东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含答案.pdf

第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司东莞外国语学校 2023-2024 高二数学上学期第一次段考 东莞外国语学校 2023-2024 高二数学上学期第一次段考 一、单选题一、单选题1若直线经过()()1,0,4,3AB两点，则直线AB的倾斜角为（）A30 B45 C60 D120 2若直线210a xy+=与20axy=直线平行，则a的值为（）A1 B0 C1 D0或 1 3已知三点()1,2,1A、()1,5,1B、()1,2,7C，则 A三点构成等腰三角形 B三点构成直角三角形 C三点构成等腰直角三角形 D三点构不成三角形 4如图，已知正方体1111ABCDABC D中，点E为上底面11AC的中心，若1AEAAxAByAD=+，则(xy+=)A12B1 C32D2 5如图，二面角l 的棱l上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内,，且都垂直于AB已知4AB=，6AC=，8BD=，2 17CD=，则该二面角的大小为（）A30 B60 C 120 D150 6如图，11AB，AB分别是圆台上、下底面的两条直径，且112ABAB=，11/AB AB，1C是弧11AB靠近点1B的三等分点，则1AC在AB 上的投影向量是（）A54AB B56AB C58AB D23 AB7如图，正方体中的棱长为 2，,A B分别为所在棱的中点，则四棱锥SABCD的外接球的表面积为（）A16 B32 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 C10 D414 8已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是 2，则PM PN 的取值范围为（）A0,4 B0,2 C1,4 D1,2 二、多选题二、多选题 9若向量，是空间的一个基底，向量,mab nab=+=那么可以与，构成空间的一组基底的向量是 A a B b C ac+D 10过点()2,3，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A50 xy+=B320 xy=C10 xy+=D32120 xy+=11若直线1:34lxy=，2:0lxy+=，3:234lxmy+=不能构成三角形，则 m 的取值可能为（）A23 B23 C29 D29 12如图，在正方体1111ABCDABC D中，1AB=，点 P在侧面11BCC B及其边界上运动，并且总是保持1APBD，则下列结论正确的是（）A113P AA DV=B点 P 在线段1BC上 C1BD 平面11AC D D直线 AP 与侧面11BCC B所成角的正弦值的范围为2,12 三、填空题三、填空题 13过点()1,2P且与直线3250 xy+=垂直的直线方程是 14已知四棱柱的底面 ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为 2，则对角线的长为_ 15如图，正四棱锥模型PABCD中，过点A作一个平面分别交棱PB、PC、PD于点E、F、G，若 35PEPB=，12PFPC=，则 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 PGPD=_ 16材料：在空间直角坐标系中，经过点()000,P xy z且法向量(),ma b c=的平面的方程为()()()0000a xxb yyc zz+=，经过点()000,P xy z且方向向量(),nA B C=的直线方程为()0000 xxyyzzABCABC=阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为240 xyz+=，直线 l 的方程为23xyz=，则 l 与的交点坐标为 ，l与所成角的正弦值为 四、解答题四、解答题 17已知a(3,2,3)=，b(1,3,1)=，求：（1）(a2b)(2ab)的值；（2）以a，b为邻边的平行四边形的面积 18（1）若直线经过两点(,2)A m，3,212Bmm，且倾斜角为45，求m的值（2）若(1,2)A，(3,2)Bt，(7,)Ct三点共线，求实数t的值（3）若直线过点3(2,)A且倾斜角为直线30 xy=的倾斜角的 2 倍，求直线方程 19如图，在四面体 OABC 中，2OMMA=，N 是棱 BC 的中点，P 是线段 MN 的中点设OAa=，OBb=，OCc=(1)用a，b，c表示向量OP；(2)已知1abc=，2,23a bc ab c=，求OP 的大小 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 20已知直线l的方程为：(3)(1 2)(1 5)0m xm ym+=(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线1l，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l的方程 21如图四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，PG 平面 ABCD，垂足为 G，G在 AD上，且4PG=，13AGGD=，BGGC，2GBGC=，E是 