第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）.doc

第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：2016×20162015×2016 2（10分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20 3（10分） 如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是 cm24（10分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期 5（10分）从 1、3、5、7、9 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中，使式子成立：+×两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有 种不同的填法6（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地 60 千米处相遇相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50 千米处再次相遇则A，B两地的路程是 千米7（10分）黑板上先写下一串数：1，2，3，50，每次都擦去最前面的 4 个，并在这串数的最后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足4个问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是 ；（2）最后 1 个所写的数是 8（10分）一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是 二、简答题（每小题5分，共20分，要求写出简要过程）9（5分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每 2 支送 1只小熊玩具，不足2支不送卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？10（5分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：B74°，A70°，CEB20°，那么ADC等于多少度？11（5分）将自然数1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？12（5分）从 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的和是5的倍数？第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：2016×20162015×20162016【分析】加法左右两边的算式中都有相同的因数2016，可以根据乘法分配律简算【解答】解：2016×20162015×20162016×（20162015）2016×12016故答案为：20162（10分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20144【分析】通过观察发现，运用加法交换律与结合律把前后两数组合可以得出整21，共7对，即（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），计算即可【解答】解：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），21×7147故答案为：1473（10分） 如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是56cm2【分析】由大长方形到小长方形周长减少了：301614（厘米），相当于减少了两条正方形的边长，所以正方形的边长是：14÷27（厘米），也就是原来长方形的宽是7厘米；那么原来长方形的长为：16÷27+78（厘米），面积是：8×756cm2【解答】解：根据分析可得，301614（厘米），正方形的边长：14÷27（厘米），原来长方形长：16÷27+78（厘米），面积：8×756（平方厘米）；答：原来长方形的面积是56cm2故答案为：564（10分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期五【分析】首先根据1个月最多有31天，可得：1个月最多有4个星期零3天；然后根据该月星期五、星期六和星期日各有5天，可得：该月的第1日是星期五，据此解答即可【解答】解：因为31÷74（个）3（天），所以1个月最多有4个星期零3天，因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，所以该月的第1日是星期五答：该月的第1日是星期五故答案为：五5（10分）从 1、3、5、7、9 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中，使式子成立：+×两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有12种不同的填法【分析】按题意，可以分类讨论，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为7+916，可从7+9开始分类讨论，最后算得总的填法【解答】解：根据分析，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为7+916，两数之和为7+9时，则不等式右边有1×3、1×5、3×5三种填法；两数之和为5+9时，则不等式右边有1×3、1×7两种填法；两数之和为3+9时，则不等式右边有1×5、1×7两种填法；两数之和为1+9时，则不等式右边有0种填法；两数之和为5+7时，则不等式右边有1×3、1×9两种填法；两数之和为3+7时，则不等式右边有1×5、1×9两种填法；两数之和为1+7时，则不等式右边有0种填法；两数之和为3+5时，则不等式右边有1×7一种填法；两数之和为1+5时，则不等式右边有0种填法；两数之和为1+3时，则不等式右边有0种填法；综上，共有：3+2+2+0+2+2+0+1+0+012故答案是：126（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地 60 千米处相遇相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50 