第十三届小机灵杯小学数学四年级决赛剖析.docx

第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷（四年级组）2015 年 2 月1日 11: 00 12: 00时间： 60 分钟总分：120 分第一部分（每题 6 分，共30 分）【第 1 题】四个互不相同的正整数的乘积是 231，则这四个数的和是 _ 。分析与解】【把231分解质因数：231= 3´7´11；所以把231拆成四个互不相同的正整数的乘积只能是231=1´3´ 7´11 ；则这四个数的和是1+ 3 + 7 +11= 22 。【第 2 题】86´87´88´89´90´91´92 ¸ 7 的余数是 _ 。【（分析与解】方法一）因为91= 7´13 是7 的倍数；所以86´87´88´89´90´91´92 也是7 的倍数；即86´87´88´89´90´91´92 ¸ 7 的余数是0 。（方法二）连续n 个自然数中，必有一个是n 的倍数；连续7 个自然数中，必有一个是7 的倍数。故86 92 中，必有一个是7 的倍数；则86´87´88´89´90´91´92 也是7 的倍数；即86´87´88´89´90´91´92 ¸ 7 的余数是0 。【第 3 题】用四则运算符号及括号，对 5 、 7 、8、8这四个数进行四则运算，使所得结果是 24 。那么，这个四则运算的算式是 _ 。（列出一个即可）【分析与解】算24 点：(7(785 8 24 ；+ )¸ ´ =5 8 8 24 。- )´ + = 【第 4 题】将一个三角形放在放大 5 倍的放大镜下看，周长是原三角形的 _ 倍，面积是原三角形的 _倍。【分析与解】将一个三角形放在放大5 倍的放大镜下看，周长是原三角形的5 倍，面积是原三角形的52 = 25 倍。【第 5 题】两条线段平行，构成一对平行线段。如图，在一个长方体的12 条棱中，共有 _ 对平行线段。【分析与解】42´´3长方体的4 条长互相平行，有C42= 6 对平行线段；1同样地，长方体的4 条宽互相平行，长方体的4 条高互相平行；共有6´3 =18 对平行线段。第二部分（每题8分，共 40 分）【第 6 题】有以下两个数串：1，3，5 ，7 ，2013，2015 ，2017 ；1，4 ，7 ，10 ，2011，2014 ，2017 。同时出现在这两个数串中的数共有 _ 个。【分析与解】1，3，5 ，7 ，2013，2015 ，2017 ；这些数¸2 余数1；1，4 ，7 ，10 ，2011，2014 ，2017 ；这些数¸3余数1；同时出现在这两个数串中的数既满足¸2 余数1，又满足¸3余数1，即¸6 余1；同时出现在这两个数串中的数为1，7 ，13 ，19 ，2011，2017 ；(- )¸ + =同时出现在这两个数串中的数共有 2017 1 6 1 337 个。 【第7题】一辆轿车油箱的容量为 50 升，加满油后由上海出发前往相距 2560 千米的哈尔滨。已知轿车每行驶100 千米耗油8升，为保证行车安全油箱内至少应存油 6 升。那么，在去哈尔滨的途中至少需要加油 _ 次。【分析与解】4从上海到哈尔滨一共耗油2560 ¸100´8 = 204 升；5从加满油后最多可以耗油50 - 6 = 44 升就需要再次加油；43604 ¸ 44 = 4 ，进一法，得5 次；5525但这5 次包括上海出发开始时加满油的一次；所以在去哈尔滨的途中至少需要加油5 -1= 4 次。【第8题】已知x=222L222，若x是198的倍数，那样的话，符合条件的最小的K的值是_。142 43K个2【分析与解】x = 222L222 =111L111´ 2 是198 = 2´99 的倍数；142 43 142 43K个2K个1则只要111L111是99 的倍数；42 431K个1根据99 的整除特点，我们知道11+11+L+11= 99 是99 的倍数；14424439个11所以符合条件的最小的K 的值是2´9 =18 。【第9题】小王、小李两人要加工数量相同的同一种零件，他们同时开工。已知小王每小时加工15 个，每加工 2 小时后必须休息1小时；小李不间歇地工作，每小时加工12 个。结果在某时刻两人恰好同时完工。小王加工零件 _ 个。【分析与解】前2 个小时，小王加工15´ 2 = 30 个，小李加工12´ 2 = 24 个；前3个小时，小王加工15´ 2 = 30 个，小李加工12´3 = 36 个；前5 个小时，小王加工15´ 4 = 60 个，小李加工12´5 = 60 个；之后每3小时，小王加工15´ 2 = 30 个，小李加工12´3 = 36 个，且小王加工的始终少于小李加工的；因为在某时刻两人恰好同时完工；所以小王加工零件60 个。 【第10题】学校三、四、五年级学生共100 人参加植树活动，共植树 566 棵。已知三、四年级的人数相等，三年级学生平均每人植树 4 棵，四年级学生平均每人植树5 棵，五年级学生平均每人植树 6.5 棵。三年级学生共植树_ 棵。