吉林省长春市第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案.pdf

2024 届高三年级第二次调研测试数学学科试卷届高三年级第二次调研测试数学学科试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知p：2log1x，则p的充分不必要条件是（）A.2x B.02xC.01xD.03x2.已知正实数 a，b 满足196ab，则19ab的最小值是（）A.8B.16C.32D.363.已知函数22()lg(1)(1)1f xaxax的值域为 R则实数 a 的取值范围是（）A.51,3B.5(1,3C.5,1(,)3 D.5,11,)3 4.已知函数 21,1215,1xaxf xxaxx，对12,Rx x，12xx，满足1212()()()0 xxf xf x，则实数 a 的取值范围是（）A.13a B.13aC.512aD.512a 5.已知定义在 R 上的函数()f x满足()()0,(1)(1)fxf xf xfx，且当(1,0)x 时，41()log()2f xx，则172f（）A.12B.1C.12D.16.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，其对称中心 O 平分线段 MN，且2MNBC，点 E 为 DC 的中点，则EM EN （）吉林省长春市第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案A.3B.2C.32D.127.已知函数 2f xxm与函数 11ln3,22g xx xx 的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.5ln2,24B.52ln2,ln24C.5ln2,2ln24D.2ln2,28.将函数()cosf xx的图象先向右平移56个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1(0)倍，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，若函数()g x在3(,)22上没有零点，则 的取值范围是（）A.22 8(0,93 9B.2(0,9C.28(0,199D.(0,1二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设函数 sin23cos2f xxx，则下列结论正确的是（）A.f x的最小正周期为B.f x的图象关于直线12x对称C.f x的一个零点为3xD.f x的最大值为3110.下列说法中错误的为（）A.已知1,2a r，1,1b r，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3B.向量12,3e，213,24e 不能作为平面内所有向量的一组基底C.若/ab，则a在b方向上的正射影的数量为arD.三个不共线的向量OA，OB，OC，满足ABCABACBOAOBABCABACB 0CABCOCCABC ，则O是ABC的内心11.在现代社会中，信号处理是非常关键技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数 71sin2121iixfxi的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）A.函数 f x为周期函数，且最小正周期为B.函数 f x为偶函数C.函数 yf x的图象关于直线2x 对称D.函数 f x导函数 fx的最大值为 712.设函数 sin05fxx，已知 f x0,2有且仅有 5 个零点，则（）A.f x在0,2有且仅有 3 个极大值点B.f x在0,2有且仅有 2 个极小值点C.f x在0,10单调递增D.的取值范围是12 29,5 10三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若函数()yf x在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意1x，2x，nx都有12121nnxxxf xf xf xfnn，若函数()sinf xx在区间(0,)上是凸函数，则在ABC中，sinsinsinABC的最大值是_.14.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2221coscossinsinsin4ABCBC，且ABC的面积为2 3，则边a的值为_15.如图，在ABC中，3BAC，2ADDB，P 为 CD 上一点，且满足12APmACAB ，若ABC的面积为2 3，则AP 的最小值为_.的的在16.若函数()cossinf xabxcx的图象经过点0,1和,4a，且当0,2x时，2f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数 lnf xxxaxb在 1,1f处的切线为2210 xy.（1）求实数,a b的值；（2）求 f x的单调区间.18.已知函数 23cosf xx3sincos2xx(0)的最小正周期为.（）求函数 f x的单调递减区间；（）若 22f x，求x取值的集合.19.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB，AC 为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立游客接送点 M，N，从观景台 P到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得2AM 千米，2AN 千米 （1）求线段 MN 的长度；（2）若60MPN，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值20.已知函数 2lnf xxaxa x有两个极值点1x，2x.（1）求a的取值范围；（2）证明：1212242416ln2f xf xxx.21.设函数 sinxf xeaxb.（）当1a，0,x时，0f x 恒成立，求b的范围；（）若 f x在0 x 处切线为10 xy，且方程 2mxf xx恰有两解，求实数m的取值范围.22 已知函数 1sinexxf xx，,2x.（1）求证：f x在,2上单调递增；（2）当,0时，sinecossinxf xxxkx恒成立，求k的取值范围.