第十五届中环杯小学数学三年级决赛详解.docx

第 15 届中环杯决赛试题解析（三年级）一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）：1. 计算：5 13´2 +15 13´7 =_.´´2【答案】2015解答】25´13´ 2 +15´13´ 75´13´10 + 5´13´ 215´13´(105´13´31= 2015=+21)2. 在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了30 分，带领上海队以10 分的优势战胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的5 倍少10 分，那么上海队获得_分【答案】75分【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为30´5-10 =140 分，而上海队减去北京队的得分为10 分，根据和差问题，我们有：上海队得了(140 +10)¸ 2 = 75分3. 一个数只包含两种数字：3或者 4 ，而且3或者 4 都至少出现一个。这个数既是3的倍数，又是 4 的倍数。这样的数最小为_.【答案】3444【解答】为了使得它是 4 的倍数，最后两位只能是 44 。如果只有两个数字4 ，这个数无法成为3的倍数，所以很容易得到其最小值为34444. 我们有 27个1´1´1的小立方体，将其拼成一个3´3´3的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白色的小立方体最多有_个 【答案】15解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有12 个，而一共有27个小立方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有 27 -12 =15个5. 如图，一个大三角形 ABC 被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三部分是四边形。三个四边形的周长之和为 25厘米，四个三角形的周长之和为 20厘米，三角形 ABC 的周长为19 厘米。那么 AD + BE + CF = _厘米AFEBDC【答案】13解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中间的线段都被加了两次。比如下图中的GH ，它既是四边形GFBH 的一条边、又是的一条边。而 AB,BC,CA 都只出现一次，比如 AF + BF = AB 。所以我们要求的DGHI线段之和为(25 + 20 -19)¸ 2 =13厘米AFGEIHBDC 6. 下图是上海的地铁运营图，其中的点代表不同的地铁站台，直线代表了不同的线路。小明是一个学生，他希望找到一种路线，使得他可以经过所有的站台。他可以从任意的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重复经过 n 个站台，则 n 的最小值为_.【答案】3解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从，这样他必须重A® B ® C ® D ® E ® D ® F ® G ® H ® I ® H ® G ® J ® K ® L复经过 个站台，接下来我们证明 是最小值。33显然， D,G 这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从 A 开始或者从 A 结束，那么 B 肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明不是从L 开始或者从 L 结束，那么 K 肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明从 A 开始从 L 结束，那么 H 肯定会被重复经过。所以，n ³ 3【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其放在第6 题BCDAEFLGHKJI7. 如果 653 整除 ab2347 ，则 a +b = _.答案】11【 【解答】由于653 | ab2347 Û 653 | (ab2347 + 653)，考虑到 ab2347 + 653 = ab3000 ，所以653| ab3´1000。由于 653 是素数，并且 653 无法整除 1000，所以653 | ab3，从而推出ìa = 6，所以a b 11+=íb = 5î8. 学校组织一次野餐会，有若干人员参加。学校准备了很多空盘子，每个到场的人员都会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（每个人只能拿走一个空盘子，不能多拿）。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下，第二个到会的人员数到的空盘子数量比第一个到会的人员少一个， LL，依次类推，最后一个到会的人员发现还有 4 个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为2015 ，则总共有_人参加了这次野餐会。【答案】1006解答】设有 x 个人参加了野餐会，空盘子总共有 2015- x 个第1个参会人员数到有第 2 个参会人员数到有个空盘子；个空盘子；2015- x2014 - xLL第 n 个参会人员数到有 2016 - x - n 个空盘子；LL第 x 个参会人员数到有 2016 - x - x = 2016 - 2x个空盘子；从而得到方程2016 - 2x = 4 Þ x =1006二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）：9.A、B、C、D 四人有一些数量互不相同的纸牌。A 说：“我比C 多16 张纸牌。”B 说：“ D 比C 多6 张纸牌。” C 说：“ A 比 D 多9 张纸牌。”D 说：“如果 A 再给我 2 张纸牌，我纸牌的数量就是C 的3倍。”已知这四个人中，拥有纸牌数量最少的那个人说错了，其余都说对了。那么 D 有_张纸牌【答案】10解答】首先对每个人所说的话进行翻译：A 的意思是： A-C =16 ；B 的意思是： D -C = 6 ；的意思是： A- D = 9；CD 的意思是： D + 2 = 3C 。由于说错话的只有一个人，而 A 和C 都说 A 不是最少的，因此， A 说的是真话。通过 B 和 D 的话可以推断 D 的纸牌数也不是最少的。因此，说错话的只可能是 B 或。CìA - C =16A - D = 9如果C 说的是正确的，则Þ D - C = 7 ，结合推出D + 2 = 3Cíî，没有整数解，矛盾。