2021年高考真题——数学（全国甲卷）（文科）.docx

2021年高考真题数学（全国甲卷）（文科）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 知识点：交集答案：B解析：，故，  故选B.2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是      （ ）A. 该地农户家庭年收入低于 万元的农户比率估计为B. 该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计为C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 万元至 万元之间知识点：频率分布表与频率分布直方图频率分布直方图中的众数、中位数和平均数答案：C解析：因为频率直方图中的组距为，所以各组的直方图的高度等于频率样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值该地农户家庭年收入低于 万元的农户的比率估计值为，故A正确；该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计值为，故B正确；该地农户家庭年收入介于 万元至 万元之间的比例估计值为，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元，超过 万元，故C错误综上，给出结论中不正确的是C故选C  .总结：本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值注意各组的频率等于.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 知识点：复数的乘法复数的除法答案：B解析：，故选B .4. 下列函数中是增函数的为（ ）A. B. C. D. 知识点：函数单调性的判断答案：D解析：对于A，为上的减函数，不合题意，舍对于B，为上的减函数，不合题意，舍对于C，在为减函数，不合题意，舍对于D，为上的增函数，符合题意，故选D5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）A. B. C. D. 知识点：点到直线的距离双曲线的渐近线答案：A解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：故选A .6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录表的数据的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为  （ ）（）A.  B.  C.  D. 知识点：指数与对数的关系对数的运算性质答案：C解析：由，当时，则故选C.7. 在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A. B. C. D. 知识点：三视图立体图形的直观图的画法答案：D解析：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选D.8. 在中，已知，则（ ）A.  B. C. D. 知识点：余弦定理及其应用答案：D解析：设，结合余弦定理：可得：，即：，解得： （舍去），故故选D .总结：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：已知三角形的三条边求三个角；已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形9. 记为等比数列的前项和若，则（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：等比数列前n项和的性质答案：A解析：为等比数列的前项和，成等比数列， 故选A .10. 将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：古典概型的概率计算公式古典概型的应用答案：C解析：将个和个随机排成一行，可以是：，共种排法，其中个不相邻的排列方法为：共种方法，故个不相邻的概率为，故选C .11. 若，则（ ）A. B. C.  D. 知识点：同角三角函数的商数关系同角三角函数基本关系的综合应用同角三角函数的平方关系二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：A解析：，解得，故选A .总结：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出12. 设是定义域为的奇函数，且若，则（ ）A. B. C. D. 知识点：函数奇偶性的应用抽象函数的应用函数求值答案：C解析：由题意可得：，而，故故选C .总结：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键13. 若向量满足，则 .知识点：向量的模向量的数量积的定义答案：解析：，故答案为14. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为 .知识点：圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积圆柱、圆锥、圆台的体积答案：解析：故答案为 15. 已知函数的部分图象如图所示，则 知识点：由图象（表）求三角函数的解析式答案：解析：由题意可得：，当时，令可得：，据此有：，故答案为16. 已知为椭圆：的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 知识点：椭圆的对称性椭圆的标准方程椭圆的定义答案：解析：方法一：由题意得点关于原点对称且四边形是矩形，故四边形的面积为.方法二：点关于原点对称且四边形是矩形.在中，由得则 四边形的面积为.17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计甲机床乙机床合计(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少(2) 能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异附：知识点：独立性检验及其应用频数与频率频数分布表和频数分布直方图答案：(1) 甲机床生产的产品中的一级品的频率为，乙机床生产的产品中的一级品的频率为.(2) ，故能有的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异解析：(1) 略(2) 根据给出公式计算即可.18. 记为数列的前项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.知识点：数列的前n项和等差数列的定义与证明答案：数列是等差数列，设公差为，当时，当时，满足，的通项公式为，是等差数列解析：在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，(1) 求三棱锥的体积；(2) 已知为棱上的点，证明： .知识点：空间中直线与直线的位置关系异面直线垂直棱柱、棱锥、棱台的体积答案：(1) 如图所示，连结，由题意可得：，由于，故平面，而平面，故，从而有，从而，则，为等腰直角三角形，.(2) 由的结论可将几何体补形为一个棱长为的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而解析：(1) 首先求得的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2) 将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论总结：(2) 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化20. 设函数，其中.(1) 讨论的单调性；(2) 若的图象与轴没有公共点，求的取值范围 .知识点：导数与单调性导数中不等式恒成立与存在性问题利用导数解决函数零点问题答案：(1) 函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.(2) 因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（）中函数的单调性可得，故，即解析：(1) 求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性(2) 根据及（）的单调性性可得，从而可求的取值范围总结：(2) 不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化21. 抛物线的顶点为坐标原点焦点在轴上，直线交于，两点，且已知点，且与相切(1) 求，的方程；(2) 设是上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由知识点：圆的定义与标准方程抛物线的标准方程抛物线的定义直线与圆的位置关系及其判定答案：(1) 依题意设抛物线，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为所以的方程为；(2) 设，若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的直线为又，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理，所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切解析：(1) 根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；(2) 先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1) 将的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点知识点：参数方程和普通方程的互化简单曲线的参数方程极坐标和直角坐标的互化圆与圆的位置关系及其判定与圆有关的轨迹问题答案：(1) 由曲线的极坐标方程可得，将代入可得，即即曲线的直角坐标方程为；(2) 设，设，则即故的轨迹的参数方程为（为参数）,曲线的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为，则圆心距为，两圆内含，故曲线与没有公共点解析：(1) 将曲线的极坐标方程化为，将代入可得；(2) 设，设，根据向量关系即可求得的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得总结：(2) 本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解23. 已知函数(1) 画出和的图象；(2) 若，求的取值范围知识点：函数图象的平移变换绝对值的概念与几何意义函数中的恒成立问题答案：(1) 可得画出图象如下：画出函数图象如下：(2) ，如图，同一个坐标系里画出图象，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，解析：(1) 分段去绝对值即可画出图象；(2) 根据函数图象数形结合可得需将向左平移，再可求得过时的值总结：(2) 本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图象数形结合求解