的.2024 届高三年级第二次调研测试数学学科试卷届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美命题人：戴丽美 审题人：张伟萍审题人：张伟萍一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知p：2log1x，则p的充分不必要条件是（）A.2x B.02xC.01xD.03x【答案】C【解析】【分析】解出2log1x 的解集，p的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由2log1x 得02x，p的充分不必要条件是0,2的子集，C 符合，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.2.已知正实数 a，b 满足196ab，则19ab的最小值是（）A.8B.16C.32D.36【答案】B【解析】【分析】对196ab利用基本不等式求出1ab且96baab，把19ab展开得到=7919abab，即可求出最小值.【详解】因为正实数 a，b 满足196ab，所以19962abab，即1ab，当且仅当19=ab时，即1,33ab时取等号.因为196ab，所以96baab，所以919=9797916aababbba.故19ab的最小值是 16.故选：B3.已知函数22()lg(1)(1)1f xaxax的值域为 R则实数 a 的取值范围是（）A.51,3B.5(1,3C.5,1(,)3 D.5,11,)3【答案】A【解析】【分析】当函数的值域为R时，命题等价于函数22111yaxax的值域必须包含区间0，得解【详解】22()lg(1)(1)1f xaxax的值域为 R令22111yaxax，则22111yaxax的值域必须包含区间0，当210a 时，则1a 当1a 时，21yx符合题意；当1a 时，1y 不符合题意；当1a 时，222101410aaa ，解得513a513a，即实数a的取值范围是51,3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4.已知函数 21,1215,1xaxf xxaxx，对12,Rx x，12xx，满足1212()()()0 xxf xf x，则实数 a 的取值范围是（）A.13a B.13aC.512aD.512a【答案】D【解析】【分析】先判断 f x是 R 上的增函数，列关于实数 a 的不等式组，即可求得实数 a 的取值范围.【详解】由题意，得 f x是 R 上的增函数，则11141 215aaaa，解得512a，故选：D5.已知定义在 R 上函数()f x满足()()0,(1)(1)fxf xf xfx，且当(1,0)x 时，41()log()2f xx，则172f（）A.12B.1C.12D.1【答案】B【解析】【分析】根据函数()f x满足(1)(1)f xfx，得到(2)()fxf x，再结合()()0fxf x-+=，得到(4)()fxf x，即()f x的周期为 4，然后利用周期结合当(1,0)x 时，41()log()2f xx求解.【详解】因为函数()f x满足(1)(1)f xfx，所以(2)()fxf x，又因为()()0fxf x-+=，所以(2)()fxf x，所以(4)()fxf x，又因为(1,0)x 时，41()log()2f xx，则17118222fff，2421og1111112log12222log 422 lf.故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，其对称中心 O 平分线段 MN，且2MNBC，点 E 为 DC 的中点，则EM EN （）的A.3B.2C.32D.12【答案】A【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】24,2,1MNBCOMOE.EM ENEOOMEOON 22143EOOMEOOMEOOM .故选：A7.已知函数 2f xxm与函数 11ln3,22g xx xx 的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.5ln2,24B.52ln2,ln24C.5ln2,2ln24D.2ln2,2【答案】D【解析】【分析】由题可得 2ln3h xf xg xxxxm在1,22有零点，利用导数研究函数的性质进而可得20ln22mm，即得.【详解】原问题等价于 2ln3h xf xg xxxxm在1,22有零点，而 1123211h xxxxxx，1,1,02xh x，h x单调递减，1,2,0 xh x，h x单调递增，又 1512,2ln22,ln224hmhm hm，由1ln22可判断 122hh，因而 h x的值域为2,ln22mm，又 h x有零点，有20ln22mm，所以2ln2,2m.故选：D.8.将函数()cosf xx的图象先向右平移56个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1(0)倍，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，若函数()g x在3(,)22上没有零点，则 的取值范围是（）A.22 8(0,93 9B.2(0,9C.28(0,199D.(0,1【答案】A【解析】【分析】根据 y=Acos（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，根据定义域求出56x的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得 的取值范围【详解】函数()cosf xx的图象先向右平移56个单位长度，可得5cos6yx的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos6g xx的图象，周期2T，若函数()g x在3(,)22上没有零点，553526626x，35526262T，21，解得01，又522635226kk，解得3412323k，当 k=0 时，解2839，当 k=-1 时，01，可得209，22 8(0,93 9.故答案为：A.