第3课时：导数在函数中的应用[人教A版（2019）选择性必修第二册](4419).docx

第3课时：导数在函数中的应用人教A版（2019）选择性必修第二册(4419)1. 函数在区间上的取值范围为（ ）A. B. C. D. 知识点：导数与最值答案：A解析：由题得. 当时 在上单调递增， 故选.2. 做一个容积为的底面为正方形的长方体无盖水箱(水箱厚度忽略不计)，当所用材料最少时，它的高为（）A. B. C. D. 知识点：导数与最值利用导数解决实际应用问题答案：C解析：设水箱的底面边长为高为则所以.设所用材料的面积为则所以令解得所以当所用材料最少时，水箱的高为.故选.3. 函数的零点个数为（ ）A.    B. 或   C. 或   D. 或或知识点：利用导数解决函数零点问题函数零点个数的判定答案：A解析：由得因为方程的所以所以是上的增函数，又当时当时所以函数有且只有一个零点.故选.4. 已知是自然对数的底数，若函数的图象始终在轴的上方，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 知识点：导数中不等式恒成立与存在性问题答案：A解析：函数的图像始终在轴的上方对一切实数恒成立，令得当时，即在上单调递减，当即在上单调递增当时取得最小值由得实数的取值范围为.故选.5. 已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（ ）A. 当时在上单调递增B. 当时的图像在点处的切线方程为C. 当时在上至少有一个零点D. 当时在上不单调知识点：利用导数求曲线的切线方程（斜率）导数与单调性利用导数解决函数零点问题答案：A ； B ； D解析：当时. 当时在上单调递增. 的图像在点处的切线方程为故正确. 当时. 令则. 当时，在上单调递增，当时，在上无零点. 当时，在上单调递增，又，存在唯一使得. 当时，单调递减，当时单调递增，在上不单调，故错误正确. 故选.6. 已知函数其中为自然对数的底数则的零点个数为（ ）A.    B.    C.    D. 知识点：导数与单调性利用导数解决函数零点问题答案：C解析：由题意得当时当时 在上单调递减，在上单调递增，存在唯一的使得即在上存在唯一的零点存在唯一的使得即在上存在唯一的零点.综上有且只有两个零点.7. 若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 .知识点：利用导数求参数的取值范围利用导数解决函数零点问题答案：解析：因为 所以. 令得或 令得 所以函数的单调递增区间为单调递减区间为 所以当时，函数取得极大值，极大值为 当时函数取得极小值，极小值为. 因为函数仅有一个零点， 所以或 解得或. 故实数的取值范围是.8. 根据以往经验，某超市中的某一商品每月的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式其中.已知该商品的成本为元/千克，则该超市每月销售该商品所获得的利润(单位：元)的最大值为（）A. B. C. D. 知识点：利用导数解决实际应用问题答案：B解析：设该超市每月销售该商品所获得的利润为元， 则所以. 令得则在上单调递增；令得则在上单调递减.所以的最大值为. 故选.9. 如图，将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(容器厚度忽略不计).当这个正六棱柱的容积最大时，它的底面边长为（）A. B. C. D. 知识点：利用导数解决实际应用问题棱柱、棱锥、棱台的体积答案：B解析：设正六棱柱容器的底面边长为则正六棱柱容器的高为所以正六棱柱容器的容积 所以令解得(舍去)或则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值.故选.10. 已知函数，则（ ）A. ，函数在上均有极值B. ，使得函数在上无极值C. ，函数在上有且仅有一个零点D. ，使得函数在上有两个零点知识点：导数与极值利用导数解决函数零点问题答案：B ； C解析：由题意，对函数求导，得到，下面对各选项进行分析：对于A，若，则对任意恒成立，所以函数在上单调递增，即函数在上无极值，故A错误；对于B，由以上分析可知，故B正确；对于C，由上分析可知，时，函数在上单调递增，此时，易知，且，所以由函数零点存在性定理可知，函数在上有且仅有一个零点，下面分或两种情况进行考虑，且，若，令，即得，令，即得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，即，注意到，所以函数在上有且仅有一个零点，若，令，即得，所以函数在上单调递增，注意到，所以函数在上有且仅有一个零点，故C正确；对于D，由上对C的分析可知D错误故选BC.11. 已知函数若函数只有个零点，则函数在上的最大值为（ ）A. B. C. D. 知识点：导数与最值利用导数解决函数零点问题答案：D解析：由题意可知，关于的方程只有个实数根，因为所以.令则令解得故当时，当时所以.又关于的方程只有个实数根，所以函数的图像与直线只有个交点，所以 .故则当时，故函数在上单调递增，所以在上的最大值为 .故选.12. 已知函数若对任意的存在使得则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 知识点：指数（型）函数的单调性导数中不等式恒成立与存在性问题答案：A解析：由得.令解得或令解得或在上单调递减是函数在上的最小值为增函数，是函数在上的最小值对任意的存在使得即解得.故选.13. 已知当时的极大值为；若关于的方程在上有实根，则实数的取值范围是 知识点：导数与极值利用导数解决函数零点问题答案：； 解析：当时， 令可得或令可得 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为 令则函数在上单调递减，在上单调递增， 又 所以当时，函数的取值范围是 因为关于的方程在上有实根， 所以所以14. 某同学向王老师请教一道题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在上有零点”根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是 .知识点：利用导数解决函数零点问题答案：解析：由可得. 不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在使得 当且仅当时，等号成立，. 故实数的取值范围是.15. 已知函数.(1) 求函数在区间上的最大值和最小值;(2) 求出方程的根的个数.知识点：导数与最值利用导数求解方程解的个数答案：(1) 当变化时在区间上的变化情况如下表所示  单调递增单调递减单调递增由上表可知在区间上的最大值为最小值为(2) 当变化时的变化情况如下表所示单调递增单调递减单调递增由上表可知，当或时，方程有一个根当或时，方程有两个根当时，方程有三个根解析：(1) 略(2) 略16. 某高科技产品供不应求，其生产成本单位：万元与产量单位：台之间的关系为销售价格单位：万元台与产量之间的关系为记销售该高科技产品台获得的利润利润销售收入生产成本为万元(1) 求函数的解析式.(2) 当产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？知识点：利用导数解决实际应用问题答案：(1) 由已知可得.由解得故函数的定义域为.故.(2) 设则 .令可得；令可得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时取得最大值，且最大值为.故当产量为台时，利润最大，最大利润为万元.解析：(1) 略(2) 略17. 已知函数若对任意两个不等的正实数都有则实数的最小值为（）A. B. C. D. 知识点：导数与单调性利用导数求参数的取值范围答案：B解析：不妨设因为对任意两个不等的正实数都有所以即. 构造函数则所以在上单调递增， 所以在上恒成立，即对恒成立. 当时，因为所以故实数的最小值为. 故选.18. 已知函数.(1) 讨论函数的单调性；(2) 若函数有最小值证明：对恒成立.知识点：利用导数讨论函数单调性导数中不等式恒成立与存在性问题答案：(1) 由题可知，函数的定义域为. 当时对恒成立，所以此时在上单调递增；当时，令得令得所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时在上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增.(2) 证明：由（1）知，当时在上单调递增无最小值.当时在上单调递减，在上单调递增，所以所以则.令得令得所以在上单调递增，在上单调递减， 所以所以对恒成立.解析：(1) 略(2) 略