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公用设备工程师-公共基础-高等数学-线性代数单选题1.设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于()。2010年真题A.ABB.ABC.（1）mnABD.（1）mnAB 正确答案：D参考解析：行列式经过m×n次列变换得到行列式即：单选题2.设A、B均为三阶方阵，且行列式|A|1，|B|2，AT为A的转置矩阵，则行列式|2ATB1|()。2018年真题A.1B.1C.4D.4 正确答案：D参考解析：因为A、B均为三阶方阵，计算得|2ATB1|（2）3×|AT|×|B1|（2）3×1×（1/2）4。单选题3.若n阶方阵A满足|A|b（b0，n2），而A*是A的伴随矩阵，则行列式|A*|等于()。2019年真题A.bnB.bn1C.bn2D.bn3 正确答案：B参考解析：伴随矩阵A*|A|A1，则|A*|A|n·|A1|A|n·|A|1|A|n1。又|A|b，则|A*|A|n1bn1。单选题4.矩阵的逆矩阵A1是()。2017年真题A.B.C.D. 正确答案：C参考解析：用矩阵的基本变换求矩阵的逆矩阵，计算如下则有矩阵A的逆矩阵为单选题5.设则A1()。2011年真题A.B.C.D. 正确答案：B参考解析：由A·A*|A|·E，得A1A*/|A|，其中|A|1；故可得：单选题6.设3阶矩阵已知A的伴随矩阵的秩为1，则a()。2011年真题A.2B.1C.1D.2 正确答案：A参考解析：由矩阵与伴随矩阵秩的关系式：可知，r（A）2。故|A|0，得：a2或a1。当a1时，r（A）1。故a2。单选题7.若使向量组1（6，t，7）T，2（4，2，2）T，3（4，1，0）T线性相关，则t等于()。2016年真题A.5B.5C.2D.2 正确答案：B参考解析：1、2、3三个列向量线性相关，则由三个向量组成的行列式对应的值为零，即：解得：t5。单选题8.设1，2，3，是n维向量组，已知1，2，线性相关，2，3，线性无关，则下列结论中正确的是()。2012年真题A.必可用1，2线性表示B.1必可用2，3，线性表示C.1，2，3必线性无关D.1，2，3必线性相关 正确答案：B参考解析：由1，2，线性相关知，1，2，3，线性相关。再由2，3，线性无关，1必可用2，3，线性表示。单选题9.已知向量组1（3，2，5）T，2（3，1，3）T，3（1，1/3，1）T，4（6，2，6）T，则该向量组的一个极大线性无关组是()。2013年真题A.2，4B.3，4C.1，2D.2，3 正确答案：C参考解析：可见1，2是该向量组的一个极大线性无关组。单选题10.要使齐次线性方程组有非零解，则a应满足()。2018年真题A.2a1B.a1或a2C.a1且a2D.a1 正确答案：B参考解析：齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换如下要使齐次线性方程组有非零解，则矩阵的秩r3，因此得a10或（a2）（a1）0，计算得a1或a2。【说明】n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是r（A）n。单选题11.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是()。2017年真题A.矩阵A的任意两个列向量线性相关B.矩阵A的任意两个列向量线性无关C.矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合D.矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合 正确答案：D参考解析：线性方程组Ax0有非零解|A|0r（A）n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。单选题12.已知n元非齐次线性方程组AxB，秩r（A）n2，1，2，3为其线性无关的解向量，k1，k2为任意常数，则AxB的通解为()。2014年真题A.xk1（12）k2（13）1B.xk1（13）k2（23）1C.xk1（21）k2（23）1D.xk1（23）k2（12）1 正确答案：C参考解析：n元非齐次线性方程组AxB的通解为Ax0的通解加上AxB的一个特解。