【点睛】本题考查函数 y=Acos（x+）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设函数 sin23cos2f xxx，则下列结论正确的是（）A.f x的最小正周期为B.f x的图象关于直线12x对称C.f x的一个零点为3xD.f x的最大值为31【答案】ABC【解析】【分析】先化简，得到 2sin 23f xx，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数 sin23cos22sin 23f xxxx.对于 A：f x的最小正周期为.故 A 正确；对于 B：2sin 2212123f，所以 f x的图象关于直线12x对称.故 B 正确；对于 C：2sin 20333f，所以3x是 f x的一个零点.故 C 正确；对于 D：函数 2sin 23f xx,所以 f x的最大值为 2.故 D 错误.故选：ABC10.下列说法中错误的为（）A.已知1,2a r，1,1b r，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3B.向量12,3e，213,24e 不能作为平面内所有向量的一组基底C.若/ab，则a在b方向上的正射影的数量为arD.三个不共线的向量OA，OB，OC，满足ABCABACBOAOBABCABACB 0CABCOCCABC ，则O是ABC的内心【答案】AC【解析】【分析】对于 A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于 0，且两向量不共线，计算即可；对于 B，由124ee，可知1e，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底；对于 C，利用向量投影的定义即可判断；对于 D，由0ABCAOAABCA ，点O在角A 的平分线上，同理，点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，进而得出点O是ABC的内心.【详解】对于 A，已知1,2a r，1,1b r，且a与ab的夹角为锐角，可得0aab，且a与ab不共线，1,2ab，即有1220，且212，解得53 且0，则实数的取值范围是53 且0，故 A 不正确；对于 B，向量，213,24e，124ee，向量1e，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故 B 正确；对于 C，若a b，则a在b上的投影为a，故 C 错误；对于 D，ABCAABCA 表示与ABC中角A 的外角平分线共线的向量，由0ABCAOAABCA ，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，所以，点O在角A 的平分线上，同理，点O在角B平分线上，点O在角C的平分线上，故点O是ABC的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数 71sin2121iixfxi的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）A.函数 f x为周期函数，且最小正周期为B.函数 f x为偶函数C.函数 yf x的图象关于直线2x 对称D.函数 f x的导函数 fx的最大值为 7的【答案】CD【解析】【分析】利用周期的定义可判断 A 选项的正误；利用奇偶性的定义可判断 B 选项的正误；利用函数的对称性可判断 C 选项的正误；求得函数 f x的导数，求出 fx的最大值，可判断 D 选项的正误.【详解】对于选项 A：因为7711sin21sin21 212121iiixiixf xii 7711sin21sin212121 iiixixf xii，即 f xf x，可知函数 f x的最小正周期不为，故 A 错误；对于选项 B：因为sinyx为奇函数，所以sinsinxx，所以 71sin21sin3sin5sin7sin9sin11sin13sin2135791113iixxxxxxxf xxi也是奇函数，故 B 错误；对于选项 C：因为7711sin21sin21 212121iiixiixfxii 7711sin21sin212121 iiixixf xii，即 fxf x，所以函数 yf x的图像关于直线2x 对称，故 C 正确；对于选项 D：因为 sin3sin5sin7sin9sin11sin13sin35791113xxxxxxf xx，所以 coscos3cos5cos7cos9cos11cos13fxxxxxxxx，因为cos,cos3,cos5,cos7,cos9,cos11,cos13xxxxxxx的取值范围均为1,1，可知 7fx，当0 x 时，07f，所以 fx的最大值为 7，所以 D 正确故选：CD12.设函数 sin05fxx，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，则（）A.f x在0,2有且仅有 3 个极大值点B.f x在0,2有且仅有 2 个极小值点C.f x在0,10单调递增D.的取值范围是12 29,5 10【答案】ACD【解析】【分析】由 f x在0,2有且仅有 5 个零点，可得265 可求出的范围，然后逐个分析判断即可.【详解】因为 sin05fxx在0,2有且仅有 5 个零点，如图所示，所以265 ，所以1229510，所以 D 正确，对于 AB，由函数sinyx在,255上的图象可知，f x在0,2有且仅有 3 个极大值点，有 3个或 2 个极小值点，所以 A 正确，B 错误，对于 C，当0,10 x时，,55 105x，因为1229510，所以491051002，所以,5 1050,2，所以 f x在0,10单调递增，所以 C 正确，故选：ACD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若函数()yf x在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意1x，2x，nx都有12121nnxxxf xf xf xfnn，若函数()sinf xx在区间(0,)上是凸函数，则在ABC中，sinsinsinABC的最大值是_.【答案】3 32#332【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sinsinsin)sin()33ABCABC即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：13(sinsinsin)sin()sin3332ABCABC，3 3sinsinsin2ABC，当且仅当3ABC时等号成立.故答案为：3 32.14.