第十四届小机灵杯小学数学五年级决赛剖析.docx

第十四届“小机灵杯”数学竞赛决赛试题（详解）（五年级组）时间：60 分钟 总分：120 分（第 1 题第 5 题，每题 6 分）已知a + 3 = 3a ，b + 4 = 4b ，c + 5 = 5c ，d + 6 = 6d ，则 a × b × c × d =1.。【答案】3分析】方程+分数计算345632435465可以求出a = ，b = ，c = ，d = ，则a × b × c × d =×××= 3。23452.一个四位数是 25 的整数倍，其各位数字之和是 25，这个四位数是。【答案】9925、4975、5875、6775、7675、8575、9475分析】整除性+分类讨论末两位 00：不存在；末两位 25：9925，1 个；末两位 50：不存在；末两位 75：4975，5875，6775，7675，8575，9475，共 6 个；3.有些数不管是从左往右读，还是从右往左读，读出的结果都相同（比如 2772，5915），这样的数叫做“回文数”。现有一个两位数，用它分别乘 91，93，95，7，所得的积都是回文数，这个两位数是 。【答案】55分析】整除+数位分析不妨令这个两位数为ab ，因为 ab × 95 得到的乘积是回文数，所以，乘积首末位数字为 5，b 是奇数，ab × 95 = 5cc5 ，（估算）又因为95 × 53 = 5035 ，95 × 65 = 6175 ，（可以试出 95 × 55 = 5225 ）说明ab 的范围是 5365 之间；又因为，四位回文数一定是 11 的倍数，因此，只能是ab = 55 。1 )4.(172015 2 ÷15 的余数是。【答案】6分析】余数：可计算性因为，172015 22015 mod15 ，24 1 mod15 ，() () ( ) ( ) ()8 2 6 mod15所以，22015 23 8 mod15 ， 172015(2余数为 6。5.股民小李在某个股票上涨 5%时，以每股 21 元的价格买入 5000 股，当天股市收盘，这个股票下跌了 6%，第二天当这个股票上涨了 10%时，小李卖出了 5000 股。如果不计后续费等费用，小李买卖这个股票了元。（【注：第一个括号内填盈利或亏损）答案】盈利，600分析】百分数应用题买入价：21 元/股，当时上涨 5%，可以求出原股价21÷ 1+ 5% 20 元/股；() =收盘价：20 × 1 6% 19.2 元/股；() =第二天卖出价：19.2 × 1+10% 21.12 元/股；() =因为21.12 > 21，所以，一共赚了 21.12 21 5000 = 600 元。()×（第 6 题第 10 题，每题 8 分）6.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是 2448 平方厘米。从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为 216 平方厘米。这根木料最多能锯出个这样的正方体。（注：每锯一次会损耗木料 2 毫米）答案】11分析】长、正方体表面积【可以求出截面积为216 ÷ 6 = 36 平方厘米，所以长方体高 2448 ÷ 36 = 68 厘米；因为每次损耗 2 毫米，即 0.2 厘米， 68 + 0.2()÷( + ) =6 0.2 11（植树问题），最多能锯出 11 段。2 111151111117.已知 A = 1 + + !+99 100， B =+!+，23 450 51 52（大数减小数）。99则 AB（填<、>、=），它们相差1【答案】 A < B ，50分析】分数计算+整体代换111111214161A = 1+ + + +!+ 2 × + + +!+23 499 10010011111111=1+ + + +!+ 1+ + +!+23 499 100235011111111B = 1+ + + +!+ 1+ + +!+23 499 10023491所以， A < B，相差一个。508.三位数n 是一个完全平方数，它每一位上的数字和也恰好是一个完全平方数，这样的三位数共有 个。