第十五届中环杯小学数学五年级决赛详解.docx

第 15 届中环杯决赛试题解析（五年级）一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）：13731+ 6 + 49´11+ 3151. 计算：´= _.20151171+5【答案】 2解答】11+ 6 + 43739´11+ 315´20151171+5313131+99 + 31517=´201511+57æè11 ö7 ø31´ç1+÷1305=´53´13´3115171+2´31= 212. 老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多 20 道。若两人收到的题目数量之比为 4:3，则小明回家需要完成_道题目。【答案】80【解答】设小明收到了 道题目，则小王收到了3x 道题目，根据题意4x4x -3x = 20 Þ x = 20 ，所以小明需要完成 4x = 4´20 = 80道题目。3. 如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分面积之差为_（大减小）。 14【答案】解答】如下图， A,B 与C,D 抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角1三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是4【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式ACBD4. 在一组英文字母串中，第一个字母串 a = A 、第二个字母串 a = B ，之后每个字母串12(³ 3)都是由 an-1 后面跟着的反转构成的。比如=（我们用 表示 的a3 a2 a BAa nan-2aiain1反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如 ABB = BBA、），AABA = ABAA，。那么，这组字母串的前1000a = a a = BAB a = a a = BABAB a = a a = BABABBAB432543654个中，有_个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往左读相同，比如 ABA 、 AABAA）【答案】676解答】通过尝试，我们发现只有 a 、 a 、 a 、 L、 a999 不是回文字母串，别的L369都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的个都是回文字母串。1000 -333 = 667 接下来严格证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）：假设 an = P ， an+1 = Q ，那么，。由于在 两边 与 可以保证其an+2 = QP an+3 = QPQPQQ回文特性，最后 an+3 是否为回文字母串就取决于 的情况。如果 a = P 为回文字母Pn串，那么 an+3 = QPQ也是回文字母串；如果 an = P 不是回文字母串，那么 an+3 = QPQ也不是回文字母串。考虑到 a 、 a 都是回文字母串，所以 a ,a ,L,a 与 a ,a ,L,a9981247100058都是回文字母串。而 a = BA不是回文字母串，所以 a ,a ,L,a 不是回文字母串。至369999此，已经证明了前面的猜测。5. 如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（这三个圆的圆心构成等边三角形）顺时针旋转120o ，这样称为一次操作。比如可以将 A,B,D 进行旋转，从而 B 出现在原 D 的位置（用 B ® D 表示这个旋转）， D ® A， A® B 。也可以将 D,E,F进行旋转（ D ® E ， E ® F ， F ® D ），但是不能将 A,D,G 或者C,B,E 进行旋转。经过若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作_次。EFCEABCAFDBDGG【答案】 3解答】由于除了G 以外，外围的5 个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改变外围 2 个圆中的字母位置，所以至少需要3次。如下图，第一次旋转(F,D,E) ，第二次旋转(A,B,F )，第三次旋转(E,C,B)CEACDACDFEFFDBEFBEBABCAGGGDG 6. 我们用 Sk 表示一个首项为 k ，公差为 k2的等差数列，比如 S3 为3、12 、21 、×××。如果_。