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2221coscossinsinsin4ABCBC，且ABC的面积为2 3，则边a的值为_【答案】2 6【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理可得22sinsinsinbcaBCA，结合ABC的面积求出边a的值.【详解】解：222coscossinsinsinABCBC，2221 sin1 sinsinsinsinABCBC，即222sinsinsinsinsinBACBC，由正弦定理角化边得222bacbc，2221cos222bcabcAbcbc，由正弦定理sinsinsinabcABC，22sinsinsinbcaBCA即221sin43bca，化简得23abc，又ABC的面积为1sin2 32ABCSbcA8bc224a解得62.a 故答案为：2 6.15.如图，在ABC中，3BAC，2ADDB，P 为 CD 上一点，且满足12APmACAB ，若ABC的面积为2 3，则AP 的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】用,AC AB 表示,CD PD ，利用这两者共线可求m，求出2AP 后利用基本不等式可求其最小值.【详解】因为2ADDB，故23ADAB，所以23CDADACABAC ，而211326PDADAPABmACABABmAC ，因为CD 与PD 为非零共线向量，故存在实数，使得2136ABACABmAC ，故14,4m，所以1142APACAB ，所以2221111+216482APACABACAB ，由ABC的面积为2 3可得132 322ACAB，故8ACAB，所以22211112641316464APACAB ，当且仅当4,2ACABuuu ruuu r时等号成立.故min3AP，故答案：3.【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.16.若函数()cossinf xabxcx的图象经过点0,1和,4a，且当0,2x时，2f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.【答案】0,42 2【解析】【分析】先根据 01,4ffa将,b c转化为a来表示，由此化简 f x的解析式，对a进行分类讨论，根据 2f x 恒成立列不等式来求得a的取值范围.【详解】因为 f x经过点0,1和,4a，所以(0)1fab，22422fabca，可得1bca，故()(1)cos(1)sin(1)(sincos)2(1)sin4f xaaxaxaaxxaax.因为02x，所以3444x，所以2sin124x，为当1a时，10a，可得12(1)sin2(1)4aaxa，所以1()2(1)f xaa，要使2()2f x恒成立，只要2(1)2aa，即0a，又1a，从而01a；当1a 时，()12,2f x ；当1a 时，10a，所以12(1)sin2(1)4aaxa，所以1()2(1)f xaa，要使2()2f x恒成立，只要2(1)2aa，解得42 2a，又1a，从而142 2a.综上所述，a 的取值范围为042 2a.故答案为：0,42 2【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中 2f x 恒成立，就转化为 f x的值域，也即三角函数的值域来进行求解.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数 lnf xxxaxb在 1,1f处的切线为2210 xy.（1）求实数,a b的值；（2）求 f x的单调区间.【答案】（1）012ab（2）减区间为1(0,),e增区间为1(,)e【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算 f（1），f（1）可求出 a，b 的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；【详解】（1）依题意可得：122(1)10(1)2ff 即()lnf xxxaxb()ln1f xxa 又函数()f x在(1,(1)f处的切线为2210 xy，1(1)2f(1)111(1)2fafab 解得：012ab（2）由（1）可得：f（x）1+lnx，当10 xe，时，f（x）0，f（x）单调递减；当1xe，时，f（x）0，f（x）单调递增，f x的单调减区间为1(0,),e f x的单调增区间为1e，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题18.已知函数 23cosf xx3sincos2xx(0)的最小正周期为.（）求函数 f x的单调递减区间；（）若 22f x，求x取值的集合.【答案】（1）函数 f x 的单调递减区间为7,1212kkkZ；（2）x取值的集合为5,2424xkxkkZ.【解析】【详解】试题分析：（）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简 23f xsinx，利用正弦函数的单调性解不等式3222,232kxk即可求得函数 f x的 单 调 递 减 区 间；（）22f x，即2sin 232x，由 正 弦 函 数 的 性 质 得3222,434kxkkZ，化简后，写成集合形式即可.试题解析：（）233133cossincos1 cos2sin22222f xxxxxx31cos2sin2sin 2223xxx，因为周期为22，所以1，故 sin 23f xx，由3222,232kxkkZ，得7,1212kxkkZ，函数 f x 的单调递减区间为7,1212kkkZ，（）22f x，即2sin 232x，由正弦函数得性质得3222,434kxkkZ，解得5222,1212kxk所以5,2424kxkkZ，则x取值的集合为5,2424xkxkkZ.19.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB，AC 为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立游客接送点 M，N，从观景台 P到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得2AM 千米，2AN 千米 （1）求线段 MN 的长度；（2）若60MPN，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值【答案】（1）2 3千米 （2）4 3千米【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）在AMN中，利用余弦定理运算求解；（2）在PMN中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得4 3sin6PMPN，进而可得结果.