化工工程师-公共基础-高等数学-无穷级数.docx

化工工程师-公共基础-高等数学-无穷级数单选题1.级数满足下列什么条件时收敛()。2017年真题A.B.C.发散D.an单调增且 正确答案：D参考解析：级数收敛的条件为绝对值1/an单调递减且即an单调递增且单选题2.幂级数的收敛域是()。2019年真题A.1，1B.（1，1C.1，1）D.（1，1） 正确答案：A参考解析：|x|1时，因此收敛半径为1。当x1时代入级数得，为交错级数，满足莱布尼茨条件，收敛；当x1时代入级数得，为交错级数，满足莱布尼茨条件，收敛；因此该级数的收敛域为1，1。单选题3.设an（11/n）n，则数列an是()。2014年真题A.单调增而无上界B.单调增而有上界C.单调减而无下界D.单调减而有上界 正确答案：B参考解析：判断，等价于判断，因为所以又故数列an单调增且有上界。单选题4.正项级数的部分和数列有上界是该级数收敛的()。2013年真题A.充分必要条件B.充分条件而非必要条件C.必要条件而非充分条件D.既非充分而又非必要条件 正确答案：A参考解析：正项级数的部分和Sn构成一个单调增加（或不减少）的数列Sn。由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有上界。单选题5.级数()。2014年真题A.当1p2时条件收敛B.当p2时条件收敛C.当p1时条件收敛D.当p1时条件收敛 正确答案：A参考解析：条件收敛，即发散，收敛。已知发散，故0p11。所以当1p2时，级数条件收敛。单选题6.下列级数中，条件收敛的是()。2012年真题A.B.C.D. 正确答案：A参考解析：因条件收敛，应选A项。而和绝对收敛，的一般项不趋近于零，发散。单选题7.下列级数中，发散的是()。2018年真题A.B.C.D. 正确答案：C参考解析：A项，因为级数的前n项和为求极限得所以级数收敛。B项，p级数当p1时收敛，当p1时发散。因为B项中p3/21，所以级数收敛。C项，级数的一般项如果不趋于零，则该级数必定发散。计算得因此C项对应的级数发散。D项，为一个交错级数，又随着n的增大，其值越来越小，且利用莱布尼兹定理知级数收敛。单选题8.若级数收敛，则下列级数中不收敛的是()。2011年真题A.B.C.D. 正确答案：D参考解析：因为级数收敛，故因此，故不收敛。单选题9.级数的收敛域是()。2014年真题A.（1，1）B.1，1C.1，0）D.（1，0） 正确答案：C参考解析：采用排除法求解。当x0时，原级数可化为级数是发散的，排除AB两项；当x1时，代入可知级数是交错级数，收敛。单选题10.幂级数的和函数S（x）等于()。2017年真题A.exB.ex1C.ex1D.cosx 正确答案：C参考解析：考虑到为ex的展开式，单选题11.下列幂级数中，收敛半径R3的幂级数是()。2013年真题A.B.C.D. 正确答案：D参考解析：幂级数收敛半径A项，B项，C项，D项，单选题12.设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间是()。2011年真题A.（2，2）B.（2，4）C.（0，4）D.（4，0） 正确答案：C参考解析：由于幂级数的收敛半径为2，故则因此需满足|（x2）/2|1，即x（0，4），其收敛区间是（0，4）。单选题13.幂级数在|x|2的和函数是()。2016年真题A.2/（2x）B.2/（2x）C.1/（12x）D.1/（12x） 正确答案：A参考解析：根据和函数的计算公式，计算得：单选题14.函数f（x）ax（a0，a1）的麦克劳林展开式中的前三项是()。2018年真题A.1xlnax2/2B.1xlna（lna/2）x2C.1xlna（lna）2x2/2D.1x/lnax2/（2lna） 正确答案：C参考解析：麦克劳林公式是泰勒公式（在x00下）的一种特殊形式。函数f（x）麦克劳林展开式为因此前三项是1xlna（lna）2x2/2。单选题15.当|x|1/2时，函数f（x）1/（12x）的麦克劳林展开式正确的是()。2012年真题A.B.C.D. 正确答案：B参考解析：因为故|x|1/2。单选题16.下列各级数中发散的是()。2010年真题A.B.C.D. 正确答案：A参考解析：设bn1/n，则而发散，则发散。根据交错级数判别法，可以判定BD两项收敛；C项是正项级数，根据根值判别法可以判定C项也是收敛的。单选题17.已知级数则级数等于()。A.3B.7C.8D.9 正确答案：C参考解析：设法将转化为用级数和表示即可。则单选题18.设常数0，且级数收敛，则级数()。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与有关 正确答案：C参考解析：注意利用不等式|ab|（1/2）（a2b2）。因为由题设收敛，又也收敛，故绝对收敛。单选题19.设0an1/n（n1，2，），则下列级数中肯定收敛的是()。A.B.C.D. 正确答案：D参考解析：由0an1/n可知，0an21/n2，而由收敛及正项级数的比较判别法知，级数收敛，从而绝对收敛，得级数收敛。单选题20.已知级数与广义积分均收敛，则p的取值范围是()。A.p2B.p2C.p0D.0p2 正确答案：D参考解析：若和均收敛，则同时有p20且p0，综合得0p2。单选题21.函数ex展开成为x1的幂级数是()。A.B.C.D. 正确答案：B参考解析：ex在实数范围内有直到n1阶的导数，利用泰勒公式在x1处展开如下：单选题22.若的收敛域是（8，8，则的收敛半径及的收敛域分别是()。A.8，（2，2B.8，2，2C.不定，（2，2D.8，2，2） 正确答案：A参考解析：由的收敛域是（8，8可知，幂级数的收敛半径是8，从而幂级数的收敛半径也是8，又因幂级数是幂级数两次逐项求导所得，由幂级数逐项求导或逐项积分后所得幂级数的收敛半径不变，可知幂级数的收敛半径是8，对于有收敛域8x38，即2x2。单选题23.已知的收敛半径R1，则的收敛域为()。A.（1，1）B.1，1）C.（1，1D.（，） 正确答案：D参考解析：因为的收敛半径R1，则对故收敛域为（，）。单选题24.设则f（x）在x0时的6阶导数f（6）（0）是()。A.不存在B.1/6C.1/56D.1/56 正确答案：D参考解析：由于所以f（x）1/（2！）x2/（4！）x4/（6！）x6/（8！），x（，）因为令n6，由函数展开式的唯一性：f（6）（0）/（6！）1/（8！）所以f（6）（0）6！/（8！）1/56。单选题25.设为常数，则级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与的取值有关 正确答案：C参考解析：因级数的一般项有|sin（n）/n2|1/n2，且，故收敛；又显然发散，根据级数的运算性质知，级数必发散。单选题26.设其中则S（5/2）等于()。A.1/2B.1/2C.3/4D.3/4 正确答案：C参考解析：由题设知，应先将f（x）从0，1）作偶延拓，使之成为区间1，1上的偶函数，然后再作周期（周期为2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有：S（5/2）S（21/2）S（1/2）S（1/2）f（1/20）f（1/20）/23/4。