第十四届中环杯小学数学五年级初赛详解.docx

第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级选拔赛一、填空题æè1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö2 ø è 2 ø è 3 ø è 3 øæè1 ö æ10 ø è 10 ø1 ö1. 计算：ç1 + ÷ ´ç1- ÷´ç1+ ÷ ´ç1 - ÷´L´ç1 + ÷´ç1- ÷ = _。3411 1 2分析】原式= ´ ´L´ ´ ´ ´L´10 2 3911111【=´=2310210202. 最接近 2013 的质数是_。分析】2011【3. 黑箱中有 60 块大小、形状都相同的木块，每 15 块涂上相同的颜色。一次至少取出_块才能保证其中至少有 2 块木块颜色相同。分析】共60 ¸15 = 4种颜色，需要取出 4 +1= 5 块【4. 一共有 52 个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有 12 人，参观动物馆的有 26 人，参观科技馆的有 23 人，既参观植物馆又参观动物馆的有 5 人，既参观植物馆又参观科技馆的有 2 人，既参观动物馆又参观科技馆的有 4 人，三个馆都参观的有 1 人，则有_人这三个馆都没有参观。【分析】共有12 + 26 + 23-5 -2 -4 +1 =51人参观了至少一个馆，所以有 1 个人三个馆都没参观。5_. 如图，ÐB = 30°,ÐA = 60°,ÐD = 20° ，则ÐBCD （图中有圆弧部分的那个角）的度数为_° 。【分析】四边形内角和为 360°，所以优角 ÐBCD = 360° -30°- 20° -60° = 250°6. 一次考试中，小明需要计算 37+ 31´ a 的值，结果他计算成了37 + 31+ a 。幸运的是，他仍然得到了正确的结果。则 a = _。310【分析】由题意37 + 31´a = 37 + 31+a Þ a =37. 某次射箭比赛，满分是 10 份，初赛阶段淘汰所有参赛者的 50%。已知进入复赛的选手平均分比全体选手的平均分高 2 分，且进入复赛选手的平均分是 8 分。则被淘汰选手的平均分是_。【分析】设共有2n 人，则进入复赛的选手为n人、被淘汰的选手也为n 人。全体选手平均分为 6 分，总分为6´2n =12n 分，进入复赛选手总分为8´n = 8n 分，所以被淘汰的选手总分为12n -8n = 4n 分，平均分为4n ¸n = 4 分8. 有若干本书和若干本练习本。如果按每 1 本书配 2 本练习本分给一些学生，那么练习本分完时还剩 2 本书；如果按每 3 本书配 5 本练习本分给另一些学生，那么书分完时还剩 1 本练习本。那么，书有_本，练习本有_本。x + 2 2x -1【分析】不妨设有 x+ 2 本书，则练习本有2x 本，由题意=Þ x =13，所以书35有 15 本，练习本有 26 本。9_. 在 51 个连续奇数1, 3, 5,L,101 中选取k 个数，使得它们的和为 2013，那么k 的最大值是_。【分析】要使k 最大，则所选的数最好小1+3+L+89 = 452 = 2025 >2013 ，所以所选的数必须少于 45 个而 44 个奇数的和为偶数所以 k 的最大值理论上为 43下 面 开 始 构 造49 -101=148 ，将 83 换成 99，和增大 16，81 换成 97，和增大 16，1+3+L+83 = 422 =1764 ， 2013-1764 = 249 ，2148 ¸16 = 9L4 ，所以要替换 9 个数，再替换 1 个数使其大 4 即可所以，可以选 1 至 63，69，以及 83 至 101 这 43 个数。综上，k 最大为 43。10. 