06是 Sk 中的一项，满足条件的 k 之和为_3【答案】326【解答】由于 Sk 的首项为 k ，公差为 k2，所以其中的某一项可以表示为k + mk2 = k(1+ mk)。如果306是 Sk 中的一项，则 k (1+ mk)= 306 Þ k | 306 。由于306 = 2´32 ´17，满足条件的 k =1、 2 、17 、306（注意，当 k ¹ 306 时， k <1+ mk ；当k = 306时，m = 0），所以这些数之和为1+ 2 +17 + 306 = 3267. 下图的三角形网格中，有_条直线能正好经过其中的两个点【答案】60解答】首先，这里一共有 19 个点，所以会产生C1条直线。然后我们将其中29=171通过超过 2 个点的直线数量减去，就得到最后的答案了。（1）通过 3 个点的直线有 15 条，如下图所示，一共导致15´C 条直线不满足要求23（2）通过 4 个点的直线有 6 条，如下图所示，一共导致6´C 条直线不满足要求24 （3）通过 5 个点的直线有 3 条，如下图所示，一共导致3´C 条直线不满足要求25综上所述，本题的答案为171-15´C - 6´C - 3´C =171- 45 - 36 - 30 = 602324258. 如图，直角 DABC 中， AB = 3, AC = 4 ，点 D、E、F、G、H、I 都在长方形 KLMJ 上，且ABED、ACHI、BCGF 都是正方形。则 KLMJ 的面积为_。JIDHAEMCGBKFL【答案】110解答】如下图，进行切割后，得到弦图 ANLO ，所以得到四个相同的三角形：1DABC 、 DNFB、 DLGF 、 DOCG ，面积均为 ´3´ 4 = 6 ，然后三个正方形的面积之和2为9 +16 + 25 = 50 ，三个矩形的面积均为3´4 =12，所以总面积为4´6+50+12´3=24+50+36=110 JIDHOAEMCGBKNFL二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）：9. 计算：(104)()_.-94+84-74+L+24-14+102+92+5´82+5´72+9´62+9´52+13´42+13´32=【答案】7615ì-102 10 9 10 9 102= (102 - )´( + )= ( - )´( + )´( + )=19´(102 + )1049492929292ïï()()()()()()84-74=82-72´82+72=8-7´8+7´82+72=15´82+72ï【解答】由于íïLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLï)()()()(24-14=(22-12´22+12=2-1´2+1´22+12)=3´(22+12)ïî所以(104) (- 9 + 84 - 74 +L+ 24 -14 + 102 + 92 + 5´82 + 5´ 72 + 9´ 62 + 9´52 +13´ 42 +13´32)4()()()ù=+=é19´102+92+15´82+72+L+3´22+12ëûé(+)+´(+)+´(+)+´(+)+´(+)ù-´(+)102925827296252134232172212172212ëû()()20´ 102 + 92 +L+ 22 +12 -17´ 22 +121=20´ ´10´11´ 21-17´56761510.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发（甲从 A 出发），相向而行，在两地之间不停地往返行走，甲的速度是乙的 4 倍。已知 A、B 之间相距 S 千米，其中 S 为正整数，并且S 有 8 个因数。第一次两人在C 处碰头（注意：这里的碰头可以指迎面相遇，也可以指背后追到），的长度是一个整数；第二次两人在 D 处碰头， AD 的长度还是一个AC 整数；第二次碰头后，乙感觉自己速度太慢，所以在 D 处附近的村子问老乡借摩托车。等他借到摩托车回到 D 处时，甲已经到达 E 处（甲还没有到过 A 地）， AE 的长度又是一个整数；最后，乙骑着摩托车去追甲，摩托车的速度是甲速度的 14 倍，两人同时达到 A 地。那么， A、B 两地相距_千米。【答案】105解答】由于甲的速度是乙的 4 倍，所以第一次碰头时， AC = S 。根据题意，445【S5为整数，所以5| S；还是由于甲的速度是乙的 4 倍，如果乙走了 S 千米，甲要走4S 千米，已经两个来回了，所以第二次碰头时，甲应该是追到乙。设乙走了 x 千米，则甲走了 千米，得4xSS232到方程 4x - x = S Þ x = ，此时 AD = S -=S 千米。根据题意， S 为整数，所以333；3| S2接下来乙去借摩托车，甲继续走。考虑到摩托车的速度是甲速度的 14 倍，将 S 分3成 14 份，甲走了 13 份的时候，乙回到 D 处，然后两人可以同时到达 A 地。