第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）.doc

第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一填空题（每小题10分，共80分）1（10分）算式 ÷（）的值为 2箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为 3（10分）设某圆锥的侧面积是10，表面积是19，则它的侧面展开图的圆心角是 4设ab和ab分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，343，344，那么对于不同的自然数x，64（x5）的取值共有 个5（10分）某水池有A，B两个水龙头如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满如果单独打开B龙头注水，需要 分钟才可将水池注满6如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为2按图所示数据，这个五棱柱的体积等于 7（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇那么O与B两点的距离是 米8（10分）从1到1000中最多可以选出 个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和二解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。9（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由10（10分）已知99个互不相同的质数p1，p2，p99，记作N+，问N被3除的余数是多少？11（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由12（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同币值的纸币，4枚不同的硬币纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整除问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）三解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点已知，平行四边形ABCD的面积是1，三角形BHC的面积是，求三角形ADG的面积14（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一填空题（每小题10分，共80分）1（10分）算式 ÷（）的值为【分析】先算小括号里面的加法，再算括号外的除法，最后算减法，由此求解【解答】解：÷（），÷，；故答案为：2箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为2：5【分析】此题中，第一次加球后，变化的是黑球，红球没变（原有的），这时红球数：黑球数1：32：6；第二次加球后，黑球是这次没变（球数是第一次变化后的），红球却变化了，这时红球数：黑球数1：23：6对比可知，黑球数一样，红球却多出了1份，这正是第二次加入的红球，当然也是第一次加的黑球数至此就可求得问题答案了【解答】解：1：1：32：61：23：6321615原有红球为2份、黑球为5份故：原来箱子里的红球与黑球之比为2：53（10分）设某圆锥的侧面积是10，表面积是19，则它的侧面展开图的圆心角是324度【分析】根据圆锥的特征，圆锥的侧面是一个曲面，侧面展开是一个扇形，底面是一个圆，圆锥的表面积侧面积+底面积，由题可知底面面积为9，所以底面半径为3，周长也就是侧面弧长为6，设角度为A侧面半径为R，则有×R210，×2R6，据此解答【解答】解：设角度为A侧面半径为R，则有×R210，×2R6，解得：A324度答：它的侧面展开图的圆心角是324度故答案为：324度4设ab和ab分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，343，344，那么对于不同的自然数x，64（x5）的取值共有2个【分析】首先对x 进行分类讨论，分别得出2种结果，据此解答【解答】解：当x5时，x55，4（x5）5，64（x5）5；当x4时，x5x，4（x5）4，64（x5）4故答案为：25（10分）某水池有A，B两个水龙头如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满如果单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间【解答】解：1÷（1）÷40，1÷，60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满故答案为：606如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为2按图所示数据，这个五棱柱的体积等于7【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积，正方形的边长是2，三角形的底和高都是1，据此可求出这个五边形的面积，也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是2，根据直棱的体积底面积×高，即可求出这个五棱柱的体积【解答】解：（2×2×1×1）×2（40.5）×23.5×27；故答案为：77（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇那么O与B两点的距离是1620米【分析】设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620x）米，所以乙走了（1620x）米，考虑甲乙速度不变，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620x）米；所以有AB4x，OB3×（1620x），又已知AO1620米；ABAO+OB，得到3x1620+3×（1620x），解得x1080米；代入OB3×（1620x）3×（16201080），解决问题【解答】解：设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620x）米，所以乙走了（1620x）米，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620x）米；因为ABAO+OB，得到：3x1620+3×（1620x），6x6480， x1080；O与B两点的距离是：3×（16201080）1620（米）；答：O与B两点的距离是1620米故答案为：16208（10分）从1到1000中最多可以选出334个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和【分析】要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被2除得的余数可以分成2类，即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看3，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为1与0和2两类讨论即可得出答案【解答】解：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，对被3除余2的所有数也如此，即2+24，4÷3还是余1，在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；故答案为：334二解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。9（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由【分析】由题意得a9，d1，则2000，10081000，则四位数，1008是三位数，没有这样的数【解答】解：设这个四位数为，如果这个四位数与它的反序数之差为1008，则a9，d1，所以2000，10081000，则是四位数，1008是三位数，没有这样的数所以，一个四位数与它的反序数之差不能为100810（10分）已知99个互不相同的质数p1，p2，p99，记作N+，问N被3除的余数是多少？【分析】除3以外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，（2的平方除以3余1），然后分是否含有质数3讨论【解答】解：除3外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，所以99个余数1加起来是99，再除以3，余数为0；若这些质数中有3，因为32÷33，余数为0，所以99个余数加起来是98，98÷3322，答：N除以3的余数是0或2故答案为：0或211（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由【分析】500个小长方形就有500个小星星，500个星星平均分成5行，每行就有100个，是偶数；500÷2002（个）100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+24（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数，由此可解【解答】解：可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500个小长方形就有500个小星星，500÷5100（个），每行100个是偶数；500÷2002（个）100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+24（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数；所以可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星12（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同币值的纸币，4枚不同的硬币纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整除问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）【分析】根据能够被3整除的数的特征是：各个数位上的数的和能够被3整除，50+20+10+181元，50+10+5+166元，20+10+5+136元，都能够被3整除，取最小的数是36元，能被7整除，是7的倍数，50+10+2+163分，再加起来即可【解答】解：能够被3整除，50+20+10+181元，50+10+5+166元，20+10+5+136元，取最小的数是36元，能被7整除是50+10+2+163分，36元+63分36元6角3分，100元36元6角3分63元3角7分；答：小明最多用了63元3角7分钱三解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点已知，平行四边形ABCD的面积是1，三角形BHC的面积是，求三角形ADG的面积【分析】设出平行四边形的底和高，得出F点的位置，进而用平行四边形的底表示出CF、DF、BE、AE的长度，进而用平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解【解答】解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah1AE，BE，h1计算F点在CD上的位置：SBEHBE×h÷2SBCH，a×，；h12×SBEH÷BE（h1为BEH之BE边上的高），2×÷a，；SCFHCF×（hh1）÷2，CF×h÷2SBCH，所以CF×（）÷2CF×÷2， CF×CF×， CF×， CF；DFDCCF；2计算ADG的面积：SADGSADESAEG，AE×h÷2AE×h2÷2，（h2为AEG之AE边上的高）×÷2×h2÷2，×h2，（1）SADGSADFSDFG，DF×h÷2DF×（hh2）÷2，（DF×h2）÷2，×h2÷2，×h2，（2）（2）代入（1）可得：×h2×h2，×h2×h2， h2，SADG×h2，；答：ADG的面积是14（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？【分析】先根据等差数列求和公式得到一百个自然数的和，再分100x+4950两数相加没有进位；100x+4950两数相加t次进位进行讨论即可求解【解答】解：总和a100x+9900÷2100x+4950，如果100x+4950两数相加没有进位，则数字和x的数字和+4+9+550，x的数字和32，x至少是5位数：99950；如果100x+4950两数相加t次进位，则数字和x的数字和+4+9+59t50，x的数字和9t32，进位一次则x的数字和41，最小199949；进位2次则x数字和50，最小699899；更多进位，x位数也必超过5所以x最小是99950声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:24；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第10页（共10页）