2022年湖南省三湘名校教育联盟高考数学大联考试卷（3月份）.docx

2022年湖南省三湘名校教育联盟高考数学大联考试卷（3月份）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 知识点：对数方程与对数不等式的解法集合的混合运算答案：A解析：因为，又集合，所以.所以故选2. 已知复数满足，则（ ）A.  B.  C. D. 知识点：共轭复数复数的乘法复数的除法答案：A解析：由复数满足，则，则，故选3. 某市政府部门为了解该市的全国文明城市创建情况，在该市的个区县市中随机抽查到了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核在两个县的量化考核成绩(均为整数)中各随机抽取个，得到如图数据(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正确的是（ ）  A. 甲县平均数小于乙县平均数B. 甲县中位数小于乙县中位数C. 甲县众数不小于乙县众数D. 不低于的数据个数，甲县多于乙县知识点：频数分布表和频数分布直方图频率分布直方图中的众数、中位数和平均数答案：C解析：由条形图可知，甲样本的平均数：，中位数：，众数：，不低于的数据共个；由频率分布直方图可知，乙样本的平均数：，中位数：设中位数为，由，故中位数解得，众数且，即，不低于的数据共，所以，选项错误，故选4. 若是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：导数与单调性利用导数求参数的取值范围三角函数与二次函数的综合应用答案：B解析：是上的减函数，当时，取得最小值，实数的取值范围是.故选B5. 已知，设，则，的大小关系是（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：同角三角函数基本关系的综合应用二倍角的正弦、余弦、正切公式不等式比较大小答案：C解析：，故选C.6. 已知，是双曲线：的两个焦点，的离心率为，点在上，则的取值范围是（ ）A.  B. C.  D. 知识点：双曲线的离心率向量坐标与向量的数量积双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围答案：D解析：设的焦距为，离心率为，当时，由平面几何知识得，解得，根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是，故选7. 勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理汉代数学家赵爽利用弦图又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，证明了商高结论的正确性现将弦图中的四条股延长相同的长度如将延长至得到图.在图中，若，两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（ ）  A.  B.  C.  D. 知识点：等式与不等式中的数学文化方程的解集答案：C解析：设中间小正方形的边长为，在中，在中，相减可得，代入，解得，中间小正方形的边长为.故选8. 设函数图象在点处切线为，则的倾斜角的最小值是（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：指数（型）函数的单调性利用导数求曲线的切线方程（斜率）正弦（型）函数的定义域和值域利用基本不等式求最值直线的倾斜角答案：D解析：由，得，则，则，当且仅当，即时等号成立，又，则的倾斜角的最小值是；故选D.9. 已知函数，下列结论正确的是（ ）A. 是以为周期的函数B. 是区间上的增函数C. 是上的奇函数D. 是的极值点知识点：导数与极值正弦（型）函数的周期性函数奇、偶性的定义答案：B ； C解析：，对于，因为，所以错；对于，因为当时，所以是区间上的增函数，所以对；对于，因为，所以对；对于，由知，错.故选10. 已知某种袋装食品每袋质量单位：.，则下面结论正确的是（ ）A. B. C. 随机抽取袋这种食品，袋装质量在区间的约袋D. 随机抽取袋这种食品，袋装质量小于的不多于袋知识点：正态分布及概率密度函数正态曲线的性质答案：A ； C ； D解析：对于，则，解得，故正确，对于，故错误，对于，故随机抽取袋这种食品，袋装质量在区间的约袋，故正确，对于，则随机抽取袋这种食品，袋装质量小于有，故正确故选11. 记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为，在这些不同数列中随机抽取一个数列，下列结论正确的是（ ）A. 是等差数列的概率为 B. 是递增数列的概率为C. 是递减数列的概率为 D. 的概率为知识点：数列的前n项和数列的函数特征答案：A ； B解析：，当时，当时，若是等差数列，则，解得，在数集中取到即可，概率为，故正确；若是递增数列，则，且，即，解得，或，是递增数列的概率为，故正确；与证明的结论同理得到错误；由已知得，若，则，满足，概率为，若，是的最小值，则，概率为，的概率为，故错误.故选12. 