黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司哈师大附中哈师大附中 2021 级高三第二次调研考试数学试题级高三第二次调研考试数学试题（满分（满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）一、选择题（前分钟）一、选择题（前 8 个小题为单选题，每题只有一个选项，每题个小题为单选题，每题只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 40 分；后分；后 4 小题为多选题，每题不只有一个选项，每题小题为多选题，每题不只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）1.已知集合25,Ay yxxR，3log22,BxxxR，则AB（）A.27xx B.5x x C.57xxD.25xx 2.已知:02px，那么p的一个充分不必要条件是（）A 01xB.11x C.02xD.03x3.sin1230（）A.12B.12C.32D.324.已知2727a，2737b，27log 2c，则（）A.abcB.bacC.cbaD.cab5.若正数,x y满足63xy，则31yxy最小值为（）A 4B.98C.2 3D.26.已知函数 f x的定义域为R，其导函数为 fx，且 50 xfx，则下列关系一定正确的是（）A.3524fffB.4625fffC.050ffD.3725fff7.将函数 sin 206g xx图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 f x，函数 f x在区间0,上有且只有两个零点，则的取值范围为（）.的.第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.6 11,5 6B.6 11,5 6C.7 13,66D.7 13,6 68.我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若3AFEF，3AF ，则AFABAC ，则（）A.1519B.619C.919D.4 1919多选题（共多选题（共 4 个小题，每题不只有一个选项，每题个小题，每题不只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）9.如图所示是 yf x的导数 yfx的图象，下列结论中正确的有（）A.f x的单调递增区间是1,24,B.=1x是 f x极小值点C.f x在区间2,4上单调递减，在区间()1,2-上单调递增D.2x 是 f x极小值点10.若0a，0b，4ab，则下列结论正确的是（）A.2abB.228abC.221332abD.2243ab11.函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）的的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.函数21yfx的周期是2B.点5,03是函数 yf x的图象的对称中心C.函数 yf x在5,6上单调递减D.1f x 对于52,3x 恒成立12.已知定义在R上的奇函数 f x满足 2=fxf x，当0,1x时，f xx，定义符号函数1,0sgn0,01,0 xxxx，则下列结论正确的是（）A.sgnf x是奇函数B.2023sgn2023ffC.sgn211 kfk ZD.sgnf x关于直线3x 对称二、填空题（共二、填空题（共 4 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13.已知幂函数 2277mf xmmx为非奇非偶函数，则实数m _14.函数 12log4f xax在区间2,3上是单调递增，则实数a的取值范围是_15.已知向量a，b，2a，3b，a与b的夹角为23，则axb的值最小时，实数 x 的值为_16.在ABC中，3AB，3C，当3BCAC取最大值时，AC _三、解答题（共三、解答题（共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 18 至第至第 22 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分）17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点5,12A（1）求3sin22的值；第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）若0,2，0,2，4sin5，求cos的值18.已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB，12AA，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点 （1）求直线1BB与平面1AEC所成角的正弦值；（2）证明：直线/FC平面1AEC并且求出直线FC到平面1AEC的距离19.已知数列 na为等差数列，且2410aa，416S（1）求 na的通项公式；（2）数列 nb满足1113nnnnnbnaaN，数列 nb的前n项和为nS，求证：112nS 20.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sinsinsinsinabABcBC（1）求角 A 的大小；（2）若 D 为 BC 上一点，12BADBAC，3AD，求4bc的最小值21.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的渐近线为52yx，点55,2P在 C 上，直线:l ykxt与双曲线 C 相交于两点 M，N，线段MN的垂直平分线分别与 x，y 轴相交于 A，B 两点第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（1）若直线 l 过点0,1，且点 M，N 都在双曲线的左支上，求 k 的取值范围；（2）若AOB（O 为坐标原点）的面积为812，且0k，求 k 的取值范围22.