【答案】13分析】数论综合：平方数+估算+余数为方便说明，假设a2 = n ，因为 312 = 961，322 = 1024 ，所以，10 a 31；三位数的数字和最大为 27，因此 n 的数字和可能是 25、16、9、4、1；数字和为 1：102 =100 ，共 1 个；数字和为 4：112 =121，202 = 400，共 2 个；数字和为 9：（平方数为 9 的倍数）=144 ，15 = 225 ，18 = 324 ，21 = 441， 30 = 900，共 5 个；2222221数字和为 16：（16 7 mod 9 ，所以 a 4 mod 9 ， a 5 mod 9 ）() () ()=169，14 = 196，22 = 484 ，23 = 529， 31 = 961，共 5 个；3222221数字和为 25：（同理 25 7 mod 9 ，所以 a 4 mod 9 ，a 5 mod 9 ）() () ()没有满足条件的；因此，一共有1+ 2 + 5 + 5 = 13个。3 9.博物馆有并列的 7 间展室，警卫从走到第一间展室开始，再走到第二间走到第七间后往回走，走到第六间，再走到第五间他每走进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关。如果开始时 7 间展室都亮着灯，那么他走过100 间展室后，还有间展室亮着灯。【答案】3分析】周期问题+奇偶性从第一间出发到第七间，再回到第二间可以看作一个周期，1234567一个周期走过 12 个房间，号与 7 号房间拨动 1 次开关，2 号6 号房间拨动 2 次开关，即一个周期后 1 号、7 号状态改变 1 次，2 号6 号房间状态不变；00 ÷12 = 8!4 ，8 个周期后，依然是全亮的；再走过 4 个房间，4 个房间就都暗了，因此，最后还有 3 间展室亮着灯。1110. 若三角形 ABC 中有一个内角是 30 度，且可以将三角形 ABC 分成两个等腰钝角三角形，则另两个内角是 度。（请写出所有可能的情况）答案】15°，135°或者 10°，140°分析】角度问题：等腰三角形的分割【可以按照内角 30 度是否被分割来分类，如果 30 度内角不被分割，如下图：另一个三角形有一个 60°的内角，此种情况不符合题意；60°30°另一个三角形有一个内角是 150°，此种情况可以求出另外两个内角为15°，135°；150°120°30°4 如果 30 度内角被分割，如下图：adacbb因此有，内角和：a + 2b + d = 180! ，外角关系：a = 2b，且 a + b = 30!所以，a = 20! ，b = 10! ，另一个内角为 140°；综上所述：有两种情况，另两个内角分别为 15°，135°或者 10°，140°。（第 11 题第 15 题，每题 10 分）11. 已知S = 1，S = 1 2 ，S = 1 2 + 3，S = 1 2 + 3 4 ，S = 1 2 + 3 4 + 5 ，12345那么S + S + S +!+ S=。123299【答案】150分析】数列巧算+奇偶性正负数（或取整）S = 1，S = 1，S = 2 ， S = 2，S = 3，S = 3，123456规律比较明显，可知S + S + S + S +!+ S = 0 ，1234298n 2且Sn =（向上取整），所以， S299 = 299 +1)÷ 2 = 150。(12. 甲从 A 地出发到 B 地，30 分钟后乙、丙也从 A 地出发到 B 地。乙用 20 分1钟追上了甲，丙在行完全程的 时，也追上了甲。乙到达 B 地后立即加速5返回，速度比原来提高了 20%。当乙、丙两人相遇时，甲与他们相距 1530米。已知丙的速度是甲的 2 倍，甲平均每分钟走米。