2020年高考真题——数学（新高考全国卷II）.docx

2020年高考真题数学（新高考全国卷II）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 知识点：交集答案：C解析：因为，所以  ，故选C.总结：本题考查的是集合交集的运算.2. （ ）A.  B.  C.  D. 知识点：复数的乘法答案：B解析：.故选B.总结：本题考查的是复数的计算.3. 在中，是边上的中点，则      （ ）A.  B.  C.  D. 知识点：向量减法的定义及运算法则答案：C解析：故选C.总结：本题考查的是向量的加减法.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ） A.  B. C.  D. 知识点：立体几何中的截面、交线问题球的结构特征及其性质直线与平面垂直的定义立体几何中的数学文化平面与平面平行的性质定理答案：B解析：画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线， 是点处的水平面的截线，依题意可知， 是晷针所在直线， 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知，根据线面垂直的定义可得.由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为故选B.总结：本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A.  B. C.  D. 知识点：事件的交（积)与事件的并(和）随机事件发生的概率答案：C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为故选C.总结：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 要安排 名学生到 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有   （ ）A.  种 B.  种 C.  种 D.  种知识点：排列与组合的综合应用答案：C解析：第一步，将 名学生分成两个组，有种分法第二步，将 组学生安排到个村，有 种安排方法所以，不同的安排方法共有 种故选C .总结：解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：利用函数单调性求参数的取值范围对数（型）函数的定义域对数（型）函数的单调性答案：D解析：由得或，所以的定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，故选D .总结：在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）A.  B. C.  D. 知识点：利用函数单调性解不等式函数奇、偶性的定义函数单调性与奇偶性综合应用答案：D解析：方法一：由题意可得的图象可如图所示， 的图象可由的图象向右平移一个单位得到(如图)， 满足即满足与同号或二者至少有一个为零，由图可得不等式的解集为.  方法二：由于在上为奇函数，所以由在单调递减，且可得所以当时，；当时，.则对于函数而言，当时，；当时，.又所以满足的的取值范围为.故选.总结：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，如图是某地连续 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这 天复工指数和复产指数均逐日增加B. 这 天期间复产指数增量大于复工指数的增量C. 第 天至第 天复工复产指数均超过D. 第 天至第 天复产指数增量大于复工指数的增量知识点：折线图答案：C ； D解析：由图可知，这天的复工指数和复产指数有增有减，故错误； 由折线的变化程度可知，这天期间复产指数的增量小于复工指数的增量，故错误； 第天至第天复工复产指数均超过故正确； 第天至第天复产指数的增量大于复工指数的增量，故正确.故选.10. 已知曲线（ ）A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上B. 若，则是圆，其半径为C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为D. 若，则是两条直线知识点：双曲线的渐近线圆的定义与标准方程椭圆的定义根据方程研究曲线的性质双曲线的定义答案：A ； C ； D解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选ACD.总结：本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数的部分图象，则（ ）A.  B.  C.  D. 知识点：由图象（表）求三角函数的解析式角与的三角函数值之间的关系答案：B ； C解析：由图可得函数的最小正周期故选项错误函数图像过点且左侧，右侧， 当时，可得该图像对应的函数解析式可以是. 对于，故选项正确. 对于，故选项正确. 对于当时，与图像不符，故选项错误.故选.12. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 知识点：基本不等式的综合应用指数（型）函数的单调性对数（型）函数的单调性对数的运算性质不等式的性质二次函数的图象分析与判断答案：A ； B ； D解析：对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故 B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故 C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选ABD总结：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养13. 已知正方体的棱长为，分别为，的中点，则三棱锥的体积为 知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积答案：解析：因为正方体的棱长为，分别为，的中点，所以，故答案为.14. 斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则 知识点：直线的点斜式方程抛物线的定义抛物线的焦点弦问题答案：解析：抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，又直线过焦点且斜率为，直线的方程为：，代入抛物线方程消去并化简得，解法一：解得   所以.解法二：，设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为，如图所示.故答案为.15. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 知识点：等差数列的定义与证明等差数列的基本量等差数列的前项和的应用答案：解析：因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以首项，以为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，垂足为，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 知识点：扇形面积公式三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用三角形的面积（公式）答案：解析：设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于 点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为故答案为：17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求  的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.知识点：用余弦定理、正弦定理解三角形答案：解法一：由可得：，不妨设，则：，即选择条件的解析：据此可得，此时选择条件的解析：据此可得：，则：，此时：，则：选择条件的解析：可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：，,若选，若选，则，若选，与条件矛盾解析：解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 ， 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解总结：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18. 已知公比大于的等比数列满足(1) 求的通项公式；(2) 求.知识点：等比数列的通项公式等比数列前n项和的应用等比数列的基本量答案：(1) 设等比数列的公比为，则，整理可得：，数列的通项公式为：.(2) 由于：，故：解析：(1) 由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2) 首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前项和公式求解其前项和即可总结：(2) 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的和浓度（单位：），得下表：                                                      单位：天                  附：， (1) 估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；(2) 根据所给数据，完成下面的列联表：                                                    单位：天             合计      合计   (3) 根据（）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？知识点：列联表古典概型的应用独立性检验及其应用答案：(1) 由表格可知，该市 天中，空气中的浓度不超过，且浓度不超过的天数有 天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过，且浓度不超过的概率为；(2) 由所给数据，可得列联表为：                                                   单位：天            合计合计(3) 根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关解析：(1) 略(2) 略(3) 略20. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为(1) 证明：平面；(2) 已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定定理直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理答案：(1) 证明：在正方形中，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为，所以平面；(2) 如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，因为，所以有设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于.所以直线与平面所成角的正弦值为解析：(1) 利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面；(2) 根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值总结：(2) 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目21. 已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为 ，(1) 求的方程；(2) 点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值知识点：一元二次方程根与系数的关系椭圆的标准方程直线的点斜式方程两条平行直线间的距离椭圆的定义椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距三角形的面积（公式）圆锥曲线的弦长及中点弦问题两条直线平行圆锥曲线的最值（范围）问题直线的斜率答案：(1) 由题意可知直线的方程为：，即当时，解得，所以，椭圆过点，可得，解得所以的方程：.(2) 设与直线平行的直线方程为，如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得，所以，即，解得，与距离比较远的直线方程：，直线方程为：，点到直线的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得所以的面积的最大值：解析：(1) 由题意分别求得 ， 的值即可确定椭圆方程；(2) 首先利用几何关系找到三角形面积最大时点的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点到直线的距离即可求得三角形面积的最大值总结：(2) 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22. 已知函数(1) 当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2) 若，求的取值范围知识点：利用导数求曲线的切线方程（斜率）导数与单调性导数与极值利用导数求参数的取值范围导数的几何意义导数中不等式恒成立与存在性问题答案：(1) ，切点坐标为，函数在点处的切线方程为，即,切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为;(2) 解法一：，且设，则在上单调递增，即在上单调递增，当时，成立当时， ，存在唯一，使得，且当时，当时，因此,，恒成立；当时， ，不是恒成立综上所述，实数的取值范围是解法二：等价于，令，上述不等式等价于,显然为单调增函数，又等价于，即，令，则在上，单调递增；在上，单调递减，,即，的取值范围是解析：(1) 略(2) 略