BC的中点()1求异面直线 GE与 PC 所成的角的余弦值；()2求点 D到平面 PBG的距离；()3若 F 点是棱 PC 上一点，且DFGC，求PFFC的值 第 5 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 22(本题 12 分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜 60坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 60坐标系”下向量的斜 60坐标：,i j k 分别为“斜 60坐标系”下三条数轴（x 轴y 轴z 轴）正方向的单位向量，若向量nxiyjzk=+，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜 60坐标为x，y，z，记作,nx y z=(1)若1,2,3a=，1,1,2b=，求ab+的斜 60坐标；(2)在平行六面体11ABCDABC D中，AB=AD=2，AA1=3，1160BADBAADAA=，如图，以1,AB AD AA 为基底建立“空间斜 60坐标系”若1BEEB=，求向量1 ED的斜60坐标；若2,0AMt=，且1AMAC ，求AM 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 东莞外国语学校东莞外国语学校 2 2023023-20242024 高二数学上学期第一次段考高二数学上学期第一次段考 参考答案 1【答案】B【解析】由,A B两点的坐标代入两点间的斜率公式可得0311 4ABk=，设直线AB的倾斜角为),0,，可知tan1=，所以454=2【答案】D【解析】因为直线210a xy+=与20axy=直线平行，所以2aa=，解得：0a=或1a=，当0a=时，直线分别为1y=和=2y，满足题意；当1a=时，直线分别为10 xy+=和20 xy=，满足题意，综上：实数a的值为0或1 3【答案】B【详解】由空间中两点间的距离公式可得()()()2221 1251 13AB=+=，()()()2221 1221 76AC=+=，()()()2221 1521 73 5BC=+=，222ABACBC+=，因此，三点构成直角三角形 4【答案】B【解析】解：正方体1111ABCDABC D中，点E为上底面11AC的中心，111111111()222AEAAAEABADABAD=+=+=+，1AEAAxAByAD=+，11122xy+=+=故选：B 5【答案】B【解析】由条件，知0CA AB=，0AB BD=，CDCAABBD=+2222222CDCAABBDCA ABAB BDCA BD=+()22226482 6 8cos,2 17CA BD=+=1cos,2CA BD=，又0,180CA BD ，,120CA BD=，二面角的大小为60故答案为：60 6【答案】C【解析】如图，取1C在下底面的投影 C，作CDAB，垂足为 D 连接CA，CO，1CC，则3COD=，1AC在AB 上的投影向量是AD 设上底面的半径为 r，则12ODr=，5528ADrAB=故1AC在AB 上的投影向量是58AB 7【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()2,2,1,0,2,1,0,0,22,0,0ABSD，设球心为(),O x y z，外接球半径为 R 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司()()()()()()()22222222222222222221212Rxyzxyzxyzxyzxyz=+=+=+=+=+，解得，=1x，3,=14yz=，代入得222234111416R=+=，24144SR=8【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON=，2PM PNPO OMPO ONPOPOOMONOM ON=+=+，MN为球O的直径，0OMON+=，1OM ON=，21PM PNPO=，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PM PN的取值范围为0,2故选B 9【答案】CD【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理及3ab与、是共面向量易证得一定不与、共面。10【答案】ABC【解析】设所求直线在x，y轴上的截距分别为a，b，当0ab时，过点()2,3的直线为32yx=即320 xy=，当0a 且0b 时，设直线的方程为1xyab+=，则231abab+=，可得55ab=或11ab=，此时直线方程为155xy+=或1xy+=即50 xy+=或10 xy+=，综上所述：所求直线的方程为：50 xy+=或10 xy+=或320 xy=，11【答案】ABD 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为直线1:34lxy=，2:0lxy+=，3:234lxmy+=不能构成三角形，所以存在13ll，23ll，3l过1l与2l的交点三种情况 显然，0m 则直线123,l l l的斜率分别为13k=，21k=，323km=当13ll时，有13kk=，即233m=，解得29m=；当23ll时，有23kk=，即213m=，解得23m=；当3l过1l与2l的交点时先联立340 