3 C -万,),所以8 =。，4 3因为 A6C为锐角三角形，且s i n/8 A C =w，所以co s ZR4 C =g,又因为根据等腰三角形的性质，可得，N B A C =2 N B A D，所以2co s?N B A。1 =|则co s/5 A O =述，所以s i n N 8 A O =,t a n N 8 A O =L,又A )=12，5 5 2所以8 0 =6,所以B C =12；(几、4 3(2)由题意得co s/E A C =c o s-Z B A C=s i n ZB A C =,s i nZ E A C =-,U )5 5A C A B=y j A E P+B D2=6A/5-在 4 C E,因为GE?nMZ+Ac Z ZA E.A C c o s N C A E n g l，C E所以CE=9,由二A Es i n Z C 4 E s i n Z A C E,Ws i n Z A C E =519.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.2 2 _已知椭圆 +W=13 60）的左、右焦点分别为6，B,且 忧 国=2A/3.过椭圆的右焦点F,作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P,且满 足 您！=7.（1）求椭圆的标准方程;（2）若矩形A 5 C D的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】(1)+/=1 (2)8,10【解析】（1）由 忻 用=2 g,可知椭圆半焦距。=百，设|叫=因 为 曾附I=7,所以忸耳|=7 x,在 心 耳外中，|制2=|尸玛+|百国2,即49/=产+1 2,所以x =（,所以2a=8 x =4,解得。=2炉=黯 c2=l,所以椭圆的标准方程 为 三+丁=1.4（2）记矩形面积为S,当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为丫 =依+机,则对边所在直线方程为y=k x-m，另 边所在的直线方程为y =-5兀+，则对边所在直线方程为y =,k k尤2+4 y 2=4联立 即 w”-5 l)a“+i =%.4%4)当=2时，6+4=2的，即/、%、4成等差数列，当“23 时，(一l)a“_ -(-2)a“=q，即2a“=a,i +a“+1.所以 4 为等差数列，即P是夕的必要条件.(3)由a；+a；+1KM,可设q=r c os。,a,“|=r s i n。，所以r w J K L设 4 的公差为d，则 a”,、一%=nd=r s i n -r c os .r s i n。一r c os。_ r s i n 6-r c os 6 门 (4+。”)所以d =-,所以a“=r s m 6-,S 二 山 一n n 2=(+l)cose；(l)sin%wl)2；(l)2 折ME，所以s“的最大值为与 M2+D-