2022届湖南师大附中、东北育才学校等八校高三第二次T8联考数学试卷.docx

2022届湖南师大附中、东北育才学校等八校高三第二次T8联考数学试卷1. 复数 则 （ ）A. B. C. D. 知识点：共轭复数复数的加法及其几何意义复数的除法答案：A解析：，选A.2. 设集合 ， 则（ ）A. B. C. D. 知识点：交集子集空集对数方程与对数不等式的解法答案：C解析： 即 选C.3. 设 为等差数列 的前项和，且满足 ， 则当 取得最小值时，的值为（ ）A. B. C. D. 知识点：数列的函数特征等差数列的基本量等差数列的前项和的应用答案：B解析：设数列 的公差为，由  ，得 故  ，故当时，取得最小值，选B.4. 如图所示，在同一平面内沿平行四边形两边，向外分别作正方形，其中 ， 则 （ ）A. B. C. D. 知识点：向量加法的定义及运算法则数量积的运算律向量的数量积的定义答案：C解析： ，选C.5. 若将函数 的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 知识点：根据三角函数的性质求参数取值范围函数图象的平移变换探究对函数的图象的影响答案：A解析：的图象向左平移个单位长度得 的图象，向右平移 个单位长度得 的图象，由题意得 又，故的最小值，故选A.6. 如图，已知正四面体的棱长为，过点作截面 分别交侧棱于两点，且四面体的体积为四面体体积的 则的最小值为（ ）A. B. C. D. 知识点：余弦定理及其应用三角形的面积（公式）棱柱、棱锥、棱台的体积利用基本不等式求最值答案：D解析：由 得 又由于得 在 中，由余弦定理得 当且仅当 时取等.的最小值为  选D.7. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德 黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意都有，当 时，则        （ ）A. B. C. D. 知识点：函数的新定义问题对数（型）函数的值域函数奇、偶性的定义函数的周期性分段函数求值答案：D解析：得则故的周期为. 为无理数 ， 选D.8. 已知椭圆 过其左焦点 作直线交椭圆 于，两点，取点关于轴的对称点若点为 的外心 ，则     （ ）A. B. C. D. 以上都不对知识点：直线的点斜式方程椭圆的对称性直线与椭圆的综合应用椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距三角形的“四心”直线的斜率答案：C解析：设 中点为 则由点差法可得 又由题设可知 ，则直线的方程为为 由题意有，点在轴上，故令，得 点坐标为 易知 ， 又由焦半径公式可得 故选C.9. 下列命题正确的是（ ）A. 若事件与相互独立，且则B. 设随机变量服从正态分布则 C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，当样本相关系数 越接近时，样本数据的线性相关程度越强D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好知识点：标准正态分布残差相互独立事件的概率事件的独立性与条件概率的关系样本相关系数与相关程度答案：A ； C ； D解析：事件相互独立，A选项正确；随机变量服从正态分布 B选项错误；在回归分析中，样本相关系数越接近，样本数据的线性相关程度越强，C选项正确；在回归分析中，若残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差，D选项正确10. 作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系 下的一般方程为 某同学对情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是（ ）A. 曲线不经过第三象限B. 曲线关于直线对称C. 曲线与直线有公共点D. 曲线与直线没有公共点知识点：根据方程研究曲线的性质直线与圆锥曲线的其他应用答案：A ； B ； D解析：当，时 ， 故第三象限内的点不可能在曲线上，A选项正确；将点代入曲线方程得 故曲线关于直线对称，B选项正确；联立 将代人得即，方程组无解，曲线与直线无公共点，C选项错误，D选项正确11. 已知 满足 则（ ）A. B. C. D. 知识点：导数与单调性指数方程与指数不等式的解法利用导数证明不等式导数中的函数构造问题利用基本不等式证明不等式答案：A ； B ； D解析：， ，A选项正确 ；，令 当 时 ， 单调递增，即  B选项正确；当 时 ，C选项错误 ；，D选项正确12. 如图，在棱长为的正方体 中，为棱 的中点，为正方形 内一动点含边界则下列说法中正确的是（ ）A. 若 平面 则动点的轨迹是一条线段B. 存在点，使得 平面 C. 当且仅当点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大D. 若 那么点的轨迹长度为知识点：立体几何中的动态问题直线与平面垂直的判定定理棱柱、棱锥、棱台的体积用空间向量研究空间中直线、平面的垂直用空间向量研究空间中直线、平面的平行立体几何中的轨迹问题答案：A ； C ； D解析：分别取 中点，连接 平面 平面 平面 同理可得 平面 ，平面 平面 则点的轨迹为线段，A选项正确；以直线 为轴 ， 为轴 ，为轴，建立如图所示空间直角坐标系设 设为平面 的一个法向量，则 即  得 取，若 平面 那么 即存在 ， 使得 ， 解得 ， 故不存在点使得 平面  B选项错误；的面积为定值 ， 当且仅当到平面 的距离最大时，三棱锥 的体积最大.，则当时，有最大值. 则当时，有最大值，综上，当，即和 重合时，有最大值，三棱锥 的体积最大，C选项正确 ；平面 点的轨迹为半径为  圆心角为  的圆弧，轨迹长度为，D 选项正确13. 在二项式 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数 知识点：等差中项展开式中的特定项或特定项的系数二项展开式的通项答案：或解析：展开式的通项：由题意有 解得 或14. 若在平面直角坐标系 中，直线与直线分别截圆 所得弦长之比为，则  知识点：点到直线的距离直线与圆相交答案：解析：圆 的圆心到直线的距离 则所截弦长为 同理直线截圆 所得的弦长为 由题意有  ，解得 故 15. 某学校为落实双减政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动现有甲乙丙丁四人，乒乓球、篮球足球羽毛球网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为 知识点：古典概型的应用计数原理的综合应用分步乘法计数原理答案：解析：每个人有种选择，四人共有 种选法；其中恰有两人参加同一拓展活动共有 种选法，故四人中恰有两人参加同一拓展活动的概率内 16. 