第2课时：等比数列的前n项和的性质与应用[人教A版（2019）选择性必修第二册](4419).docx

第2课时：等比数列的前n项和的性质与应用人教A版（2019）选择性必修第二册(4419)1. 已知是等比数列的前项和，若则（）A. B.    C. D. 知识点：等比数列前n项和的性质答案：B解析：为等比数列的前项和，成等比数列，又.故选.2. 已知一个等比数列的项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的倍，则这个数列的公比为（）A. B.    C. D. 知识点：等比数列前n项和的应用答案：B解析：一个等比数列的项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的倍， 则这个数列的公比为. 故选.3. 已知等比数列的前项和为若则的公比（ ）A. B. C. D. 知识点：等比数列前n项和的应用答案：B解析：根据题意 因为所以解得. 故选.4. 元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤斤斤两)，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：“现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得银是前一个人所得银的一半”.若银的数量不变，按此法将银依次分给七个人，则得银最少的一个人得银（）A. 两B. 两C. 两D. 两知识点：等比数列的基本量数列中的数学文化问题答案：B解析：由题意得共有银(两)， 设得银最少的人得银两，则七个人的得银量从小到大构成以为首项为公比的等比数列，则解得故选.5. 一个等比数列的前项和则（ ）A. B.    C. D. 知识点：等比数列前n项和的应用答案：B解析：设该数列的公比为. 若则则与题设不符， 即等比数列不是常数列， 则可得.故选.6. 已知数列为等比数列，为其前项和，且，则 知识点：等比数列的通项公式等比数列前n项和的应用答案：解析：可以将每连续三项看作一项，则构成一个公比为的等比数列，所以.7. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则 知识点：等比数列的通项公式等比数列前n项和的应用答案：解析：方法一：将代入，得化简得解得或(舍去).方法二：由得.由得.由得解得或因为所以.8. 设等比数列的前项和为则下列数列一定是等比数列的有（ ）A. B. C. D. 知识点：等比数列的性质答案：B ； D解析：设数列的公比为.对于都有首项当时不满足等比数列的定义，故错误；对于且同理故数列为等比数列，故正确; 对于且故数列为等比数列，故正确.故选.9. 公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.比赛开始后，当阿基里斯跑了米时，乌龟领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟领先他米按照这样的规律，若乌龟恰好领先阿基里斯米时，乌龟爬行的总距离为（）A. 米B. 米C. 米D. 米知识点：等比数列前n项和的应用等比模型数列中的数学文化问题答案：D解析：由题意知，乌龟每次爬行的距离组成等比数列，且公比则乌龟爬行的总距离为(米). 故选.10. 已知等比数列的前项和则（ ）A. B.    C. D. 知识点：等比数列前n项和的应用答案：A解析：当时，当时， 则当时，则.因为是等比数列， 所以即可得. 故选.11. 在等比数列中，且恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 知识点：等比数列的通项公式等比数列前n项和的应用等比数列的基本量答案：D解析：设等比数列的公比为，则 ，解得，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 ，所以. 故的取值范围是，故选.12. 如图所示，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆，如此下去，则下列说法正确的是（ ）A. 为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为B. 为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为C. 前个内切圆的面积和为D. 前个内切圆的面积和为知识点：等比数列前n项和的应用答案：B ； C解析：因为下一个正三角形的面积为上一个正三角形面积的所以第三个正三角形的面积为故错误正确；根据条件，第一个内切圆的半径为面积为第二个内切圆的半径为面积为这些内切圆的面积组成一个等比数列，其首项为公比为故前个内切圆的面积之和为故正确，错误.故选.13. 各项均为正数的等比数列的前项和为已知，则 .知识点：等比数列前n项和的性质答案：解析：由题意得成等比数列，则 即解得或因为数列的各项均为正数，所以因此.14. (1) 如果一个等比数列的前项和等于前项和等于那么这个数列的前项和等于多少？(2) 一个等比数列的首项为项数为偶数，如果其奇数项的和为偶数项的和为求此数列的公比和项数.知识点：等比数列前n项和的性质等比数列前n项和的应用答案：(1) 设该等比数列的前项和为则因为成等比数列，所以即解得.(2) 设此数列的公比为项数为则，.综上，此数列的公比为项数为.解析：(1) 略(2) 略15. 新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加混合动力型公交车每年比上一年多投入辆.设经过年，该市被更换的公交车总数为辆.(1) 求与的关系式；(2) 若该市计划年内全部更换完，求的最小值.知识点：等差模型等比模型分组求和法答案：(1) 设分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的辆数，依题意，数列是首项为公比为的等比数列，是首项为公差为的等差数列，设的前项和为的前项和为则，故.(2) 若计划年内全部更换完，则于是得即解得又，所以的最小值为.解析：(1) 略(2) 略16. 如图，“数塔”的第行第个数为(其中且.将这些数依次排成记作数列，设的前项和为.若则（ ）A. B.    C. D. 知识点：等比数列前n项和的应用等比数列的基本量答案：C解析：“数塔”的第行共有个数，其和为所以前行的和为故前行所有数字之和为.因为所以.故选.17. 已知等比数列的首项为公比则 .知识点：等比数列的性质等比数列前n项和的应用答案：解析：因为等比数列的首项为公比 所以成首项为公比为的等比数列，共有项， 所以整理得. 因为 所以等式左边为整数，所以等式右边也需要为整数， 所以是的约数， 所以可得 所以. 当时此时；当时此时； 当时解得.综上，.18. 已知等比数列的前项、前项、前项和分别为.求证：.知识点：等比数列前n项和的应用答案：证明：方法一：设等比数列的公比为.当时.当时.综上.方法二：根据等比数列的性质，有.解析：略