因为r（A）n2，Ax0的解由两个线性无关的向量组成，所以21，23是Ax0的两个线性无关解。所以AxB的通解为：xk1（21）k2（23）1。单选题13.若非齐次线性方程组Axb中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是()。2013年真题A.Ax0仅有零解B.Ax0必有非零解C.Ax0一定无解D.Axb必有无穷多解 正确答案：B参考解析：因非齐次线性方程组未知量个数大于方程个数，可知系数矩阵各列向量必线性相关，则对应的齐次线性方程组必有非零解。单选题14.齐次线性方程组的基础解系为()。2011年真题A.1（1，1，1，0）T，2（1，1，1，0）TB.1（2，1，0，1）T，2（1，1，1，0）TC.1（1，1，1，0）T，2（1，0，0，1）TD.1（2，1，0，1）T，2（2，1，0，1）T 正确答案：C参考解析：简化齐次线性方程组为：令则1（1，1，1，0）T。令则2（1，0，0，1）T。故基础解系为：1（1，1，1，0）T，2（1，0，0，1）T。单选题15.设16，233为三阶实对称矩阵A的特征值，属于233的特征向量为2（1，0，1）T，3（1，2，1）T，则属于16的特征向量是()。2017年真题A.（1，1，1）TB.（1，1，1）TC.（0，2，2）TD.（2，2，0）T 正确答案：A参考解析：矩阵A为实对称矩阵，由实对称矩阵的性质：不同特征值对应的特征向量相互正交，设属于16的特征向量为（x1，x2，x3）T，（1，0，1）·（x1，x2，x3）0，（1，2，1）·（x1，x2，x3）0，解得令x31，解得（x1，x2，x3）T（1，1，1）T。单选题16.已知矩阵与相似，则等于()。2013年真题A.6B.5C.4D.14 正确答案：A参考解析：A与B相似，故A与B有相同的特征值，又因为特征值之和等于矩阵的迹，故14522，故6。单选题17.已知n阶可逆矩阵A的特征值为0，则矩阵（2A）1的特征值是()。2012年真题A.2/0B.0/2C.1/（20）D.20 正确答案：C参考解析：由矩阵特征值的性质，2A的特征值为20，因此（2A）1的特征值为1/（20）。单选题18.设A是3阶矩阵，P（1，2，3）是3阶可逆矩阵，且若矩阵Q（2，1，3），则Q1AQ()。2011年真题A.B.C.D. 正确答案：B参考解析：设可逆矩阵计算可得：PBQ，Q1B1P1，其中，因此单选题19.要使得二次型f（x1，x2，x3）x122tx1x2x222x1x32x2x32x32为正定的，则t的取值条件是()。2012年真题A.1t1B.1t0C.t0D.t1 正确答案：B参考解析：该方程对应的二次型的矩阵为：若二次型为正定，其各阶顺序主子式均大于零，由二阶主子式大于零，有1t20，求得1t1。三阶主子式也大于零，得1t0。单选题20.矩阵所对应的二次型的标准形是()。2018年真题A.fy123y22B.fy122y22C.fy122y22D.fy12y22 正确答案：C参考解析：二次型的矩阵则对应的二次型展开式为：f（x1，x2，x3）x123x222x1x2（x1x2）22x22。令则上式化简得fy122y22。单选题21.设A是3阶矩阵，矩阵A的第1行的2倍加到第2行，得矩阵B，则下列选项中成立的是()。A.B的第1行的2倍加到第2行得AB.B的第1列的2倍加到第2列得AC.B的第2行的2倍加到第1行得AD.B的第2列的2倍加到第1列得A 正确答案：A参考解析：设矩阵则单选题22.设有向量组1（1，1，2，4），2（0，3，1，2），3（3，0，7，14），4（1，2，2，0），5（2，1，5，10），则该向量组的极大线性无关组是()。A.1，2，3B.1，2，4C.1，4，5D.1，2，4，5 正确答案：B参考解析：对以1，2，3，4，5为列向量的矩阵施以初等行变换：由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个及两个以上的向量必线性相关，对比四个选项知，B项成立。单选题23.设n维行向量（1/2，0，0，1/2），矩阵AET，BE2T，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于()。A.OB.EC.ED.ET 正确答案：C参考解析：注意利用T1/2来简化计算。AB（ET）（E2T）E2TT2TTET2T（T）ET2·（1/2）TE。