第十五届中环杯小学数学四年级决赛详解.docx

第 15 届中环杯决赛试题解析（四年级）一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）：1. 计算：9 4.6 16.2 23= _.´+´6【答案】690解答】69´ 4.6 +16.2´ 23 = 23´3´ 4.6 +16.2´ 23 = 23´ (13.8 +16.2)= 23´30 = 6902. 将长、宽、高分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木_块【答案】3600【解答】容易知道正方体的边长至少为3, 4,5= 60 厘米，所以需要积木(6´´)¸ ( ´ ´ ) =3 4 5 3600块0 60 603. 在 5、8、15、18、25、28、L、2008、2015 中，有_个数的数码之和为偶数138 的数码之和为1+ 3+8 =12）（【答案】202【解答】每两个数一对：5, 8、15,18、L、2005,2008，每对里面有且仅有一个数的数码之和为偶数，一共有(2008 - 8)¸10 +1= 201对，而最后一个数的数码之和为+ 0 +1+5 = 8，为偶数，所以答案就是2201+1= 2024. 如图，在长方形 ABCD中， DAED 与 DBFC 都是等腰直角三角形， EF = AD = 2 。则长方形 ABCD的面积为_.BAEFDC【答案】8 【解答】可以如下图进行切割，由于 EF = AD = 2AG ，整个长方形的面积是小正方形面积的 8 倍。由于一个小正方形的面积为 1，所以长方形的面积为 8BAGEFDC5. 一个等差数列的首项为9 ，第8项为12 ，那么这个数列的前 2015 项中，有_项是3的倍数。【答案】882【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为(+20)n + 203n + 60 3 nn 1 d+ ( - ) =。为了使得其为3的倍数，只要使得为整数an=a17772010 -1即可。容易知道，当 n =1、8、15 、××××××、项满足要求。时满足要求，一共有+1= 288201076. 老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为 30，上下两个闭合回路的四个数之和均为 40。若圆圈 X 内填的数为 9，则圆圈Y 内填的数为.【答案】11 ìa + b + c + d = 40X + Y + c + b = 40【解答】如下图所示， íÞ (a + b + c + d + X + Y )+ c + b = 80 ，îìa + b + X = 30Þa + b + c + d + X +Y = 60 ，我们推出c + b = 20 。将c + b = 20 代入íc + d + Y = 30îX +Y + c + b = 40 Þ X +Y = 20 。由于 X = 9，所以Y =11。7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚线段连接的两个点称为相邻的点）。这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点 A 开始爬，不同的爬行路线有 m 种；如果它从点 B 开始爬，不同的爬行路线有 n 种。则n ¸m = _.AB【答案】3解答】我们发现，无论从点 A 出发还是从点 B 出发，接下来都是走到形如C 点的位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。点 A走到红点有两种方法，点 B 走到红点有六种方法，所以 n ¸m = 6 ¸ 2 = 3。【说明】对称计数 ACB8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度。如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了 20步。拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米。那么绳子的长度为米。【答案】35【解答】由于第一次走了140步、第二次走了 20步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的 倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是 倍关系。设第一次拖拉机77开了 米，第二次拖拉机开了 S 米，并且设绳子的长度为 x 米，得到方程组7Sìx + 7S =140 ìx = 35Þ。ííS + 20 = xîS =15î二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）：9. 一个园艺匠准备种植一排共 20棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。任两棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于3。那么这 20棵树中，枫树最多有棵。【答案】12【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能种梧桐树。我们用下图进行说明，用表示枫树，用表示d 梧桐树，一旦第二个位置种了枫树，那么位置 A 必须种植梧桐树。无论枫树出现在哪个位置，总有一个位置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树A 根据前面的推导， 20棵树中的前16 棵树里最多包含了8棵枫树，所以枫树总数最多，我们可以如下进行种植：8+4=12 d d d d d d d d 10. 如图，为等腰直角三角形， E 为，边上一点，满足 BE = 3CE D、A、F 三点在DABCBC一条直线上。设 DDBE 中 BE 边上高的长度为 h ， DFEC 中 EC 边上高的长度为 h ，我们12有3h + h = 3 厘米。 DDBE 与 DFEC 的面积之和为6 平方厘米，则 DABC 的面积为12_平方厘米。FADBEC【答案】6431解答】由于 BE = 3CE Þ BE = BC,CE = BC 。而4411SDDBE + SDFEC=BE ´ h1 + CE ´ h2212341214´BC ´ h1 +´BC ´ h221)BC´(3h+h218ì3h + h = 3141将代入，得 BC =16 。所以 SDABC=BC2 = ´162 = 64 平方厘米12íSDDBE + SDFEC = 64î11.已知一个四位数 ABCD 满足： ABCD + AB ´CD 是1111的倍数，则 ABCD 的最小值为.