奥数题型与解题思路11~20讲.doc

奥数题型与解题思路1120讲11、有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。）“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”-“”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7”，读作“千分之七”。【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n（1a10，n是整数）”的形式。例如：25700，把小数点向左移动四位，得12.5710，但2.57比25700小了10000倍，所以25700=2.57×104。0.00867，把小数点向右移动三位，得18.6710，但8.67比0.00867大了1000倍，所以 【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。四舍五入法省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。去尾法要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。进一法省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.59721.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。由161÷7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。所以，161是合数，而不是质数。由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷17=1110，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：197是质数，而不是合数。因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。假定有，商也一定比11小。这就是说，197同时还要有比11小的约数。但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求2940、756和168的最大公约数： 2940=22×3×5×72，756=22×33×7，168=23×3×7；（2940，756，168）=22×3×7=84。注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是84”。（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。（3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。例如，求792和594的最大公约数。（792，594）=（792-594，594）=（198，594）=（594-198，198）=（198，396）=（198，396-198）=（198，198）=198，（792，594）=198。用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公约数。例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。（1260，1134，882，1008）=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）=（126，126，882，252）=（126，126，882-126×6，252-126）=（126，126，126，126）=126，（1260，1134，882，1008）=126。（4）辗转相除法（欧几里得算法）。用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。例如，求437和551的最大公约数。具体做法是：先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外， 并求得余数为114。（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。又如，求67和54的最大公约数，求法可以是由余数可知，67和54的最大公约数是1。也就是说，67和54是互质数。辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的九章算术上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。求一组分数的最大公约数的方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a；（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b； 再求出三个分母的最小公倍数，得72；然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。例如，求120、330和525的最小公倍数。120=23×3×5，330=2×3×5×11，525=3×52×7；120，330，525=23×3×52×7×11=46200注：“120，330，525=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍数是46200”。（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。（3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即a·b=（a，b）·a，b所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即例如，求42，105。若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。例如，求300，540，160，720300，540，160，720=21600【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。求一组分数的最小公倍数，方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；再求各分数分子的最小公倍数，得35，21，56=840；然后求各分数分母的最大公约数，得（6，8，9）=1【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：（1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9，“9”的个数同循环节的位数相同。（2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。【分数化有限小数判断法】若进一步研究，它又有以下的三种情况：5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。这里，又有以下的两种情况：和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列9，99，999，9999，各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。分母37去除9，99，999，9999，能整除的最小的数是999，即99937（即“999能被37整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37能整除999”）也可以表示为37999（即“37能整除999”，“”也是整除符号；亦可逆读为“999能被37整除”。）这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个：=0.513以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列9，99，999，9999，各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。质因数11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是3个（最高乘方23的指数为3），循环部分的循环节数字是两个（1199，“9”的个数为2个）：概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：（1）若分母只含质因数2，5，则化得的小数是有限小数；（2）若分母不含质因数2，5，则化得的小数是纯循环小数；（3）若分母既含质因数2，5，又含2和5以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。求法是例如，用白糖（溶质）1千克，开水（溶剂）4千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是用对称关系找约数【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。方法是：（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如，找出36的全部约数：因为36=62，6是所有约数的“中心数”。比中心数6小的约数很容易找到，它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应）、12（与3对应）和9（与4对应）。如下图（图4.7）：（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出102的全部约数：因为102102112，所以可选10或11为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数小的所有约数1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数102、51、34、17。如下图（图4.8）：（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。）【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如求24和36的最小公倍数。如图4.9：24和36的最小公倍数是24×3=72，或36×2=72。这样做的道理很简单。因为所以，用24乘以36独有的质因数3，或者用36乘以24独有的质因数2，都能得到24与36的最小公倍数72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。如图4.10：20和12的最小公倍数是20×3=60，60和18的最小公倍数是60×3=180，20、12和18三个数的最小公倍数便是180。如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的最小公倍数；或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求三个数的最小公倍数，也是可以的。12、用补充数速算末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（1002）、（501）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫做 98的“大约强数”，2叫做 98的“补充数”；50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如（1）38799=387（1001）=3871001=486168089=1680-（10011）=1680100+11=1580+11=15914365-997=4365-（1000-3）=4365-10003=336869×9=69×（10-1）=690-69=62169×99=69×（100-1）=6900-69=683187×98=87×（100-2）=8700-87×2=8700-200+26=852613、一般应用题【和差的问题】例1 六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人。四个班的总人数是_。（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1人。则乙、丙两班总人数的3倍就等于（131+134-l）=264人。所以，乙、丙两班共有246÷3=88（人）。然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为88+89=177（人）。例2 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，因此，其它年级的画共有_幅。（1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：由“16幅画不是六年级的，15幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多1幅画。所以六年级共有12幅画。然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即3幅。例3 甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有100个故事。每人都认某一个故事开始按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有_个。（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事按顺序往后读,所以甲读了75个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面12个故事。故答案是12个。