所以，2111我们推出 AE = S ´=S 。根据题意， S 为整数，所以。21| S314 2121ì5| Sì5|Sïï综上所述， 3| S Þ 3| S 。由于 有 8 个因数，所以千米。SS=3´5´7 =105ííïï21| S7 | Sîî11.对任意正整数 m、n ，定义 r(m,n) 为 m ¸ n 的余数（比如 r(8, 3) 表示8¸3 的余数，所以()=）。那么满足方程()+()+()+()=的最小正整数解为r 8,32r m,1 r m,2 r m,3 L r m,104_.【答案】120【解答】如果 m º1(mod 2)，那么 m 除以 4、6、8、10 的余数不可能为 0，此时的余数之和超过 4 了，所以 m º 0(mod 2) 。由于余数之和为 4，对于一个偶数来说，它除以 8 的余数只能是 0、2 或 4（如果是 6 就超过 4 了）。 （1）如果这个数除以 8 的余数为 4，则它必须为 3，5，7，9，10 的公倍数，由于=，为了满足除以8的余数为4，这个数至少为；3,5,7,9,10630630´2 =1260（2）如果这个数除以 8 的余数为 2，则它除以 4 的余数也为 2（4 个余数都用完了），所以它还是必须为 3，5，7，9，10 的公倍数，这个数至少为630´3 =1890；（3）如果这个数除以 8 的余数为 0，则 m º 0(mod 2) 、 m º 0(mod 4) 、 m º 0(mod8)。我们要进一步分析。如果 m 除以 3 的余数不是 0，那么它除以 6，9 的余数也不会为。由于 m 为偶数，所以 m 除以 6 的余数至少为 2。为了使得余数之和为 4，则只能m 1 mod 30ìº()ï是 m º 2 mod 6 ，但是 m º 2(mod 6)Þ m º 2(mod 3)，矛盾，所以这个数一定是 3 的倍()íï()m 1 mod 9ºî数。由于这是一个偶数，而且它又是 3 的倍数，所以必定是 6 的倍数，所以ìmmº0(mod3)ï。至此，我们已经推出： m º 0(mod1)、 m º 0(mod 2) 、 m º 0(mod 3)、íº0(mod 6)ïî()、º()、º()、º()、º()、mmºº0 mod 4m?mod5m0mod6m?mod7m0mod8()、º()（表示还不能确定的余数）。接下来对除以9的余数? mod 9m?mod10?m进行讨论：（3.1）如果 m º 3(mod 9)，只剩下 1 个余数了。考虑到ìm 1 mod 5º()Þm 1or6 mod10º()ï，所以剩下的余数应该给 7，也就是说 m º 0(mod 5)、í)Þº()m 1 mod10º(m1mod5ïî)、 m º 3(mod 9)、 m º 0(mod10)，此时 m 最小为 120；m 1 mod 7º(ìmm0 mod 8º ()ï（3.2）如果 m º 0(mod 9)，剩下 4 个余数。由于，此时 m 已经是íº(0 mod 9ïî8,9= 的倍数了。显然72不满足我们的要求，而 ´ 已经超过 120 了；72 272综上所述， m 最小为 12012.6 个正整数 a,b,c,d,e, f 按字母顺序排成一排，构成一个数列，其中 a =1。如果某个正整数大于1，那么比这个正整数小 1 的数肯定出现在它的左边。比如 d >1，则a,b,c 中 必有一个值为 d -1。举例：1，1，2，1，3，2 满足要求；1，2，3，1，4，1 满足要求；1，2，2，4，3，2 不满足要求。满足要求的不同排列有_个。【答案】203解答】我们用b 表示满足题目要求的 n 个自然数构成的数列个数，显然b =1，n1接下来计算b2 ，这个数列由两个正整数构成。由于 a =1，那么b =1或 2，如果ìa =1b =1ìa=1，那么这个数列中的数最大为 1，这样的数列有 1 个；如果，那么这个ííb=2îî数列中的数最大为 2，这样的数列有 1 个。我们用下面的写法表示计数：1+1；b2 =­­数列中的数最大为1数列中的数最大为2接下来计算b3 ，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为 1，则前面的数只能都为 1，所以只有 1 个。（2）为了使得数列中的数最大为 2，有两种可能：前面的数都是 1，最后一个数填 2，这样的数列有 1 个，这个 1 就是前面b2中的第一个数字；前面的数已经到达 2 了，那么最后一个数可以是 1，可以是 2，所以有1´ 2 个。其中 1 就是b2 中的第二个数字，2 表示最后一个数字有两种写法；（3）为了使得数列中的数最大为 3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为 2 的情况，这样的数列有 1 个，这个 1 就是前面b2 中的第二个数字。