已知 若存在 使得 则 的取值范围为 知识点：分段函数与方程、不等式问题导数与单调性答案：解析：；故不存在 使得 ；令 当 时，在 上单调递增 ，综上所述， 的取值范围为 .17. 如图，在直角 中，角为直角，角，所对的边分别为，且 (1) 求角的大小；(2) 若，点为边上一点，且，求 知识点：余弦定理及其应用用余弦定理、正弦定理解三角形答案：(1)  ，整理得， (2) ，.在 中，由余弦定理得 ，在 中，由正弦定理得  解析：(1) 略(2) 18. 如图，在直三棱柱 中 ， 分别为线段 的中点(1) 证明： 平面 ；(2) 若二面角 的大小为 求 的长.知识点：直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理用空间向量研究两个平面所成的角平面的法向量及其应用答案：(1) 证明：取 中点，连接 三棱柱 为直三棱柱 ， 平面 平面 为 中点 ，平面  为 中点，为 中点 ， 且 为 中点 ，又且四边形 为平行四边形 ， 综合  可知 ， 平面 (2) 为直角 ，则 以直线 为轴 ， 为轴 ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 的长为，则 ，设为平面 的一个法向量，为平面 的一个法向量，则  即  得，取  ,，即 取，得， 二面角的大小为 则的夹角为 或解得 故 的长为 解析：(1) (2) 略19. 设数列 的前项和为 且 (1) 求 (2) 证明当 时 ，知识点：数列的前n项和数列的函数特征指数（型）函数的单调性构造法求数列通项等比数列的定义与证明利用基本不等式求最值数列与不等式的综合问题答案：(1) 当时 ，解得 当 时 ，即  是以为首项，为公比的等比数列，(2) 证明：由 得  则  令 则 在 上单调递增，即 当且仅当时取等，原命题得证 .解析：(1) (2) 20. 年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了一墩难求的现象主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖已知这款纪念品的生产成本为元件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者的心理价位，并将收集的名消费者的心理价位整理如下心理价位（元/件）人数假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品设这款纪念品的销售价格为单位元件 ， 且每位消费者是否购买该纪念品相互独立用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率(1) 若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有名消费者进店，为这一时段该纪念品的购买人数，试求的分布列和数学期望；(2) 假设共有名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为单位元当该纪念品的销售价格定为多少时，的数学期望达到最大值知识点：二项分布的期望和方差离散型随机变量的均值的性质答案：(1) 当纪念品销售价格为元/件时，名消费者中有人购买该纪念品，所以消费者购买该纪念品的概率为 的分布列为 的数学期望 (2) 设购买该纪念品的总人数为，则  当 时 ，当时，有最大值   当 时 ，当时，有最大值 当 时 ，当时，有最大值 综上所述，当时，公司售卖该纪念品所得总利润的期望值最大，该纪念品的销售价格应定为元/件 .解析：(1) (2) 略21. 已知双曲线： 过点 且的渐近线方程为 (1) 求 的方程；(2) 如图，过原点作互相垂直的直线 分别交双曲线于，两点和，两点，在轴同侧请从  两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分 求四边形面积的取值范围； 设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由知识点：双曲线的渐近线向量坐标与向量的数量积向量垂直直线与双曲线的综合应用圆锥曲线的存在性问题利用基本不等式求最值双曲线的标准方程圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1) 由题意有 ，将点 代人双曲线方程得 ，联立  解得 故 的方程为 .(2) 选 ： 易知直线 的斜率均存在且不为，设 直线 的斜率为，直线 的斜率为 的方程为 的方程为 ，联立，整理得，直线 与双曲线 交于两点，故 且 则   联立，整理得.直线 与双曲线 交于两点，故 且 则 根据对称性可知四边形为菱形，其面积. 选 ： 假设满足题意的直线存在.易知直线斜率存在，设直线的方程为，联立 整理得 且 解得 且 由韦达定理有 不妨设为直线与渐近线 的交点，联立 解得 点的坐标为 同理可得点的坐标为 为线段的三等分点 ，即整理得 .，整理得 .联立  得 无解，故没有满足条件的直线.解析：(1) (2) 22. 已知函数 (1) 若是函数的极值点，求的值；(2) 若 试问是否存在零点若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由(3) 若有两个零点，求满足题意的的最小整数值参考数据知识点：导数与极值利用导数求参数的取值范围利用导数解决函数零点问题答案：(1) 是函数的极值点 , 解得. 当时 ，当 时 , 单调递减；当 时 , 单调递增，当时，取得极小值，是的极小值点.故即为所求 .(2) 的零点个数与 的零点个数相同 . 当时 ，当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增.当时，取得最小值 无零点，即无零点 . 当 时 ，令 ，又 恒成立 ，在 上单调递增.故存在 使得 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，当 时，取得最小值 由 得 代入得 若有零点，则必有 即 也即 取令 当 时，单调递增；当 时 ，单调递减 . 即 恒成立，矛盾，故没有零点.综上所述，当 时，没有零点 .(3) 若有两个零点，则 有两个零点.由可知，.在 上单调递增，又故存在 使得当 时 ， 单调递减；当  时 ， 单调递增；当 时，取得最小值 由 得 ，代入得 有两个零点，则必有 .设 当时 ， 恒成立，在 上单调递减 ，设 ， .当时 ， 恒成立 ， 在 上单调递增，下证当时，有两个零点.，在  上有两个零点，即在 上有两个零点.综上所述，为满足题意的最小正整数值 .解析：(1) (2) (3) 略