2021届人教A版平面向量单元测试.pdf

平面向量一、单选题1.已知点A(l,1),B(4,2)和向量。=(2,团，若方获，则实数2的值为()23八23A.-B.-C.一D.-3232【答案】C【解析】试题分析：根 据A、B两点的坐标可得A8=(3,1),-：a/AB,.*.2 x 1-3 7 1 =0,2解得2 =,故选C.3考点：考查了向量共线的条件.点评：解本题的关键是掌握两个向量共线的条件，代入两个向量的坐标进行计算.2.A A 8 C 中，A(2,l),8(0,4),C(5,6),贝i J A g-4 C=()A.7 B.8 C.9 D.1 0【答案】C【解析】【分析】先求出两个向量的坐标，利用数量积坐标公式得到结果.【详解】4(2,1),以0,4),C(5,6),UUU UUUA 8 =(-2,3),4 C =(3,5)UUU UU1U A B-A C =-2 x 3+3 x 5 =9故选：c【点睛】本题考查数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.23.设)工=4,若“在方向上的投影为孑，且人在。方向上的投影为3,则“和人的夹 角 等 于()【答案】A【解析】22试题分析：若在方向上的投影为,.|4 co se=,匕在。方向上的投影为3,/.|/?|cos=3,.1 1 4 I,I .c a b 1 .c 71ci,h=4.间=,/?6.cos3 ；r .8=11 3l ab 2 3考点：向量的数量积4.已知向量a与人的夹角为30,且 忖=6,忖=2,则a b等 于（）A.2A/3 B.3C.V6 D.G【答案】B【解析】试题分析：a Z?=W Wcos（a,b）=2 x 6 x曰 =3,故选 B.考点：平面向量的数量积.5.已知点。是ABC内部一点，并且满足2Q4+3O8+5OC=0，OA C的面积为鸟，S.ABC的面 积 为 则 于=A.3 B.31082 4C.-D.5 2 1【答案】A【解析】2OA+3OB+50C=0，：.2（OA+OC）=-3（OB+OC）.设AC中点为M,8C中点为N,则2QW=3ON，0M 3:MN为A BC的中位线，且-=一,ON 2、3 g CMN=13 c 5,3M s 皿，即厂方选A.ABC54试卷第2页，总15页6.已知向量Z=(x,l),b=(4,x),若五不=5,则x的值为()A.1 B.2 C.1 D.5【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可.【详解】解：向量 1=(x,1),b-(4,x)若五不=5，可得5x=5,解得=1.故选：4【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，是基本知识的考查.7.已知向量。=(3,1),。=(2攵一1次)，且(a+b)_L力，则A的值是1 2 2A.-1 B.一或一 1 C.一 1 或一 D.-2 5 5【答案】C【解析】【分析】根据向量坐标的加法运算得到a+b=(2k+2,1+k),再由向量垂直关系得到方程(2k l)(2k+2)+k(l+k)=0,从而解得 k 值.【详解】向量a=(3,l),b=(2k-l,k),.-.a+b=(2k+2,l+k),(a+b)b,.(a+b)-b=O,则(2 k-l)(2k+2)+k(l+k)=0,即5k2+3k-2=0得(k一l)(5k+2)=0,得卜=一1或 卜=1，故选：C.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题;工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.8.下列说法正确的是()A.与向量A5(|A6卜 0)共线的单位向量只 有 网B.向量“与。平行，则”与。的方向相同或相反C.向量A8与向量B A是两平行向量D.单位向量都相等【答案】C【解析】【分析】由单位向量的概念判断A,D;利用平行向量判断B,C【详解】与向量AB(AB O)共线的单位向量有*-,故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若与6中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量A8与区4方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.故选：C【点睛】本题考查单位向量的概念，考查平行向量的性质，是基础题9.已知a =(-1,1)/=(1,0),则a在/，上的投影为()A.显 B.一 立 C.1 D.-12 2【答案】D【解析】【分析】直接利用投影公式计算得到答案.【详解】试卷第4页，总15页-14=(一1,1)/=(1,0),则a在 上 的 投 影 为：W=T =-1.故选：D.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影的理解.10.在 ABC中，AB=2,A C=3,AB AC=5 则 B C=()A.V3 B.77 C.272 D.V23【答案】A【解析】因为 AB A C=|A。cos AB,AC=AB|cos A =6cos A =5,cos=-,由余弦定理可得：6BC?=4。2 +4 8 2-2 4。-450$4=9+4-2乂2乂3 3 3,2A+/=r2 215.已知双曲线C：一一与=l（a 8 0）的右焦点为F,过户且斜率为出的直线交a bC于A、B 两 点,若A尸=4用3,则。的离心率为.