85【答案】6【（分析】多人行程+比例+分数应用1）甲出发 30 分钟后，乙用 20 分钟追上甲：可得，T :T = 5 :2 ，甲乙因为路程相同，所以，V :V = 2 :5 ；甲乙5 1（2）丙行完全程的 时追上甲，且丙的速度是甲的 2 倍：51可得，丙追上甲时，甲应该走了全程的，101即，甲先走 30 分钟，行了全程的 ，甲走全程需要 300 分钟；10丙走全程需要 150 分钟；3）根据（1）、（2）的结论，可知乙走全程需要 120 分钟；同时求出V :V :V = 2 :5 :4 ，（甲乙丙42112因此，当乙到达 B 地时丙走了全程的 ，此时，甲走了 +=全程；55 10BA15（4）返回时，乙的速度提高了 20%，此时V :V :V = 2 :5 × 1+ 20% :4 2 :6 :4 1:3:2 ，()=甲乙丙122因此，乙、丙在距离 B 地 ×=全程的地方相遇，52 + 3 2533此时丙走了全程的，甲又走了全程的，255043139此时甲与乙丙之间相距全程的 + + =，525250259856因此，全程为1530 ÷= 4250 米，甲的速度为 4250 ÷ 300 =米/分。2513. 一班与二班各出 4 名队员按事先排好的顺序出场，进行乒乓球单打比赛。双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者与负方的 2 号队员比赛，直到有一方队员全被淘汰为止，则另一方就获得胜利。从第 1 场比赛到最终决出胜负的所有比赛场次和每一场胜负情况称为一个比赛过程，那么可能出现的比赛过程共有种。【答案】70分析】计数综合：排列组合因为都是按照 1 号到 4 号的顺序出场，我们可以用 4 个白球代表一班队员，6 4个黑球代表二班队员，以下给出一两种情况进行解释：（1）可以看作一班 1 号队员赢了二班所有队员；（2）可以看作一班 1 号队员输了，2 号队员出场赢了二班所有队员；（3）可以看作一班 1 号队员赢了二班前 3 名队员，输给了二班 4 号队员，一班 2号队员取得胜利；如上，可以将题目转换为 4 个白球和 4 个黑球的排列问题：84× 7 × 6 × 5× × ×3 2 1因为球并无顺序，因此可以通过组合算出有C84C44= 70 种。14. 如图，直角梯形 ABCD 的面积是 52，DE = FC ，AF 与 BE 相交于 O，三角形 AOB 的面积等于 17。那么，三角形 AOE 与三角形 BOF 的面积之和是。mADaADEyE17OxObzFaFCBCBn【答案】18分析】代数分析+面积公式【标记如右图：令 DE = FC = a ， EF = b ，上底 AD = m ，下底 BC = n ，已知SAOB = 17 ，令 SEOF = x ， SAOE = y ，SBOF = z ，利用面积公式进行分析：7 () ()m + n 2a + b已知：SABCD如图，SADF= 52 （1），2(a + b m)( + )a b n=，SBEC=，22由题意得：SADF + SBEC x = SABCD SAOB ，(a + b m a b n)( + )即+ x = 52 17 = 35 （2）(m + n)( + ) =22( )2a b 1043( )4将（1）、（2）式整理得： ，(m + n a b 2x 70)( + )=a m + n)()+=x 17 （5），+ =（3）、（4）相减可得：a m + n 2x 34 ，即2( + n)am an a m而SADE + SBCF=+=，222所以，根据（5）可以得出SADE + SBCF + SEOF = 17，()所以 x + y = SABCD SAOB S+ SBCF + SEOF = 52 17 17 = 18ADE15. 在 A ÷ B = C!8 这道有余数的除法算式中，A + B + C = 2994 ，那么 A =。【答案】8 或 2864分析】整数数论+因式分解由 A ÷ B = C!8 可得 A = BC + 8 ，所以， A + B + C = BC + B + C + 8 = 2994 ，即 BC + B + C +1= 2987 B C +1 C 1 B 1 C 1 2987 ，()+ + = ( + )( + ) =2987 = 29 ×103，且 B > 8 ，B +1= 2987 + =B 1 29 + =B 1 103C +1= 29可能的值为 或 1= 103或 ，C +1= 1+CB = 2986解得： =B 28 =B 102C = 28或 或 ，C = 0=102C因此，求得 A 的可能值为：8 或 2864。8