【小问 1 详解】在AMN中，由余弦定理得，2222cosMNAMANAM ANMAN，即2221222 2 2122MN ，可得2 3MN，所以线段 MN 的长度2 3千米【小问 2 详解】设20,3PMN，因为3MPN，所以23PNM，在PMN中，由正弦定理得sinsinsinMNPMPNMPNPNMPMN，因为sinMNMPN2 34sin3，所以24sin4sin,4sin4si3nPMPNMPNPMN，因此4si2n4s3inPMPN314cossin4sin226sin2 3cos4 3sin6，因为203，所以6566，所以当62，即3时，PMPN取到最大值4 3千米20.已知函数 2lnf xxaxa x有两个极值点1x，2x.（1）求a的取值范围；（2）证明：1212242416ln2f xf xxx.【答案】（1）8a （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为220 xaxa在0,上有两个实数根1x，2x，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合1212,22aax xxx，代入化简式子，将问题转化 2ln2416ln242aag aaa，利用导数即可求解.【小问 1 详解】222axaxafxxaxx,f x有两个极值点1x，2x，则 0fx在0,上有两个实数根1x，2x，所以220 xaxa在0,上有两个实数根1x，2x，则21212800202aaax xaxx解得8a，故a的取值范围为8a，【小问 2 详解】由（1）知1212,22aax xxx，且8a，2212111222121224242424lnlnf xf xxaxa xxaxa xxxxx2121212121212242lnxxxxx xa xxa x xx x22ln24ln2442242aaaaaaaaaa，令 2ln24(8)42aag aaaa，ln22aaga，令 112ln,02222aaah agah aaa 在8a 上恒成立，为所以 ln22aah aga 在8a 单调递减，故 ln84ln4022aagag ，因此 g a在8a 单调递减，故 81688ln42416ln2g ag ，故 2ln2416ln242aag aaa，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.设函数 sinxf xeaxb.（）当1a，0,x时，0f x 恒成立，求b的范围；（）若 f x在0 x 处的切线为10 xy，且方程 2mxf xx恰有两解，求实数m的取值范围.【答案】（I）1b （II）10me【解析】公众号：高中试卷君【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于 0 即可；（2）根据切线得到0a，2b ，方程22xmxex有两解，可得22xxexmx，所以xxem有两解，令 xg xxe，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数 y=m，和 xg xxe有两个交点即可.解析：由 sinxf xeaxb，当1a 时，得 cosxfxex.当0,x时，1,cos1,1xex，且当cos1x 时，2,xkkN，此时1xe.所以 cos0 xfxex，即 f x在0,+上单调递增，所以 min01f xfb，由 0f x 恒成立，得10b，所以1b .（2）由 sinxf xeaxb得 cosxfxeax，且 01fb.由题意得 001fea，所以0a.又0,1 b在切线10 xy 上.所以0 110b .所以2b .所以 2xf xe.即方程22xmxex有两解，可得22xxexmx，所以xxem.令 xg xxe，则 1xgxex，当,1x 时，0gx，所以 g x在,1 上是减函数.当1,x 时，0gx，所以 g x在1,上是减函数.所以 min11g xge.又当x 时，0g x；且有 10ge.数形结合易知：10me.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22.已知函数 1sinexxf xx，,2x.（1）求证：f x在,2上单调递增；（2）当,0时，sinecossinxf xxxkx恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）12k 【解析】【分析】（1）求出函数()f x的导数，判断导数在,2的取值范围，从而证明()f x的单调性；（2）由题意可得1 cossinxxkx，分离参数得到 1 cossinxxkx，求出1 cos()sinxxg xx 导数，判断其单调区间，找出最小值即可.小问 1 详解】1sinexxf xx，,2x，2cosexxfxx，由,0 x，有22x，11ex，则22exx，又1cos1x，则 2cos120exxfxx .当0,2x时，cos0 x，20 x，所以 2cos0exxfxx 所以当,2时，()0fx，综上，f x在,2上单调递增.【小问 2 详解】sinecossinxf xxxkx.化简得1 cossinxxkx.当,0 x 时，sin0 x，所以1 cossinxxkx，设 1 cossinxxg xx，221 sinsincos1 cossin1coscossinsinxxx xxxxxxgxxx 设 sin1coscosh xxxxx，coscossinsin1 sinh xxxxxxxx.,0 x，10 x ，sin0 x，0h x h x在,0上单调递增，又由02h，所以当,2x 时，0h x，0gx，g x在,2上单调递减；当,02x 时，0h x，0gx，g x在,02上单调递增，所以 min121212gxg，【故12k .【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若 g xk恒成立，即 ming xk；在定义域内，若 g xk恒成立，即 maxg xk.