【答案】I【解析】【分析】设A（玉,）,B（x2,y2）,将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出,+%=芈丝，,必=二7,由A E=4EB可得X=T%，这几个式子再结*-3a2-b2 3a2-b2试卷第6页，总15页合-化简可得c =1 a【详解】因为直线A8过点R(C,O),且斜率为G所以直线A8的方程为：y=43(x-c)x2与双曲线二CTy2=1联立消去工,得y2+-b2cy+b4=0设 4(%,%),3(/,%)所以，+%2屉2 c _-3b42二7因为A F =4 E B，可得代入上式得 3%=名-3 a 2-力 3 a2 _b24 c 3 o o消去并化简整理得：-c2=-(3 a2-b2)o3 6 o将=c 2 _/代入化简得：c2=a2解之得c =(ac 6因此，该双曲线的离心率e =a 5故答案为：y【点睛】L直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横(纵)坐标之和、积，然后再结合条件求解2.求离心率即是求a与C的关系.1 6.已知a =(l,l),Z?=(l,0),贝!J,一2目=.【答案】V 2【解析】由。_ 给=(-1,1)知卜一2*J(l)2+F=0.三、解答题1 7.已 知|之|二历|=1，W与与的夹角为1 2 0。，求：（1）a *b;航-2之）*（4 a+b）-【答案】（1）awb=|a|b|c o s z=o 乙 （3b-21）（4 1+b）=-8|a|2+10a-b+3|b I-I O-【解析】试题分析：（1）（2）根据向量的运算性质计算即可.解:a,b=|a 11 b|c o s-z=-4;o 乙（2）（3b-2a）（4 1+b）=-8|a|2+10a b+3|b I-I O-考点：平面向量数量积的运算.L 兀18.已知点。是 ABC的外接圆的圆心，A B =3,AC=2。Z B A C-.（1）求外接圆。的面积.（2）求 BO BC【答案】（1）彳5 7 r ；（2）52 2【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出B C.设外接圆的半径为，由正弦定理得2 r=,即s i n ZB AC求外接圆。的面积；（2）设 的 中 点 为,则E O _ L 8 C，则8。-B C =（3E +E 0）-B C,即可求出数量积.【详解】（1）由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOS =32+（2何 一2x 3x 2血x/=5，：.BC=y/5-试卷第8页，总15页2r _ BC:也 R设外接圆的半径为，由正弦定理得 s i n/B A。-0 2所以外接圆的面积为5 =万产（2）设BC的中点为E,则E O _ L 5 C，BOBC=（BE+EOBC=BEBC+EOBC=-BC2=-./2 2【点睛】本题考查正、余弦定理和向量的数量积，属于基础题.19.在平面直角坐标系x O y中，点4（-1,2）,3（4,3）,C（3,6）,AP=AB+AAC（A eR）.（1）试求实数为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上；（2）若点尸在第三象限内，求实数力的取值范围.7 /、【答案】4=-3；1）O【解析】【分析】（i）根据向量线性运算和坐标运算可求得（?P =（4 +4/1,3+4 2）,由此得到P点坐标，由点P位置可知4+4几=一（3+4/1）,进而求得结果；（2）根据第三象限点的坐标的特点可构造不等式组求得结果.【详解】（1）由题意得:A B =（5,1）,A C =（4,4）UUU UL11 UUIUQAP=AB+AACO P =Q A +A P =Q A +A B+X A C =O B +4 A C =（4,3）+X（4,4）=（4 +4 4,3+4/1）.*4+4 4 3+4 4)7P在第二、四象限的角平分线上.-.4+4 l =-（3F 4）,解得：2=-O(2)由(1)知：P(4+4 2,3+4/1)f4+4 X 0在第三象限内 八 八，解得：2-13+4 A o时，求向量“与/7的夹角的最大值.【答案】(I)/(&)=t(AwO)；(n)伙 k 0且+6且 左。2 J；(H D4k7 tT,【解析】【分析】(I)对加 卜 四 4|两边平方，化简后可求得/仕)的表达式.(H)当向量a与的夹角是锐角时，a b Q，即 土 二 0,k Q,再 排 除 同 向 时k的值，可4k求得k的的取值范围.(H I)利用配方法，结合二次函数的性质，求得c o s。的最小值,从而求得。的最大值.【详解】解：()由 已 知,+同=网”一 闽，得：|3+同2=(6,_,，即k2a2+2 k a-b+b2=3a2-6ka-b+3k2b2，又 同=1|=1,Ska b=2k2+2,:.a-b=，即 工0).(H)当向量a与8的夹角是锐角时，4包 0,由(I)可知a电=匚 0.；.Z 0.4k又当向量a与b同向时，a-b=a-h,由(I )可知幺上1 =1,.左=2 6.1 1妹试卷第10页，总15页当向量a与人的夹角是锐角时，攵的取值范围是伙|女0且ZH2+G且左。2石 .（III）设向量a与b的夹角是。，则co0s 丽a b=k1b+=土1 （+n i C r 五i V）+2，当&=J=,即=1时，c o s。有最小值上，又064%且丁=3。在 0,句 上单调递减，IT T T,此 时。有最大值为。=不，即向量a与人的夹角的最大值为7.【点睛】本小题主要考查向量的运算，考查两个向量夹角为锐角时参数的取值范围的求法，考查二次函数型函数求最值的方法，属于中档题.21.