在三棱柱中，平面平面，分别是线段，上的点下列结论成立的是（ ）A. 若，则存在唯一直线，使得B. 若，则存在唯一线段，使得四边形的面积为C. 若，则存在无数条直线，使得D. 若，则存在线段，使得四边形的面积为知识点：平面与平面垂直的性质定理平面与平面平行的判定定理答案：B ； C ； D解析：如图所示：因为，则平行四边形是菱形，则，作，因为平面平面，所以平面，则过作的平行线，与交于点，则，又则平面，在上取一点，作分别交线段上于点易得平面平面又，所以平面平面，则平面，所以，因为点有无数个，所以有无数条直线，使得，故错误；如图所示：若，则是正三角形，设是中点，与重合，则，且四边形的面积为，平面平面，平面，平面，平面，当不是中点，或不与重合时，线段的长度将增加，四边形的面积不再等于，故正确；如图所示：若，设是中点，记中点为，则，由结论知，平面，由于，即，直线与确定的平面就是平面为线段上任意一点，都有，故正确；如图所示：设是中点，是中点，记中点为，则.又，四边形是平行四边形，根据结论，平行四边形的面积为，即四边形的面积为，所以正确故选.13. 已知向量与的夹角为，则 知识点：数量积的性质数量积的运算律向量的数量积的定义答案：解析：因为向量与的夹角为，所以，所以，即，解得故答案为：总结：本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于基础题.14. 在的展开式中，的系数为，则 知识点：展开式中的特定项或特定项的系数二项展开式的通项答案：解析：展开式的通项公式为，令，解得，则的系数为，解得，故答案为.15. 已知函数，关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 知识点：分段函数与方程、不等式问题答案：解析：由题意得：当时，又在区间和上都是单调递增函数，关于的不等式的解集是，不合题意；当时，由于在区间和上都是单调递增函数，所以要使的解集满足，则必须，解得，故实数的取值范围，故答案为.16. 已知椭圆：的离心率为，和是的左、右焦点，是上的动点，点在线段的延长线上，点的轨迹方程是 ，线段的垂直平分线交于，两点，则的最小值是 知识点：圆锥曲线中求轨迹方程椭圆的标准方程圆锥曲线的最值（范围）问题答案：； 解析：先求出椭圆的方程，再求出点的轨迹的方程，再利用数形结合分析求解.由条件得，椭圆的方程是，由于点在线段的延长线上，所以，是以为圆心，以为半径的圆，方程为因为的最小，所以圆心到弦的距离最大，即当为椭圆的右顶点时，取得最小值在圆的方程中取，且最小值为故答案为：；17. 记正项等差数列的前项和为，已知，(1) 求数列的通项公式；(2) 已知等比数列满足，若，求数列前项的和知识点：等差数列的通项公式等比数列前n项和的应用等差、等比数列的综合应用等差数列的前项和的应用答案：(1) 设正项等差数列的公差为，解得.(2) 等比数列满足，公比，解得，数列前项的和.解析：(1) 设正项等差数列的公差为，由，可得，解得，即可得出(2) 由等比数列满足，可得，可得公比及其，根据，解得，即可得出数列前项的和.18. 已知函数的部分图象如图，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象设.(1) 求函数的最小正周期；(2) 在中，是的中点，设，求的面积知识点：余弦定理及其应用三角恒等变换综合应用由图象（表）求三角函数的解析式正弦（型）函数的周期性三角形的面积（公式）答案：(1) 由图知，解得，.(2) ，即，设，分别在和中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，舍，或，即，的面积为：解析：(1) 根据图象求出，进而求出，利用恒等变换得到，由此能求出函数的最小正周期.(2) 先求出的度数，利用余弦定理求出，再利用面积公式能求出答案19. 如图，已知是正三角形，平面，(1) 求证：平面平面；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值知识点：平面与平面垂直的判定定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 证明：设线段中点为，连接交于点，分别连接，由条件可得，又，三个四边形，都是平行四边形，是正三角形，是正三角形，由得是线段中点，所以是中点平面，平面，平面，是平面内两条相交直线，平面平面，是平面两条相交直线，平面平面，是平面内两条相交直线，平面平面，平面平面(2) 由知直线两两垂直，分别以直线为轴和轴，以过点平行的直线为轴，建立如图所示的空间直线坐标系设，则，设是平面的一个法向量，则，不妨取得，由知是平面的法向量，所以，平面与平面角所成锐二面角的余弦值为解析：(1) 设线段中点为，连接交于点，分别连接，则可得四边形，都是平行四边形，再由是正三角形，可得是正三角形，结合已知条件可得是中点，则，由线面垂直的判定可得平面，则，得平面，再由面面垂直的判定可得结论，(2) 由知直线，两两垂直，分别以直线，为轴和轴，以过点平行的直线为轴，建立如图所示的空间直线坐标系，利用空间向量求解即可20. 