例4 某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（ 1人1天为1个工作日），且无 1人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共_人。(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。）讲析：到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为 240×30=7200（个）。而8070-7200=870（个）。可知这870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a人做29天，a人做28天，a人做27天，a人做1天。所以，（1+29）×a×29÷2=870，可解得a=2。故，共派到分厂的工人为2 × 30= 60（人）。【积商的问题】例1 王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。改进技术前后每小时加工多少个零件？（1989年小学生数学报小学数学竞赛决赛试题）讲析：改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18÷（2.5-1）=12（小时）。原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时）于是，改进前每小时加工的便是1500÷30=50（个），改进后每小时加工的便是1500÷12=125（个）。例2 现有2分硬币、5分硬币各若干个，其中2分的比5分的多24个，如果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6个。原来两种硬币各有多少个？（1993年“光远杯”小学数学竞赛试题）讲析：我们用方程来解，设原来有x个5分的硬币；则2分硬币共有（x+24）个。由题意得：2（x+24）÷5=x-6。解得：x=26，即5分币有26个。于是，2分币便有26+24=50（个）循环小数【循环小数化分数】小学数学竞赛试题）讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与数推出？（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）讲析：循环节有6位数字。而（89-3）÷6=14余2。即小数点后第89位以后的数是230769循环。【循环小数的计算】（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得例2 图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位_。（1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。它有四种：9.291892915，9.189291592，9.291592918，9.159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是9.291892915。再考14、旋转变换【旋转成定角】例如下面的题目：“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大（8×2）×（8×2）÷2=16×16÷2=128（平方厘米）又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是42×3.14÷2-（4+4）×4×2=25.12-16=9.12（平方厘米）又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2=6.28-2=4.28（平方厘米）15、小数和分数【小数问题】例1 某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_。（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。所以，原数为25.65÷9=2.85。例2 甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是_。（1993年广州市小学数学竞赛试题）讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。所以，乙数是171.66÷（10+1）=15.6，甲数是15.6。例3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是_。（1990年小学生报小学数学竞赛试题）讲析：因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.44÷99=1.56可知，这个整数是156。【分数问题】（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析： 20×11+2=222，15×11=165。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。c，则三个分数的和为6。求这三个真分数。（第三届从小爱数学邀请赛试题）因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。故三个真分数分别是例4 地同时满足下列条件的分数共有多少个？（2）分子和分母都是质数；（3）分母是两位数。请列举出所有满足条件的分数。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）讲析：100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。所以，符合条件的分数有12个：16、特殊解题方法【穷举法】 解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图328）分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。解：3×412答：共有12条路线。例2 如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_个。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。4×（123）24 （512）×3246×（32l）24 7×3十豆十2248×3×（21）24 9×3122410×2l324 11×23l2412×（312）24通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。答：可用的数有9个。例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_个三位数，其中能被5整除的三位数有_个。（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）分析：根据题中所给的数字可知：三位数的百位数只能有三种选择：十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。305， 307， 350， 357， 370， 375；503， 507， 530， 537， 570， 573；703， 705， 730， 735， 750， 753答：能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。例4 数一数图330中有多少个大小不同的三角形？分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成A、B、C、D四类。A类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形16个；B类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上，一个尖朝下。C类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形3个，尖都朝上。D类：是最大的三角形，图中只有1个。解：1673127（个）答：图中有大小不同的三角形共27个。【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知，就给单位“1”设具体数值。例1 判断下列各题。（对的打，错的打×）（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。（ ）（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ）以上各数的倒数都小于1，就能猜测此题的说法是正确的。第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。由上表看出，正方体的棱长扩大2倍，体积扩大8倍；棱长扩大4倍，体积扩大64倍这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。几分之几？分析：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为60人。男生人数则为女生人数比男生人数少几分之几，则为解：通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。 分析：这道题似乎条件不够，不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系，给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。假设去时每小时走20千米，那么A、B两地的路程就是：沿原路回家的速度则为：回家时所需的时间则为：解：把全路程看作单位“1”。例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40，甲校女生数是甲校学生数的30，乙校男生数是乙校学生数的42，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是_。（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷）分析：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单位“ 1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。若假定乙校学生为500人，则甲校学生为：500×40= 200（人）由甲校女生数是甲校学生数的30，则甲校女生数为：200×30=60（人）由乙校男生数是乙校学生数的42，则乙校女生数为：500×（1-42）=290（人）两校学生总数为：500200=700（人）两校女生总数为：60290=350（人）则两校女生总数占两校学生总数的百分比为：350÷700=50解：500×40×30500×（1-42）÷（500200）=60+290 ÷700=350÷700=50或40×30+（1-42）÷（140）=50答：两校女生总数是两校学生总数的50。例7 如图3.32，正方形面积为20平方厘米，求阴影部分的面积。分析：一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径，再求圆面积，然后用正方形的面积减去圆面积，即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为1，运用小学的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几，再计算阴影部分的面积。设正方形的边长为1，正方形的面积则为：12=1圆的半径则为：圆面积占正方形面积的百分比为：阴影部分的面积占正方形面积的百分比为1-78.5=21.5由此可知阴影部分的面积为20×21.5=4.3（平方厘米）解：设正方形的边长为1，则阴影部分的面积为=20×21.5=4.3（平方厘米）答：阴影部分的面积为4.3平方厘米。注意：如果把正方形的边长设为其它数，计算的结果都是相同的。【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。例如，分数和比都含有相除的意义，我们根据除法的商不变性质，类推出分数的基本性质和比的基本性质。在解答数学题时，遇到问题A和问题B有许多类似的属性，见到问题B时就会联想到问题A，于是可以用解决问题A的办法去解决问题B，或者用解决问题B的办法去解决问题A。例1 从时针指向3点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？分析：此题与追及问题相类似。如果把钟面上1分钟的距离作为1格，则1小时分针走60格，时针走5格。那么分针走1格，经过多少时间分针与时针重合，实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。例 2 A、B、C、D、E、F、G7个站，每两站间都是相隔 600米。问从A站到G站的路程是多少米？分析：不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200（米）。此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似，把7个站看成7棵树，根据段数比棵树少1的道理解答此题。解：600×（7-1）=3600（米）答：从A站到G站的路程是3600米。例3 王老师为学校购买音乐器材。他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴，如果他买了6台手风琴后，把剩下的钱全部买提琴，可以买多少把提琴？分析：题中没有给出王老师带了多少钱，以及提琴和手风琴的单价等条件，怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢？可是仔细一想，便可发现此题与工程问题相似。如果把王老师一共带的钱数看作“ 1”，则每台手风琴