小明和小强玩一个数字游戏，小明选择了一个数字 x（09 之间），然后说：“我正在考虑一个三位数（百位允许为 0），这个三位数的百位为 x ，十位为 3，并且能被 11 整除，请你找出这个三位数的个位数。”小强非常开心，因为他知道能被 11 整除的数的规律。但是他思考后发现这样的三位数不存在。则 x = _。【分析】不妨设这个三位数为x3y ，若这个三位数能被 11 整除，则有11 x+ y -3由题意，无论 y 为 0 至 9 这十个数字中的哪一个时，这个三位数都不能被 11 整除所以应有1£ x+ y -3 £10x+ y -3依次对应为 1 至 10，即当 取 0 至 9 时，y所以 x = 4 。11. 我们将具有如下特性的四位数称为“中环数”：（1）四个数字各不相同；（2）千位数字既不是这四个数字中最大的，也不是这四个数字中最小的；（3）个位数字不是这四个数字中最小的。这样的“中环数”有_个。【分析】从 0 至 9 中任选 4 个不同的数字有C4= 210 种选法10不妨设取出的四个数字为a < b < c < d由题意，a只能排在百位或十位，有 2 种选择d 不能排在千位，还剩 2 个位置可选剩下的b,c 没有要求，依次有 2、1 个位置可选综上，中环数共有210´2´ 2´2´1=1680 个。12. 世纪公园里有一片很大的草地，每天总会生长出很多杂草（假设每分钟长出的杂草数量固定）。每天早上 8 点，一些工人会去除杂草（每个人的除杂草速度相同），一旦除完杂草（杂草的数量为 0，好的草不会被除掉），工人们就收工了，之后长出的杂草留待明天再除。第一天，一些工人去除草，除到 9 点收工 ；第二天，10 个工人去除草，除到 8 点 30 分收工；第三天，8 个工人去除草，除到_点_分收工（最后分钟的值四舍五入，填一个整数即可）。【分析】不妨设草 1 分钟长 1 份第一天 9 点时，整块草地上的杂草被除干净了，即草量为 0，所以到第二天 8 点 30分时，草长了 23 小时 30 分钟，即 1410 分钟，共长了 1410 份草这些草被 10 位工人用 30 分钟除干净了，所以 1 个工人 1 分钟可除草1410 ¸10 ¸30 = 4.7 份第三天 8 点时，草长了 23 小时 30 分钟，即 1410 分钟，共长了 1410 份草，8 个工 人每分钟可除草8´4.7 = 37.6份，需要用1410¸(37.6-1) »39分钟把草除干净，即第三天 8 点 39 分收工。13. 如图，一个棱长为 12 厘米的正方体被切了一刀，这刀是沿着 IJ 切入的，从LK 切出，使得 AI = DL = 4厘米 ，JF = KG = 3厘米 ，截面 IJKL 为长方形。正方体被切成了两个部分，这两个部分的表面积之和为_平方厘米。【分析】表面积比原来正方体的表面积增加了两个长方形如下图，MJ =12 - 4- 3 = 5， MI =12 ，由勾股定理， IJ =13所以新增的长方形面积为12´13 =156两部分表面积之和为6´122 + 2´156 =1176平方厘米。ABIMJEF1_4. 如图是一个除法算式，在空格中填入合适的数字能使这个算式成立。那么被除数是_。 9 17 90【分析】由 1、7、9，可知 c,d,e, f 都为奇数，且c ¹ 5 ，d,e, f 互不相同由d ´abc 为三位数，e´ abc 为四位数， f ´abc 为三位数，可知e为 d,e, f 中最大的一个，所以e ³ 5若e = 5，则e´ abc 的个位为 5 不为 7，所以 e ¹ 5 若e = 7 ，则由e´abc 的个位为 7，可知 c =1，此时由 f ´ abc 的个位为 9，可知f = 9，与e > f 矛盾，所以e ¹ 7所以 e = 9 ，则由 e´abc 的个位为 7，可知 c = 3，由 d ´ abc 的个位为 1，可知d = 7 ，由 f ´ abc 的个位为 9，可知 f = 3，由7 ´abc £ 999 Þ abc £142 ，由9´abc ³ 1000 Þ abc ³112 ，所以 abc为 113 或 123而113´793 = 89609，万位不为 9，所以 abc ¹113所以 abc =123 ，被除数为123´793 = 97539125. A、B、C 均为正整数。