已知抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，为坐标原点，.(1) 求抛物线的方程；(2) 为抛物线上一点，过点的直线与圆相切，这样的直线有两条，它们分别交该抛物线于，异于点两点若直线的方程为，当时，求实数的值.知识点：抛物线的定义直线与抛物线的综合应用直线和圆相切答案：(1) 是抛物线上的一点，设点在轴上的射影为，解得，.所以，抛物线的方程是；(2) 直线与圆相切，即，若，则过点和圆相切的一条直线平行于抛物线的对称轴轴，不满足条件，所以，设这两切线对应的分别是，则有，设，由方程组得，不妨令，则，即，设圆的圆心为，直线与的斜率存在，且都不为零，由，得，即，即，解得，经检验，及相应的和满足，所以，实数的值为解析：(1) 由抛物线的定义可得，设点在轴上的射影为，则由题意可得，从而可求出p，进而可得抛物线方程；(2) 由直线与圆相切可求得，当不满足，则，设这两切线对应的分别是，利用根与系数的关系，设，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，设圆的圆心为，由题意可得，从而由斜率关系列方程求解即可.21. 随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增西部某县有丰富的优质石料，当地政府决定有序开发本县石料资源因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走开发治理结合，人类生态友好的路线当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态以下简称生态进行评估若生态开始变差，则下一年石料厂将停产本问题中，时间以整数年为单位，生态友好后复产该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考虑到可持续发展，这种生态投入以下简称生态投入将逐年减少是常数，亿元该县从年起，若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为模型显示，生态变差的概率不大于时，该县生态将不再变差，生态投入结束(1) 若年该县生态变差的概率为，求该县年生态友好的概率；(2) 若年该县生态变差概率为，生态投入是亿元，为何值时，从年开始到生态投入结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值知识点：互斥事件的概率加法公式相互独立事件的概率导数与最值等比数列前n项和的应用答案：(1) 设“该县年生态友好“，“该县年生态友好”，年该县生态变差的概率为，即，如果该县年生态友好，则它年生态友好的概率为，该县年变差，那么它年友好的概率为，“该县年生态友好，那么它年生态友好”与“该县年生态变差，而年生态友好”是互斥事件，故该县年生态友好的概率为(2) 设该县年生态变差的概率为，由可得，该县年生态友好的概率为，该县年生态变差的概率为，该县年生态变差的概率为，该县从年开始的第年生态变差的概率为，若从年开始到生态投入结束共有年，则，即，对该县总生态投入额，求导可得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，最小，且最小值为亿元，故当时，对该县总生态投入额最小，最小值为亿元解析：(1) 根据已知条件，结合相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件的概率公式，即可求解(2) 根据题意，推出该县从年开始的第年生态变差的概率，列出不等式求得，再求出该县总生态总投入额的表达式，利用导数求其最小值，即可求解22. 已知.(1) 若函数有两个极值点，求实数的取值范围；(2) 证明：当时，.知识点：利用导数求参数的取值范围利用导数证明不等式答案：(1) 由，得，设，则，当时，是增函数，当时，是减函数，又，设，当时，由于，所以在区间上的值域是，又时，所以当时，直线与曲线有且只有一个交点，即只有一个零点，不合题意，舍，当时，在上是增函数，不合题意，舍，当时，若，由可知，直线与曲线有一个交点，下面证明若，直线与曲线有一个交点，由于是区间上的减函数，所以需要证明在区间上的值域为，即对，都存在，使得，构造函数，则，当时，在区间上是增函数，当时，即是区间的增函数，时，此时，设，当时，当时，直线与曲线有两个交点，即有两个零点，设这两零点分别为，则，不等式的解集为，不等式的解集为，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，综上所述，实数的取值范围是；(2) 由知，对，所以，解析：(1) 求解导函数，再构造新函数，求导，判断单调性，求解极值，分类讨论与两种情况；(2) 由知，可证，由，可得，从而利用裂项相消法求和可证明总结：(2) 导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下个角度进行：考査导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.利用导数求函数的最值极值，解决生活中的优化问题.考数形结合思想的应用.