单选题24.设1，2是线性方程组Axb的两个不同的解，1、2是导出组Ax0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Axb的通解是()。A.（12）/2k11k2（12）B.1k1（12）k2（12）C.（12）/2k11k2（12）D.（12）/2k11k2（12） 正确答案：C参考解析：非齐次线性方程组Axb的通解由导出组Ax0的基础解系与某一特解构成。A项，（12）/2、12都是导出组Ax0的一个解，该选项中不包含特解；B项，12是导出组Ax0的一个解，该选项也不包含特解；C项，（12）/2是Axb的特解，12与1线性无关，可作为导出组Ax0的基础解系；D项，包含特解，但12与1未必线性无关，不能作为导出组Ax0的基础解系。单选题25.设A是m×n阶矩阵，Ax0是非齐次线性方程组Axb所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()。A.若Ax0仅有零解，则Axb有唯一解B.若Ax0有非零解，则Axb有无穷多个解C.若Axb有无穷多个解，则Ax0仅有零解D.若Axb有无穷多个解，则Ax0有非零解 正确答案：D参考解析：由解的判定定理知，对Axb，若有r（A）r（）r，则Axb一定有解。进一步，若rn，则Axb有唯一解；若rn，则Axb有无穷多解。而对Ax0一定有解，且设r（A）r，则若rn，Ax0仅有零解；若rn，Ax0有非零解。因此，若Axb有无穷多解，则必有r（A）r（A）rn，Ax0有非零解，所以D项成立。但反过来，若r（A）rn（或n），并不能推导出r（A）r（），所以Axb可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解。单选题26.齐次线性方程组的系数矩阵记为A。若存在三阶矩阵B0使得AB0，则()。A.2且B0B.2且B0C.1且B0D.1且B0 正确答案：C参考解析：因为AB0，所以r（A）r（B）3，又A0，B0，所以1r（A）3，1r（B）3，故A0，B0。由A0（1）201。综上1且B0。单选题27.设A是n阶矩阵，且Ak0（k为正整数），则()。A.A一定是零矩阵B.A有不为0的特征值C.A的特征值全为0D.A有n个线性无关的特征向量 正确答案：C参考解析：设是A的特征值，对应的特征向量为，则有A，Akk0。由0，有k0，即0，故A的特征值全为0。令则A20。若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P1AP0，则必有A0，与题意矛盾。单选题28.已知二阶实对称矩阵A的一个特征向量为（2，5）T，并且|A|0，则以下选项中为A的特征向量的是()。A.B.C.，k10，k20D.，k1，k2不同时为零 正确答案：D参考解析：设A的特征值为1，2，因为|A|0，所以1·20，即A有两个不同的特征值。又且在D项中，k1与k2不同时为零。C项，k1与k2都可以等于0，如当k10，k20时，k2（5，2）T也是A的特征向量，所以排除。单选题29.已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX0，则有()。A.A0B.A0C.A0D.以上三种都有可能 正确答案：B参考解析：由于对任一n维列向量X均有XTAX0，两边转置，有XTATX0，从而XT（AAT）X0。显然有（AAT）TAAT，即AAT为对称矩阵。从而对任一n维列向量X均有：XT（AAT）X0，AAT为实对称矩阵，从而有AAT0。即ATA，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故A0。单选题30.二次型的秩为()。A.0B.1C.2D.3 正确答案：B参考解析：解法一：根据二次型定义所以即r（B）1，则二次型的秩为3。解法二：令则二次型矩阵故二次型的秩为1。单选题31.已知矩阵那么与A既相似又合同的矩阵是()。A.B.C.D. 正确答案：D参考解析：两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与A相似的矩阵即可，相似对角矩阵主对角线上元素为矩阵A的特征值，由特征值之和等于矩阵的迹，得：选项中对角矩阵主对角线上元素之和矩阵A的迹（即1124），观察知D项满足。