在平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点4的坐标为（。,勿，点8的坐标为（C O S 5,s i n o x）,其中/十 且。0.设/（幻 二 以 心 从（1）若。=百，b=l,3=2,求方程/。）=1在区间 0,2可内的解集.（2）若函数/*）满足：图象关于点（：,（）对称，在x =5处取得最小值，试确定。、b和。应满足的与之等价的条件.,（兀1 1兀5兀23兀1 A广【答案】（1）解集为:“丁5，1 ，合 卜（2）见解析.【解析】分析：（1）由平面向量数量积公式、结合辅助角公式可得/（x）=2s i n（2x +g,令（兀、（兀、7 Es i n 2 x+-=力，从而可得结果；（2）“图象关于点 彳,0对称，且在尤=一处/（x）i t 7 1 T n取得最小值”.因 此，根据三角函数的图象特征可以知道，-=+-T,故有3 6 4 2兀 2兀 2 +1=-6 0 4；.0 =6 +3,e N,当且仅当。=E,k eZ时，/（x）的图象关于点T T ,对称;3 7此时a=0,=1,对b讨论两种情况可得使得函数/(x)满 足“图象关于点(三,0)对称，且在x=3处/(x)取得最小值的充要条件”是“b0,a=0时，0=12m+9,6me N；或当 2/。2+。2 5m(8 +。)，设周期丁=1.因为函数/(x)须 满 足“图象关于点,0)对称，且在x=弓处/(x)取得最小值”.6T T Tt T n因此，根据三角函数的图象特征可以知道，-=-+-7,u 一 兀 2 兀 2 4-1故有T=-:一6 69 4，3=6 +3,ne N,又因为，形如x)=a2+bhm(cox+的函数的图象的对称中心都是/(x)的零点,、Tl故需满足sin-co+(/)=0,而当13 J69=6/2+3,N 时,兀因为(6 +3)+。=2 兀+兀 +。,n e N；所以当且仅当。=E,ZEZ时,/.(X)的图象关于点泉0对称;sin(/)-a=0此时，,COS(/)=bJ/+/1试卷第12页，总15页bt Z =0 ,777=1例(i)当b0,a =0时，x)=s泳w x,进一步要使=巴 处/(x)取得最小值,6X则有/7 =s i n/71 CD(67 1 兀二.co 2.kit，故 6 9 =12k 3 ,k E Z.6 2又口0,则有刃=12攵 3,k e N ,因此，由a)=6n+3,ne N可得口=12 m+9,tnw N .=12k-3,k G N(i i)当。0。=0时，fx)-sincox,进一步要使x =4处/(x)取得最小值,6兀、-co6 J.I 7 1 _ ,71._.1 co=Z K K +6 9=12K；(6 )271又口0,则有3=12攵+3,k e N .则有/2=-si n7/、2因 此,由 0,。=0时，co=12 m +9,m e N ；或当/?=)可以求_ 2兀出:/(X)的周期T=L ;单调区间(利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得)；值域(-正 +b1 a1+。2 )；对 称 轴 及 对 称 中 心(由=A乃+:|可得对称轴方程，由(y x+e =z万可得对称中心横坐标.2 2 .(本 题 满 分1 4分)设 函 数/(x)=m n,其 中 向 量/n =(2 c o sx,l),n=(c o sx,5/3 si n2x),X E R.(1)求/(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在ABC中，。、b、。分别是角A、B、C的对边，已知/(A)=2,b=l,ABC的 面 积 为 立，求 一山一的值.2 sin B+sin C【答案】(1)-+k7T,+k7T,k&Z;6 3 g c=2sin B+sin C【解析】试题分析：(1)根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式可得/(x)m-n re 27r 7i 37r2sin(2x+生)+1 ,故周期丁 =乃，再由三+2人乃2工+2 二+2女乃，2 2,6 2 2 6 2可得单调减区间为 三+版，至+上 乃 ，左e Z ；(2)由/(A)=2,可 得4=工，6 3 3=hcsnA=xl2 2V|_ V3=c=2,由 余 弦 定 理 可 得 /=+02-2bccosA=3=Q=g,再由b _ c _ a _ 43s i s i 6?s i 嫉 73T/7+c=Z?=2sin B,c-2sin C,故-=2sin B+sin C试题解析：(1)/(x)=m-n=2cos2 x+V3 sin 2x=73 sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x+)+1 4 分62万.函数/(x)的最小正周期T=寸=7 5分令2 +2kn 2x+2k7i,k&Z,2 6 2TT 27r解得一+左1 W x W +k兀，k s Z6 37T 27r 函数/(x)的单调递减区间是+Z)，+k C,k e Z 7分6 3(2)由/(A)=2,得2sin(2A+)+l=2,即sin(2A +工)=6 6 2在aAB C中，0 A ,2 4+re/=573r，得A =71 9分6 6 32V 12=32X11XCX1-2-Ocsin A2试卷第14页，总15页 由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3,:,a=6 12 分由 一=一=一=,得b=2sinB,sin B sinC sin A J3c=2sin C2i=2sin B+sinC14分考点：三角函数性质及解三角形