我们用下面的写法1+1+1´ 2+1b3 =­­­数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3表示计数：；131=­­­数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3利用相同的推导方法，我们得到下面的结果： )(3 +1´ 3)­1+(1+ 3´ 2+1b4 =­­­数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3数列中的数最大为41761=­­­­数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3数列中的数最大为4b5 =1 1 7 276 3 6 1 4+ ( + ´ )+ ( + ´ )+ ( + ´ ) +1=1+15 + 25 +10 +1b6 =1+ (1+15 2´)+(+´)+(+´)+(10 1 5+´)+1=1+ 31+ 90 + 65 +15 +1= 203三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：13.用 1，2，3，4，5，6，7，9 这 8 个数码组成 4 个两位质数（每一个数码必须且只能用一次），这 4 个质数有多少种不同的可能？【答案】4解答】容易知道 2、4、5、6 只能作为十位数，设这四个两位质数为、2a4b、。剩下的四个数字为 1、3、7、9，简单分析一下得 a ¹1,7 ，b ¹ 9 ，c ¹1,7 ，6d5cìa ¹1,7c ¹1,7d ¹ 3,9 。由于 íÞa,c只能取3、9，剩下的1、7要分给b,d，一共有2´2=4种îìa = 3c = 9ìa=9ìb=1ìb = 7d =1î可能（第 1 个 2 表示或者，第 2 个 2 表示或者）ííííc=3îd = 7îî14.如图， DABC 中， BD = DC 。在 AC 边上有一块奶酪，其位置在最靠近点C 的四等分点上。在 AD 上有三个透视镜W、W 、W ，这三个透视镜将 AD 四等分。有一只疑心病很123重的老鼠在 AB 上爬行（从 A 爬往 B ）， AB = 400米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条直线上时，老鼠能观察到奶酪。由于老鼠的疑心病很重，它希望多次看到这块奶酪，这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第1分钟往前爬80 米，第 2 分钟往回退 20米，第3分钟往前爬80 米，第4 分钟往回退 20米。××××××，依次类推。当这只老鼠爬到点后，它直接沿着BC冲过去吃奶酪。问：老鼠B在 AB 段上一共可以看到多少次奶酪。 AW1W2W3奶酪BDC【答案】5解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为 E （如下【图），由于AE = AW=34，所以G3E /，从而推出AG3AB=3。由于米，所3BCAB=400ACAD4以 AG = 300 米。本题的难点就在于如何求出 AG , AG 的长度。312AG1W1G2W2G3ECW3BD我们先来求 AG2 ，这里提供两种思路：思路一：如下图，延长G2 E 与延长线交于点 H 。被W2 EH 所截，所以BCDADCAW2DH CEDH 1DH××=1Þ1××=1Þ=3。设CH = a ，则 ，所以DC = 2aW D HC EAHC 3HC2BD = DC = 2a 。而 DABD 被G W H 所截，所以22AG2BH DW2AG2G2B 35AG2G2B35AG2AB38××=1Þ××1=1Þ=Þ=。由于 AB = 400米，所以G B HD W A22AG2 =150 米 AG2W2ECBDHAJ AE3思路二：如下图，作 EI / AK /，则=。设，则。由于AJ = 3kBCAD = 4kAD ACAK4AW2W 为 AD 中点，所以 AW = 2k ，从而推出。由于=2ÞAK=2EJ22EJ W2 JEJAJIJ=，而 DC = BD ，所以 EJ = IJ Þ IE = 2EJ 。而 AK = 2EJ ，所以 AK = IE ，DC AD BDAGAKIEAI AE3AG3所以=1。由于=，再结合AG=GI，我们推出=。由于2222G2 IAB AC4AB8AB = 400米，所以 AG2 =150 米AKG2MW2IEJBDC用同样的方法，我们可以推出 AG = 60 米，至此我们得 AG = 60 、 AG =150 、112AG3 = 300 。而对于老鼠来说，它走的路程的情况如下所示：¾第¾1次¾看到¾®80¾第¾2次¾看到¾®60¾¾®140¾¾®120¾第¾3次¾看到¾®200¾¾®180¾¾®260¾¾®240第¾4次¾看到¾®320¾第¾5次¾看到¾®300¾¾®380¾¾®360¾¾®4000¾所以，一共看到了五次