已知函数 1elnxf xax（1）当1a 时，求曲线 yf x在 1,1f处的切线方程；（2）当0a，若不等式 lnfxaaa恒成立，求a的取值范围第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司哈师大附中哈师大附中 2021 级高三第二次调研考试级高三第二次调研考试数学试题数学试题（满分（满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟）一、选择题（前一、选择题（前 8 个小题为单选题，每题只有一个选项，每题个小题为单选题，每题只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 40 分；后分；后 4 小题为多选题，每题不只有一个选项，每题小题为多选题，每题不只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）1.已知集合25,Ay yxxR，3log22,BxxxR，则AB（）A.27xx B.5x x C.57xxD.25xx【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的值域与对数不等式的运算求解即可.【详解】5Ay y，33log2log 902927Bxxxxxx.故25ABxx.故选：D2.已知:02px，那么p的一个充分不必要条件是（）A.01xB.11x C.02xD.03x【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件定义，结合推出关系依次判断各个选项即可.【详解】对于 A，0102xx，0201xx，01x 是p的一个充分不必要条件，A 正确；对于 B，1102xx，0211xx，11x 是p的一个既不充分也不必要条件，B 错误；对于 C，0202xx，0202xx，20 x 是p的一个必要不充分条件，C 错误；对于 D，0302xx，0203xx，03x 是p的一个必要不充分条件，D 错误.故选：A.第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司3.sin1230（）A 12B.12C.32D.32【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】sin1230sin3604210sin210 1sin 18030sin302 故选：B4.已知2727a，2737b，27log 2c，则（）A.abcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】【分析】由幂函数、指数函数的单调性即可比较大小.【详解】一方面因为幂函数27yx在0,上单调递增，所以227723077ab，另一方面因为对数函数27logyx在0,上单调递减，所以2277log 2log 20c，结合以上两方面有：0cab.故选：D.5.若正数,x y满足63xy，则31yxy的最小值为（）A.4B.98C.2 3D.2【答案】A【解析】【分析】由已知等式可得31323yyxxyxy，利用基本不等式可求得结果.【详解】,x y为正数，63xy，.第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司3136332224333yyxyyxyxxyxyxyxy（当且仅当33yxxy，即1x，13y 时取等号），即31yxy的最小值为4.故选：A.6.已知函数 f x的定义域为R，其导函数为 fx，且 50 xfx，则下列关系一定正确的是（）A.3524fffB.4625fffC.050ffD.3725fff【答案】B【解析】【分析】根据 50 xfx可确定 f x单调性，并得到 max5f xf；由反例可说明 ACD 错误；根据单调性可说明 B 正确.【详解】50 xfx，当5x 时，()0fx；当5x 时，0fx；()fx在,5上单调递增，在5,上单调递减；又 f x在R上可导，()fx连续，max5f xf；对于 A，若 25exf x，满足 f x在,5上单调递增，在5,上单调递减，4413eef，05e1f，114eef，412351124eefff ，A 错误；对于 B，45ff，65ff，4625fff，B 正确；对于 C，若 251f xx，满足 f x在,5上单调递增，在5,上单调递减，024f，51f，05240ff，C 错误；对于 D，若 5eexf xx，满足 f x在,5上单调递增，在5,上单调递减，5333eef，5777eef，5555eef，第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 5373710eeeff，552510e2ef，又375ee2e，3725fff，D 错误.故选：B.7.将函数 sin 206g xx图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 f x，函数 f x在区间0,上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A.6 11,5 6B.6 11,5 6C.7 13,66D.7 13,6 6【答案】C【解析】【分析】利用函数的伸缩变换及三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，sin06f xx，因为0 x，所以666x，又因为函数 f x在区间0,上有且只有两个零点，所以26，解得71366，所以的取值范围为7 13,66.故选：C.8.我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若3AFEF，3AF ，则AFABAC ，则（）第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司A.1519B.619C.919D.4 1919【答案】A【解析】【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到21039AFABACAF ，化简整理可得,的值，从而求得结果.