已知 A 有 7 个约数， B 有 6 个约数，C 有 3 个约数， A ´ B 有 4 个约数， B ´C 有 10 个约数。则 A + B + C 的最小值为_。【分析】由 A 有 7 个约数，可知其中 q 为质数，A = p6 ，其中 p 为质数 ，由 C 有 7 个约数，可知C = q2 ，若 B 不含有质因子 p ，则 A´B 中质因子 p 的个数为 6，此时 A´ B的约数个数应为6 +1= 7 的倍数，不可能是 24 个，所以 B 含有质因子 p由于 24 大于 7 的约数有 8、12、24，所以 A´B 中质因子 p 的个数可能为 7、11、23若 A´B 中质因子 p 的个数为 11，则 B 中质因子 p 的个数为 5，由于 B 有 6 个约数，所以B = p5 ，此时 B´C = p5 ´ q2 ，若 p = q ，则 B´C = p7 有 8 个约数，若 p ¹ q，则B´C 有 18 个约数，均不为 10 个约数，所以 A´ B中质因子 p 的个数不为 11若 A´B 中质因子 p 的个数为 23，则 B 中质因子 p 的个数为 17，显然不可能为 6个约数所以 A´ B中质因子 p 的个数为 7，则 B 中质因子 p 的个数为 1若 B 不含有质因子q ，则 B´ C 中质因子 q 的个数为 2，此时 B´C 的约数个数应为2 +1= 3的倍数，不可能是 10 个，所以 B 含有质因子q由于 10 大于 3 的约数有 5、10，所以 B´C 中质因子q 的个数可能为 4、9若 B´C 中质因子q 的个数为 9，则 B 中质因子 q 的个数为 7，显然不可能为 6 个约数所以 B´C 中质因子 q 的个数为 4，则 B 中质因子 q 的个数为 2所以所以B = p ´q2 ，且 p ¹ qA+ B +C = p6 + p´q2 + q2 ，最小值为26+2´32 +32 = 9116. 有这样的正整数n ，使得均为完全平方数8n - 7、18n-35 均为完全平方数。则所有符合要求的正整数n =_。 ì-=2ï72n 140 4a2-=ï18n35aÞ (3b) - (2a)2 = 772Þ【分析】不妨设ííïî8n-7=b2所以 (3b- 2a)(3b +2a) = 77 =1´77 = 7´11ìa =19 ìa =1ïï解得 íb 13 或í=b = 3n = 2ïïn = 22îî17. 将2013´1, 2013´2, 2013´3, 2013´4, 2013´5, 2013´6, 2013 ´7, 2013´8, 2013´9013´10, 2013´11 填入下表，使得填入的数能被其所在列的位置号整除，那么有_2种不同的填写方法。位置号12345678910 11填入的数【分析】由于2013 =3´11´61所以 1 至 11 中，3 的约数有 1、3、11 这三个所以除了 2013´1, 2013´2, 2013´3, 2013´6, 2013´9, 2013´11这六个数可以互相交换位置其余的 2013´ 4, 2013´5, 2013´ 7, 2013´8, 2013´10必须填在 4、5、7、8、10号下面2013´2,2013´6可以填在2、6下面，有2种填法9下面可以填2013´3, 2013´9，有 2 种填法剩下 3 个数可以随意填在 1、3、11 下面，有 6 种填法综上共有 2´2´ 6 = 24种填法18. 