所以 B 说的是正确的，C 说的是错误C + 7 = 3C - 2 Þ 9 = 2CìD - C = 6 ìC = 4D + 2 = 3C îD =10的。利用 B 的结论，我们有Þ。所以答案为10 。ííî10.七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求：（1）至少涂其中的两个正方形；（2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形）。那么，有_种不同的涂色方法。 【（答案】10解答】直接分类讨论：1）如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得到下图。如果我们再涂一个正方形，显然有 4 种涂法；如果我们再涂两个正方形，要简单分析一下：显然 不能被涂色（否则 一旦被涂色了，那么 a,c,d 都不能被涂bb色了），而且c,d 不能同时被涂色，所以只有 2 种涂法（(a,c)或者(a,d )）。综上所述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有种涂法+ 2 = 64da b c（2）如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂e,b ，否则只能涂一个正方形了，得到下右图。容易知道，(a, f )以及(c,d )都不能同时被涂色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有 2´ 2 = 4 种涂法。f e da b cfdca综上所述，一共有6 + 4 =10种涂法11.在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的方格中填入适当的数字，使得算式成立。那么中环杯 所代表的三位数是_. 6中 环 杯 中 环 杯【答案】124ìabc´ 6是三位数ï解答】由于，所以 d,e 都是7 9 中的数字。根据íïîabc´ d,abc´ e都是四位数“abc´ 6是三位数 ”我们很容易推出 a =1。由于“中环杯中环杯 =中环杯´1001”，所以ì7| abcïï1001| abc´d6e。考虑到只是一个三位数，所以不可能同时满足 11| abc ，所以abcíï13| abcïî7,11,13 中至少有一个数整除 d6e 。接下来分类讨论：（1）若7| d6e，结合 d,e 都是中的数字，我们很容易推出只有868 满足条件。由7 9于此时11,13都不能整除868 ，所以11,13整除 abc =1bc ，所以1bc =11´13 =143 ，此时143´868 =124124，满足我们的要求。（2）若11| d6e ，结合 d,e 都是中的数字，所以，我们很d + e - 6 =11Þ d + e =177 9容易推出只有869或968满足要求。考虑到7,13 都不能整除这两个数，所以7,13 整除所以1bc = 7´13´ 2 =182 ，而182´6不是三位数，矛盾。，abc =1bc（3）若13| d6e，结合 d,e 都是中的数字，我们很容易推出只有满足条件。7677 9考虑到7,11都不能整除这两个数，所以7,11整除，所以1bc = 7´11´ 2 =154。abc =1bc此时154´767 =118118 ，但是题目说了“中环杯 ”的三个数字互不相同，所以也不符合要求。综上所述，最后的答案只有一个，就是“中环杯 =124”。 a b cd 6 e中 环 杯 中 环 杯12.正四面体 PQRS 的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有 10个数。这10 个数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的两个顶点上的数之和。棱 PQ 上的数为9 ，则棱 RS 上的数为_.S?RP9Q【答案】5解答】设六条棱上的数之和为 S 、四个顶点上的数之和为 S ，容易发现 S = 3S顶【棱顶棱（每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了三次）。考虑到 S + S =1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +11= 56，从而推出 S =14 ，可能棱顶顶的情况有：1+ 2 +3+8 、1+ 2 + 4 + 7 、1+ 2 +5+ 6 、1+3+ 4 + 6 ，接下来开始排除：（1）由于 P + Q = 9 ，所以1+ 2 +5+ 6 排除了（没有两个数之和为9 ）2）对于1+ 2 +3+8 来说，由于1+ 2 = 3 ，所以一条棱上的数应该为3，但是某个顶点上的数也是3，矛盾。同样可以将1+3+ 4 + 6 排除最后，剩下的只有一组选择：1+ 2 + 4 + 7 ，从而得到下图，所以答案为5 1?4297三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：13. 5 个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为 24 厘米。求：单个长方形的面积。【答案】32解答】假设长方形的长为 x 、宽为 y ，则 íì3x = 24 ìx = 8Þ í2x + 2y = 24 îy = 4【，所以长方形的面积î为32cm214. D 老师将写有 1、2、L、13 这 13 个数字的牌按从小到大的顺序顺时针放在一个圆周上，开始的时候所有牌都是牌面朝上，每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下（一旦变成牌面朝下，这张牌就不能翻动了）。 D 老师翻牌的规则为：若一张牌面朝上的牌上数字为 A ，并且与这张牌相隔 2 张的牌也是牌面朝上的，那么 D 老师就可以翻动写有数字 A 的这张牌。比如：只要写有数字 9 或者 2 的牌是牌面朝上，那么 D 老师就可以翻动写有数字 12 的牌（当然，前提是写有数字 12 的牌还是牌面朝上的）。最后，只要 D 老师将 12 张牌翻成牌面朝下，那么就算 D 老师成功了。为了获得成功， D 老师有多少种不同的翻牌顺序？【答案】26624 【解答】首先，我们将所有含数字的牌调整一下顺序，得到下图，从而将题目转化为：若相邻的牌中有牌面朝上的，那么 D 老师就可以翻动当前的牌11148751013212396接下来我们会发现，若两次选牌的过程中发生跳跃，那么最后必然会导致至少 2 张牌无法翻面。如下图所示，若第一次翻 4 号牌，第二次翻 12 号牌。这样将剩下的牌分成了两段，每段中最后都至少会留下一张牌无法翻面，从而无法满足题目的要求。11148751013212396至此，我们知道，第一张牌有 13 个选择，一旦第一张牌选定后，接下来被翻面的牌都是这张牌相邻的牌。每次选择都有两种：顺时针相邻还是逆时针相邻。只要进行 11 次选择，最后肯定留下一张牌，所以一共有13´2 = 26624种不同的翻牌顺序11