【详解】由3AFEF 知：3CEDE，3BDFD ；5333AFEFDFDEDBCECBCDCECBCE 5252210333339ABACAEACABACAFABACAF ，19293AFABAC ，961919AFABAC ，则919，619，9615191919.故选：A.【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.多选题（共多选题（共 4 个小题，每题不只有一个选项，每题个小题，每题不只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）9.如图所示是 yf x的导数 yfx的图象，下列结论中正确的有（）A.f x的单调递增区间是1,24,B.=1x是 f x的极小值点C.f x在区间2,4上单调递减，在区间()1,2-上单调递增D.2x 是 f x的极小值点【答案】BC【解析】【分析】利用导数正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.的第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由导函数的图象可知，当1x 或24x时，0fx；当12x 或4x时，()0fx；所以 f x的单调递增区间为()1,2-和4,，单调递减区间为,1 和2,4.故 A 错误，C 正确；所以1x=或4x 是 f x取得极小值点；故 B 正确；所以2x 是 f x取得极大值点；故 D 错误.故选：BC.10.若0a，0b，4ab，则下列结论正确的是（）A.2abB.228abC.221332abD.2243ab【答案】BD【解析】【分析】通过反例可说明 A 错误；由基本不等式可得 B 正确；将4ba代入 CD 选项中，将不等式左侧化为关于a的二次函数，结合a的范围和二次函数单调性可求得 CD 正误.【详解】对于 A，若2ab，则2 22ab，A 错误；对于 B，222 222 28ababa b（当且仅当2ab时取等号），B 正确；对于 C，4ab，40ba，04a，22222131721250abaaaa，221250yxx在0,3上单调递减，在3,4上单调递增，2212502 9 12 35032aa （当且仅当3a 时取等号），C 错误；对于 D，由 C 知：2222244816333aaabaa，248163yxx在0,3上单调递减，在3,4上单调递增，24481698 3 16433aa ，即2243ab，D 正确.故选：BD.11.函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司A.函数21yfx的周期是2B.点5,03是函数 yf x的图象的对称中心C.函数 yf x在5,6上单调递减D.1f x 对于52,3x 恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根据图象可确定 f x最小正周期和最小值，由此可得,A，利用726f 可求得，由此可得 f x；验证 2g xg x可知 A 错误；利用代入检验法可知 BC 正确；根据正弦型函数值域求法可知 D 正确.【详解】由图象可知：若 f x的最小正周期为T，则3734632T，34223T，21T；又 min2f x，0A，2A，772sin266f，732 62kkZ，解得：2 3kkZ，2，3，2sin3f xx；对于 A，设 212sin 213g xfxx，则2sin 212sin 211 2sin 222333g xxxx，第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 2g xg x，2不是 g x的周期，A 错误；对于 B，当53x 时，23x，此时 2sin20f x，5,03是 f x图象对称中心，B 正确；对于 C，当5,6x 时，2,332x，sinyx在2,32上单调递减，()fx在5,6上单调递减，C 正确；对于 D，当52,3x 时，54,333x，min53223132f xff，D 正确.故选：BCD.12.已知定义在R上的奇函数 f x满足 2=fxf x，当0,1x时，f xx，定义符号函数1,0sgn0,01,0 xxxx，则下列结论正确的是（）A.sgnf x是奇函数B.2023sgn2023ffC.sgn211 kfk ZD.sgnf x关于直线3x 对称【答案】ABD【解析】【分析】利用奇偶性和对称性可推导得到 f x是以4为周期的周期函数，并确定 f x的图象，结合图象可确定x位于不同范围时，f x的正负；由奇偶性定义依次验证 sgnf x与sgnfx的关系即可得到 A 正确；由周期性和符号函数的定义可求得 B 正确；通过反例可说明 C 错误；推导可得33f xfx，由此可知 D 正确.【详解】f x为奇函数，fxf x，图象关于原点对称；2fxf x，()fx关于1x 对称；的第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 22f xfxf x Q，42f xf xf xf x ，()fx是以4为周期的周期函数，结合当0,1x时，f xx可得 f x图象如下图所示，当4,42xkkkZ时，0f x；当42,4xkkkZ时，0f x；当2xk kZ时，0f x；对于 A，若4,420,xnnnnZ，0f x，sgn1 f x；42,40,xnnnn Z，0fx，sgn1fx，则 sgnsgnfxf x；若42,40,xnnnnZ，0f x，sgn1f x；4,420,xnnnn Z，0fx，sgn1fx，则 sgnsgnfxf x；当2xk kZ时，0f xfx，sgnsgn0fxf x；综上所述：sgnf x为定义在R上奇函数，A 正确；对于 B，20234 506 1111ffff ，sgn2023sgn11f，2023sgn2023ff，B 正确；对于 C，当21knnZ时，214331fkfnf，此时sgn21sgn11fk ，C 错误；对于 D，f x的周期为4，31f xf x，3341fxfxfx，又 f x为奇函数，11fxf x ，11f xfx，f x关于1x 对称，11f xfx，11fxf x，的第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即33f xfx，sgn3sgn3f xfx，sgn f x关于直线3x 对称，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够利用抽象函数关系式，确定 f x的对称性和周期性，从而结合函数图象来分析新定义函数的相关性质.