【答案】1729 ()，从而推出【解答】 ABCD + AB ´CD =100AB + CD + AB ´CD = AB +1)´(CD +100 -100()()()，所以()()、AB +1 ´ CD +100 º100 mod1111AB +1 ´ CD +100 =1211 23223433××××××12111211（1）当(AB +1)´(CD +100)=1211 时，此时 AB +1=£=12.11，所以CD +100 100AB £11，所以 AB =11或10 ，但是这两个数显然不是1211的因数；（时2）当(AB +1)´(CD +100)= 2322 时，考虑到 2322 = 2´33 ´43，所以 2322 =18´129 ，此ìAB +1=18ïÞ ABCD =1729 。íïCD +100 =129î接下来我们要证明1729 已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在，ABCD <1729满足(AB +1)´(CD +100)=1111k +100 ，此时，所以AB =10 16(AB +1 ´ CD +100 £ 16 +1 ´ 99 +100 = 3383。当 k ³ 3时，此时1111k +100已经大于)()()()3383了，所以k £ 2。而对于 k £ 2的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在。ABCD <1729综上所述，本题要求的最小值就是1729。12.如下左图，甲要从 A 走到 B ，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C 走到 D ，每次也只能向上或者向右走一格。将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。那么，“中环路”一共有_种。BDBDACAC【答案】1750 【解答】容易知道，从 A® B ，一共有C84种走法，同理，从C ® D，一共有C8 种走4法，所有两人走的路径一共有C ´C 种。接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下4488的就是答案了。如下图，两条路径的第一个交点为 E ，我们把这两条路径看为： A ® E ® D 与C ® E ® B （原先应该是 与C ® E ® D ）。注意：如上右图，如果没有相A ® E ® B交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路径。反过来，对于 A ® E ® D 与C ® E ® B 的任意两条路径来说，它们必然会产生公共点。利用对应原理，我们将相交的两条路径与“ A ® E ® D 与C ® E ® B 的路径”对应起来了，所以相交的情况一共有C ´C 种。44106BDEAC综上所述，最后的答案就是C ´C - C ´C = 4900 - 3150 =1750。484841046三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：13.如图， ABCD是一个梯形，其对角线的交点为O。延长 AC 至点 E ，满足CE = AO 。延长 DB 至点 F ，满足 BF = DO。若 DBFG 的面积为 2015 平方厘米，求： DCGE 的面积。ADOBC?GFE 【答案】2015解答】由于 ABCD是一个梯形，利用等积变换我们有 SDAOB = SDDOC 。利用CE = AO ，我们推出 SDAOB = SDCBE 。利用 BF = DO，我们推出 SDDOC = SDBCF 。结合 SDAOB = SDDOC ，我们有 SDCBE = SDBCF ，所以 SDCBE - SDBCG = SDBCF - SDBCG Þ SDBFG = SDCGE ，所以是 2015。的面积也DCGE14. A 、 B 、C 三人到 D 老师家里玩， D 老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数。已知这三个四位数都是完全平方数（比如 4 = 22 ，100 =102 ，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0 ，个位数都不是0 。每个小朋友只能看见别人帽子上的数。这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A 说：“ B 、C 帽子上数的个位数相同。”B 、C 同时说：“听了 A 的话，我知道自己的数是多少了。”A 说：“听了 B 、C 的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数。”求： A 、 B 、C 帽子上的数之和。【答案】14612【解答】假设cb0a = (ef )2 = (10e + f )2 =100e + 20ef + f (a ¹ 0 Þ f ¹ 0) ，两边对100取22余，从而推出()，也就是说20ef+f的十位数部分为。显然20ef20ef + f 2 º a mod10020的十位数部分肯定为偶数，所以 f 2 的十位数也必须为偶数，满足条件的 f =1、2 、3、5 、 、 、 。789（1）当 f =1、 2 、 时，为了使 20ef + f 的十位数部分为 ，则，此时这三个e = 5320数就是51 = 2501、52 = 2704 、53 = 2809 ；222（2）当 f = 5 时， 20ef + f =100e + 25 ，十位数部分不可能为 ；20 （3）当时， 20ef + f =140e + 49 ，为了使得十位数为 ，则e = 4或9 ，此时满足f = 720条件的数为 472 = 2209 或972；=9409（4）当时， 20ef + f =160e + 64 ，为了使得十位数为 ，则e = 4或9 ，此时满足f = 820条件的数为 48 = 2304或98 = 9604 ；22（5）当时， 20ef + f =180e + 81，为了使得十位数为 ，则e = 4或9 ，此时满足f = 920条件的数为= 2401或992 = 9801。492至此，我们得到9 个满足条件的四位数，按照个位数的数字将其分为三组：(2209,2809,9409)、(2704,2304,9604)、(2501, 2401, 9801)。根据第二句 说的话，我们知道B、C三人帽子上的数的个位数都相同。根据第三句 A 说的话，我们知道A、B、C这三个数就是(2704,2304,9604)，所以这三个数的和为 2704 + 2304 + 9604 =14612。【说明】逻辑推理结合位值原理，并没有考到任何完全平方数的性质