【（分析与解】方法一）如果100 人都是五年级学生，那么共植树6.5´100 = 650 棵；比实际多植树650 - 566 = 84 棵；把2 名五年级学生换成1名三年级学生和1名四年级学生，就会少植树6.5´ 2 - 4 - 5 = 4 棵；三年级学生有84 ¸ 4 = 21人；三年级学生共植树4´ 21= 84 棵。（方法二）设三、四年级学生各有x 人，五年级学生有y 人；ì2x + y =100ìx = 21；解得íí；4x + 5x + 6.5y = 566îy = 58î三年级学生共植树4´ 21= 84 棵。第三部分（每题10 分，共50 分）【第 11 题】将 6 个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮。如图是一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1、2 、 4 、5 。那么表示的数是 _ 。3 1 2 3 4 5【分析与解】二进制。因为1= 20 、2 = 21 、3 = 21 + 20 、4 = 22 、5 = 22 + 20 ；从左到右第1、2 、3、4 、5 、6 个灯对应20 、21 、22 、23 、24 、25 ，即二进制中从左到右第1、2 、3、4 、5 、6 位；灯泡亮表示该位为1，灯泡不亮表示该位为0 ，(111011) = ( ´ + ´ + ´ + ´ + ´1+ ´0) = ( )1 25 1 24 1 23 0 22 1 2 1 2 59 ；10102所以表示的数是59 。 【第12题】如图所示，长方形 ABCD 中，AD - AB = 9 厘米，梯形 ABCE 的面积是三角形 ADE 面积的5 倍，三角形 ADE的周长比梯形 ABCE 的周长短 68 厘米。长方形 ABCD 的面积是 _ 平方厘米。ADEBC【分析与解】ADEBC联结AC ；因为S梯形ABCE = SADE ´5 ；所以S长方形ABCD = SADE ´ 6 ；因为S长方形ABCD = SADC ´ 2 ；所以SADC = SADE ´3；所以DC = DE ´3，DE :CE =1: 2 ；214三角形ADE 的周长比梯形ABCE 的周长短AB + CE - DE = AB + AB ´ - AB ´ = AB ´ ，即短了68 厘米；33344AB´ = 68 厘米，AB = 68 ¸ = 51厘米；33因为AD - AB = 9 ；所以AD = 51+ 9 = 60 厘米；S长方形ABCD = 60´51= 3060 平方厘米。【第13题】甲、乙两市相距 55 千米。小王同学从甲市出发去乙市，先骑车行了 25 千米，接着改乘大客车，速度提高了1 倍。到达乙市后，他发现骑车所用的时间比乘车所用的时间多了1 小时。小王同学骑车的速度是_ 千米/小时。【分析与解】甲、乙两市相距55 千米，其中骑车行了25 千米，乘车行了55 - 25 = 30 千米；乘车的速度是骑车的速度的2 倍；则同样的时间，乘车的路程是骑车的路程的2 倍；那么乘车行了30 千米，用同样的时间，骑车行了30 ¸ 2 =15 千米；而骑车所用的时间比乘车所用的时间多了1小时；骑车1小时走了25 -15 =10 千米；小王同学骑车的速度是10 ¸1=10 千米/小时。 【第14题】毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，他们把1、3、 6 、10 、这样的数叫作三角数。那么把三角数从小到大排列，前100 个三角数的总和是 _ 。【分析与解】第n 个三角数是1+ 2 +L+ = ( + )´ ¸ ；n1 nn2所以前100 个三角数的总和是(111 2 1 2+ )´ ¸ + ( + )´ ¸ + + ( +22 L 1 100)´100 ¸ = ( ´ + ´ + ) ¸1 2 2 3 L 100 1012+´2=é( ´ ´ - ´ ´ )¸ + ( ´ ´ - ´ ´ )¸ +L+ (12 3 0 1 233´´-´´)¸ ù ¸2 3 4 1 2 3 100 101 102 99 100 10132ëû=(100 101 102´´- ´ ´ )¸ ¸ =0 1 2 3 2 100 101 102 3 2 100 101 17 =171700 。´´(¸ ¸ ) =´´【第15题】甲地到乙地有 6 条不同的路。小方第一天从甲地到乙地，然后从乙地返回甲地；第二天又从甲地去乙地，然后再返回甲地。小方每一次在从乙地返回甲地时都没有走过之前从甲地去乙地的路，那么小方这两天往返甲、乙两地共有 _ 种不同的走法。【分析与解】若第一、二天从甲地到乙地的路相同，这两天从甲地到乙地的路有6 种选择；第一天从乙地返回甲地有5 种；第一天从乙地返回甲地有5 种；有6´5´5 =150 种不同的走法；若第一、二天从甲地到乙地的路不同，第一天从甲地到乙地有6 种选择，第二天从甲地到乙地有5 种选择；第一天从乙地返回甲地有5 种；第一天从乙地返回甲地有4 种；有6´5´5´ 4 = 600种不同的走法；综上所述，小方这两天往返甲、乙两地共有150 + 600 = 750 种不同的走法。