二、填空题（共二、填空题（共 4 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13.已知幂函数 2277mf xmmx为非奇非偶函数，则实数m _【答案】32【解析】【分析】先由函数是幂函数求出m的值，再对m进行讨论即可.【详解】由题意函数 2277mf xmmx是幂函数，所以22771mm，即22760mm，解得2m 或32m，当2m 时，2f xx是偶函数，不满足题意，当32m 时，332f xxx，其定义域为0,，不关于原点对称，即 3f xx是非奇非偶函数，满足题意.故答案为：32.14.函数 12log4f xax在区间2,3上是单调递增，则实数a的取值范围是_【答案】40,3【解析】【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.【详解】12logyu在0,上单调递减，若 12log4f xax在2,3上单调递增，则4uax在2,3上单调递减且0u在2,3上恒成立，0430aa，解得403a，第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即实数a的取值范围为40,3.故答案为：40,3.15.已知向量a，b，2a，3b，a与b的夹角为23，则axb的值最小时，实数 x 的值为_【答案】13【解析】【分析】利用向量的数量积的定义及向量的模公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】因为2a，3b，a与b的夹角为23，所以21cos2 3332a ba b .所以22222212469933axbaxbaxa bx bxxx,当13x 时，axb的值最小.故答案为：13.16.在ABC中，3AB，3C，当3BCAC取最大值时，AC _【答案】7 1313【解析】【分析】用正弦定理将3BCAC转化求得最大值，根据3C用余弦定理联立方程组即可求解.【详解】设BCa，ACb，ABc，3c，3C，2sinsinsinabcABC，32sin6sinabAB，32sin6sin()abAAC，32sin6sin()3abAA，第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司35sin3 3cosabAA，32 13()abA，其中5cos2 13，sin0，cos0，2(0,)3A，当)22(ZAkk时3ab取最大值2 13，3C，2221cos22abcCab，2232 133122ababab，127 1313bb，即AC的值为7 1313.三、解答题（共三、解答题（共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 18 至第至第 22 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分）17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点5,12A（1）求3sin22的值；（2）若0,2，0,2，4sin5，求cos的值【答案】（1）119169 （2）6365【解析】【分析】（1）根据终边所过点可得sin,cos，利用诱导公式和二倍角余弦公式可求得结果；（2）根据角的范围和同角三角函数平方关系可求得cos，由coscos，利用两角和差余弦公式可求得结果.【小问 1 详解】第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司角的终边过点5,12A，221212sin13512 ，2255cos13512 ，2325119sin2cos21 2cos1 22169169 .【小问 2 详解】0,2，sin0，cos0，3,2；0,2，,02，3,22，23cos1 sin5 ，coscoscoscossinsin531246313513565 .18.已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB，12AA，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点 （1）求直线1BB与平面1AEC所成角的正弦值；（2）证明：直线/FC平面1AEC并且求出直线FC到平面1AEC的距离【答案】（1）2121 （2）证明见解析，直线FC到平面1AEC的距离为2 2121【解析】第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）以1D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；（2）根据0FC n ，由线面平行向量证明可得结论；将所求距离转化为点F到平面1AEC的距离，由点面距离的向量求法可求得结果.【小问 1 详解】以1D为坐标原点，11111,D A DC D D 正方向为,x y z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则1,0,2A，11,02E，10,1,0C，11,1,0B，1,1,2B，10,22AE，11,1,2AC ，10,0,2B B，设平面1AEC的法向量,nx y z，则1120220AE nyzAC nxyz ，令4y，解得：2x，1z，2,4,1n，111221cos,21221B B nB B nB Bn ，即直线1BB与平面1AEC所成角的正弦值为2121.