千米处再次相遇则A，B两地的路程是130千米【分析】可以利用相遇时距离之比等于速度之比，列出关系式，可设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S60千米，第二次相遇，甲又走了S60+50千米，乙又走了60+S50千米，从而可以求出S的值【解答】解：根据分析，设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S60千米，第二次相遇，甲又走了S60+50千米，乙又走了60+S50千米，则：，解得：S130故答案是：1307（10分）黑板上先写下一串数：1，2，3，50，每次都擦去最前面的 4 个，并在这串数的最后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足4个问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是1275；（2）最后 1 个所写的数是755【分析】按题意，每次擦去的4个数之和都写在后面，擦到最后只剩下49和50，但后面均为四个数的和，个数为12个，加上49和50两个数，共14个数，再继续循环，这次首先擦掉的是49和50及1+2+3+4的和，及5+6+7+8的和，依此继续下去，最后只剩下，4组数的和，即：25+26+27+28，29+30+31+32，33+34+35+36，37+38+39+40，此时这一组数的和为一个数，故最后剩下的数为这4组数的和，即：25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40520，而最后一个写的数，可通过总数算得【解答】解：根据分析，每次擦去的4个数之和都写在后面，擦到最后只剩下49和50，但后面均为四个数的和，个数为12个，加上49和50两个数，共14个数，再继续循环，这次首先擦掉的是49和50及1+2+3+4的和，及5+6+7+8的和，依此继续下去，最后只剩下，4组数的和，即：25+26+27+28106，29+30+31+32122，33+34+35+36138，37+38+39+40154，而四组数的和为：106+122+138+154520，当黑板上只剩下：41+42+43+44170；45+46+47+48186；49+50+1+2+3+4+5+6+7+8135；9+10+11+12+24264；25+26+27+28+40520；即按顺序排为：170、186、135、264、520五个数，此时最后写的数应是：170+186+135+264755故最后只剩下两个数：520和755，最后黑板上剩下的这些数的和是；520+7551275，故答案是：1275；7558（10分）一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是36【分析】当这个2016位的整数的每个数字都为9时，这个数的数字和最大，为9×201618144，所以任何2016位数的数字和都不大于18144，再分析这个不大于18144的数的数字和【解答】解：2016位数的数字和最大的情况是：，最大数字和为：9×201618144，问题变成分析一个小于等于18144的数的数字和的最大值，首先考虑17999，9999，可知：9999的数字和最大为36故本题答案为：36二、简答题（每小题5分，共20分，要求写出简要过程）9（5分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每 2 支送 1只小熊玩具，不足2支不送卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？【分析】按题意，卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，每 2 支送 1只小熊玩具，利润为2×7212元，可设有x个人买了两支钢笔，则利润为12x，而促销活动赚了2011元，可知，除了买两支钢笔的顾客，还有只买一支钢笔的顾客，可设y人，可列关系式，分情况讨论求解【解答】解：根据分析，每 2 支送 1只小熊玩具，利润为2×7212元，设有x个人买了两支钢笔，则利润为12x，只买一支钢笔的顾客y人，利润为7y，故有：12x+7y2011，因x，y均为非负整数，解得：x167，y1，此时促销共卖出的钢笔总数为：2x+y2×167+1335（支）；故答案是：335支10（5分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：B74°，A70°，CEB20°，那么ADC等于多少度？【分析】可以利用三角形的外角和以及四边形的内角和，C180°AB180°74°70°36°，COE180°CCEO180°36°20°124°，又OED+ODECOE124°，根据四边形内角和得知：OED+ODE+CDA+A+B360°，最后求得ADC的度数【解答】解：根据分析，如图，C180°AB180°74°70°36°，COE180°CCEO180°36°20°124°，又OED+ODECOE124°，根据四边形内角和得知：OED+ODE+CDA+A+B360°，CDA360°COEAB360°124°74°7092°故答案是：92°11（5分）将自然数1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？【分析】首先按照位数进行分析，可知2位数不满足题意三位数中100199也是不满足题意的，继续推理即可【解答】解：依题意可知：首先分析如果是2位数那么不能连续出现5个偶数，考虑三位数如果是100200之间的数字每3位必须有1不符合题意200201恰好为5个偶数连接满足题意19共9个数码；1099共90个数共180个数码100199共100个数字300个数码再来一个即是题意要求的数字共9+180+300+1490答：当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是490个12（5分）从 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的和是5的倍数？【分析】首先把数字按照除以5的余数分别是0，1，2，3，4进行分类然后余数是1，4的一组不能同时出现，余数是2，3的一组不能同时出现余数是0的只能出现1个【解答】解：依题意可知：首先按照余数进行分类数字除以5的余数是1和2的即可200÷540（组），每一组都有两个数字余数分别是1和240×280（个）；再找出一个数字余数是0的数字再来一个就一定有2个数字和是5的倍数了80+1+182（个）综上所述：至少选出82个数字才能保证其中必有2个数的和是5的倍数声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:01:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第8页（共8页）