如图， ABCD 是边长为 6 的正方形， ADGH 是一个梯形，点 E、F 分别是 AD、GH 的中 点， HF = 6，EF = 4，EF GH 。 联 结 HE 并 延 长 交 CD 于 点 I ， 作 IJ HA ，则IJ= _。【分析】如下图，连接 AI，延长 CD 较 GH 于 K易知 KD = 4,GK =3，所以GD = 5 ，同理 AH = 5又由 HK = 9,DE = 3,KD = 4， ID : IK = DE : HK ，可知 ID = 2设 IJ = a, JA = b，由勾股定理ìaa2+ b2 = AJ2ï有íïî2+ (b + 5)2 = HI2ìAJHI2= ID2 + DA2 = 40= IK + KH =117ï又由勾股定理 íïî222 ìa22+ b2 = 40ïÞ10b+25=77Þb=5.2í所以 ïa+ (b + 5)2 =117îÞa2+27.04=40Þa2=12.96Þa=3.6FKHGDIAEJbaBC19. 如图所示，甲、乙两只蚂蚁在下列圆周上运动。 AC 为大圆的直径，点 B 在 AC 上，AB、BC 分别为两个小圆的直径 。甲蚂蚁在大圆上顺时针爬行，乙蚂蚁在两个小圆上沿着箭头所指方向绕“8”字爬行（ A ® B ®C ® B ® A ）。甲蚂蚁与乙蚂蚁在某一时刻同时从 A点出发，然后不断地爬行，速度比为 v ：v =3: 2 。经过 T 分钟，两只蚂蚁相遇。接下来，甲乙11甲蚂蚁将自己的速度提高了 ，乙蚂蚁的速度不变，继续在原来的轨道上爬行。经过T2 分3钟，两只蚂蚁再一次相遇。已知T +T =1003 -993 +983 -973 +L+ 23 -13，则甲蚂蚁按原来的速12度绕大圆爬行一周需要_分钟（本题答案写为假分数）。A乙B甲C【分析】乙爬行一个 8 字的路程为 p ´ AB+p ´ BC = p ´ AC ，甲爬行一圈的路程为´ AC ，所以甲乙爬行的路程相等，所以甲从 A 到 C 的路程与乙从 A 到 C 的路p程相等由于一开始V :V = 3: 2 ，所以第一次相遇时，甲爬了 3 圈，乙爬了 2 个 8 字，甲乙在 A 点相遇13后，V :V乙 = 4: 2 ，所以第二次相遇时，甲爬行了 2 圈，乙爬了*甲甲将速度提高1个 8 字T1 + T2=(100 -99)(1002 +100´99+ 992 ) +L+(2 -1)(22 + 2´1+12 )1002 + 992 +L+ 22 +12 +100´99 +L + 2´1100´101´201=+1002 -100+ 982 - 98+L+ 22 - 26338350+22´(502+492+L+12)-(100+98+L+2) =338350+171700-2550507500507500所以，在 507500 分钟当中，乙爬了 3 个 8 字，所以乙爬一个 8 字用时分3钟，由于一开始V :V = 3: 2 ，甲乙50750021015000所以甲以初始速度爬行一周需要´ =33920. 将 09 填入下图圆圈中，每个数字智能使用一次，使得每条线段上的数字和都是 13。【分析】如下图，a -h 被算了 3 次， x被算了 4 次， y 被算了 2 次则10´13= 3´(0+1+2+L+9)+ x- y Þ y - x = 5由于 a+ g + b= c+ x+ y = h+e+d =13Þ f = 6所以 c+ d = a+ h = b+ x = 7Þ f = 6所以，a,b,c,d,x,h 分别为 0、2、3、4、5、7所以 e, g, y 分别为 1、8、9又 y- x = 5，所以 y = 8或 9若 y = 8，则 x = 3Þ b = 4 Þ e =1Þ g = 9 Þ a = 0 Þ d =10 矛盾所以y = 9 Þ x = 4 Þ b =3 Þ e =1Þ g = 8Þa = 2 Þ d = 7 Þ c =0 Þ h = 5a2g8b3y9h5x4ce01f6d7