【小问 2 详解】由（1）知：11,22F，0,1,2C，11,02FC ，10,02FA，11 240 102FC n ，FCn，又FC平面1AEC，/FC平面1AEC，直线FC到平面1AEC的距离即为点F到平面1AEC的距离，设该距离为d，的第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则22 212121FA ndn ，即直线FC到平面1AEC的距离为2 2121.19.已知数列 na为等差数列，且2410aa，416S（1）求 na的通项公式；（2）数列 nb满足1113nnnnnbnaaN，数列 nb的前n项和为nS，求证：112nS【答案】（1）21nan （2）证明见解析【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得1,a d，由此可得通项公式；（2）由（1）可得nb，采用裂项相消法可求得nS，进而分析得到结论.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为d，则2431411224104 3446162aaaadSadad，解得：112ad，12121nann.【小问 2 详解】由（1）得：11111132121421 321 3nnnnnbnnnn，12233411111111114 1 33 33 35 35 37 321 321 3nnnSnn111 11114 321 31284 3nnnn，11084 3nn，112nS.20.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sinsinsinsinabABcBC（1）求角 A 的大小；第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（2）若 D 为 BC 上一点，12BADBAC，3AD，求4bc的最小值【答案】（1）23A （2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）根据ABCABDACDSSS求出,b c的关系，再利用基本不等式即可得解.【小问 1 详解】因为sinsinsinsinabABcBC，由正弦定理得ababc bc，即222abbcc，222cbabc，所以2221cos22bcaAbc，又0,A，所以23A；【小问 2 详解】由12BADBAC，得123BADCADBAC，因为ABCABDACDSSS，所以1211sin3 sin3 sin232323bccb ，即3bccb，331bcbccb，所以33123123441515227bcbcbcbccbcbcb，当且仅当123bccb，即29cb时等号成立，所以4bc的最小值为27第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司21.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的渐近线为52yx，点55,2P在 C 上，直线:l ykxt与双曲线 C 相交于两点 M，N，线段MN的垂直平分线分别与 x，y 轴相交于 A，B 两点（1）若直线 l 过点0,1，且点 M，N 都在双曲线的左支上，求 k 的取值范围；（2）若AOB（O 为坐标原点）的面积为812，且0k，求 k 的取值范围【答案】（1）56,22 （2）5555,00,4224【解析】【分析】（1）利用双曲线的渐近线及点在双曲线上，将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，结合点在双曲线的左支的条件即可求解；（2）将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，再利用中点坐标公式及直线的点斜式方程，结合三角形的面积公式及一元二次不等式的解法可得答案.【小问 1 详解】52ba，且225514ab，2a，5b，故双曲线22:145xyC-=，设11,M x y，22,N xy，当直线 l 过点0,1时，1t，直线 l 的方程为1ykx，如图所示第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由221145ykxxy，得22548240kxkx，由2540k，226496 540kk，解得6622k且52k ，122854kxxk，1222454x xk因为点 M，N 都在左支上，10 x，20 x，1228054kxxk，12224054x xk，所以5622k所以 k 的取值范围为56,22【小问 2 详解】将ykxt代入22145xy并整理得2225484200kxktxt，由2540k，22284 544200ktkt ，得22540tk，122854ktxxk，212242054tx xk，设线段 MN 的中点为00,xy，则12024254xxktxk，002554tykxtk，所以线段 MN 的垂直平分线的方程为225145454tktyxkkk，所以 A 点的坐标为29,054ktk，B 点的坐标为290,54tk，因为AOB的面积为812，所以22199812 54542kttkk，整理得22254ktk，第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以22254540kkk，所以2245450kkk，解得502k或54k，所以 k 的取值范围为5555,00,4224 22.已知函数 1elnxf xax（1）当1a 时，求曲线 yf x在 1,1f处的切线方程；（2）当0a，若不等式 lnfxaaa恒成立，求a的取值范围【答案】（1）210 xy （2）0,1【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率 1f，结合 11f可得切线方程；（2）方法一：构造 lng xf xaaa，将问题转化为 0g x 恒成立；利用导数和零点存在定理可说明 g x的单调性，得到00012ln0 xxx；令 12lnu xxxx，利用导数可得 u x单调性，从而确定0 x的范围，再次构造函数 1e01xt xxx，利用导数可求得0t x的范围，即为所求的a的取值范围；方法二：采用同构法，将恒成立的不等式化为ln111eln1 eaxxxax，构造函数 1e0 xh xxx，利用导数求得 h x单调性，从而得到ln1xax，采用分离变量法可得1e0 xaxx，令 1e0 xu xxx，利用导数可求得 minu x，由此可得a的取值范围；方法三：由恒成立不等式可确定 11lnfaaa，构造函数 lnS aaaa，利用导数可求得 S a的单调性，结合 11S可求得a的范围为0,1；通过证明当0,1a时，lnf xaa恒成立和1a 时，不等式不恒成立可得到最终范围.【小问 1 详解】第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司当1a 时，1elnxf xx，则 11exfxx，01e12f ，又 01eln11f，yf x在 1,1f处的切线方程为：121yx，即210 xy.【小问 2 详解】方法一：令 1lnelnlnxg xf xaaaaxaaa，则 0g x 恒成立，g x的定义域为0,，1exagxx且0a；令 h xgx，则 12e0 xah xx，h x在0,上单调递增，即 gx在0,上单调递增，又11ee1011aaagaaa，11e101aagaa，0,11axaa，使得00gx，且当00,xx时，0gx；当0,xx时，0gx；g x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，0100minelnlnxg xg xaxaaa，由00gx得：010exax，00ln1lnxxa，010exax，000011110000000eelneeln1xxxxg xxxxxxx012000e1 2lnxxxx，012000e1 2ln0 xxxx，即00012ln0 xxx，令 12lnu xxxx，则 u x在0,上单调递减，又000012ln0u xxxx，10u，001x，设 1e01xt xxx，则 11 e0 xtxx，t x在0,1上单调递增，01t x，0100e1xx，又010exax，a的取值范围为0,1.第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司方法二：由 lnfxaaa得：1elnlnxaaaax，ln111e1 lnlnln1ln1 eaxxxaxaxaxaxax，当ln10ax 时，1e0ln1xxax在0a，0 x 时恒成立，0a；当ln10ax 时，设 1e0 xh xxx，则 ln1h xhax，11 e0 xh xx，h x在0,上单调递增，ln1xax，即1e0 xaxx，1e0 xaxx，令 1e0 xu xxx，则 121 exxuxx，当0,1x时，0ux；当1,x时，0ux；u x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，min11u xu，1a，又0a，01a；综上所述：实数a的取值范围为0,1.方法三：f x定义域为0,，lnfxaaa恒成立，11lnfaaa 必然成立；令 lnS aaaa，则 2lnSaa，当20,ea时，0Sa；当2e,a时，0Sa；S a在20,e上单调递减，在2e,上单调递增，又 11S，当10ea时，1 ln0S aaa，当01a时，ln1aaa；下面证明：当01a时，lnfxaaa恒成立.ln0aa，lnlnlnln1axaaaaxaax，11elnlneln1xxaxaaaax，令 1eln1xF xax，则 1exaFxx，令 G xFx，则 12e0 xaGxx，Fx在0,上单调递增，第 22 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司当1a 时，11exFxx，10F，当0,1x时，0Fx；当1,x时，0Fx；F x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，10F xF，1elnln0 xaxaaa恒成立，即 lnfxaaa恒成立；当01a时，110Fa，1e10aFa，0,1xa，使得00Fx，且当00,xx时，0Fx；当0,xx时，0Fx；F x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，0100eln1xF xF xax，由00Fx得：010exax，00lnln1xax，000001ln1lnaF xaaxaxaaaxx，0,1xa，0012xx，0001lnln1 ln0F xaxaaaaaaaax，00F xF x，1elnln0 xaxaaa恒成立，即 lnfxaaa恒成立；当1a 时，111 lnlnfaaaaa，显然不满足 lnfxaaa恒成立；综上所述：实数a的取值范围为0,1.【点睛】方法点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本方法有：1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得参数的取值范围；公众号：高中试卷君2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到自变量的大小关系；3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到a的一个取值范围，再证明在此范围时不等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.第 23 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司