xyxy=+=，解得11xy=，则1l与2l的交点为1,1，代入3l，得2 1 34m=，解得23m=综上：29m=或23m=或23m=12【答案】BC【解析】对于 A，点 P 在平面11BCC B内，平面11BCC B 平面1AAD，所以点 P 到平面1AAD的距离即为点C到平面1AAD的距离，即正方体的棱长，所以1111111 1 13326P AA DAA DVSCD=，A 错误；对于 B，以 D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则()1,0,0A，(),1,P xz，()1,1,0B，()10,0,1D，()11,1,1B，()0,1,0C，且01x，01z，所以()1,1,APxz=，()11,1,1BD=，()11,0,1BC=因为1APBD，所以1110AP BDxz=+=，所以xz=，即(),1,P xx，所以(),0,CPxx=，所以1CPxBC=，即1B，C，P 三点共线，故点 P 在线段1BC上，B正确；对于 C，()11,0,1A，()10,1,1C，()11,0,1DA=，()10,1,1DC=，()11,1,1BD=，由111111110,0,DA BDDCBDDABD DCBD=，因为11DADCD=，1DA，1DC 平面11AC D，所以1BD 平面11AC D，C 正确；对于 D，()1,1,APxx=，01x，平面11BCC B的一个法向量为()0,1,0m=设AP 与平面11BCC B的夹角为，为锐角，其正弦值为()2222111sin2111324m APm APxxx=+由01x，得26sin23，D错误 13【答案】2380 xy=第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】由题设知：直线3250 xy+=斜率为32，故与其垂直的直线的斜率为23，过点()1,2P且与直线3250 xy+=垂直的直线方程为2(1)23yx=故该直线方程为2380 xy=故答案为：2380 xy=14 2 3【答案】【解答】解：设 则，则对角线的长为故答案为 15解：法一：设PGPD=，则有()()()553(2)21334PGPDPAADPABCPAPCPBPAPFPE=+=+=+=+=法二：如图所示：作法：连接FE并延长，与CB的延长线相交于点H，连接HA并延长，与CD的延长线相交于点M，连接MF，与PD相交于一点，则该点即为点G 理由如下：因为MH与FH是两条相交直线，所以MH与FH确定一个平面，则MH，FH，A、E、F，因为MMH，FFH，所以MF，因为MFPDG=，所以GMF，G，A、E、F、G四点共面 16 【答案】()0,2,0 6633【解析】（1）因为平面的方程240 xyz+=，即()220 xyz+=，故平面经过点()0,2,0，且法向量()1,2,1m=；又直线 l 的方程为23xyz=，即020311xyz=，故直线 l 经过点()0,2,0且方向向量()3,1,1=n 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 则 l 与的交点坐标为()0,2,0（2）设直线l与平面所成的角为，则32 166sincos,3314 19 1 1662m nm nm n+=+故答案为：()0,2,0；6633 17【解答】（1）由a(3,2,3)=，b(1,3,1)=a2(5,8,5)b=，2a(5,1,5)b=(a2b)(2ab)=5 5(8)(1)(5)(5)58+=（2）126 2cos,11|2211a ba ba b=27sin,1 cos,11a ba b=故以a，b为邻边的平行四边形的面积：7|sin,22117 211Sa ba b=18【解析】(1)由题意可得：21 2132ABmkmm=，解方程可得：2m=；(2)由题意可得：ABACkk=，即：2223 17 1tt=，解方程可得：5t=；(3)设直线30 xy=的倾斜角为，则1tan3=，2122933tan2384113=，由点斜式可得所求直线方程为：()3324+=yx，整理为一般式即：34180 xy=19【解析】（1）连接ON，因为 P 是线段 MN 的中点，所以()12=+OMONOP，因为 N 是棱 BC 的中点，2OMMA=，即23OMOA=，所以()()1 211 211112 322 32344=+=+=+OAOCOBacbOaPbc（2）()22222111111111344944668abcabcaPba cc bO=+=+因为1abc=，2,23a bc ab c=，第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 所以211111259161682144OP=+=，故512=OP 20【解析】（1）证明：原方程整理得：()25310 xymxy+=由250310 xyxy+=+=，可得12xy=，不论m为何值，直线必过定点()1,2M （2）设直线1l的方程为()12(0)yk xk=+令20kyxk=，令02xyk=，()()12141424244222kSkkkkkk=+=当且仅当4kk=，即2k=时，三角形面积最小 21【解析】以G点为原点，GBGCGP、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则()()()2 0 00 2 00 0 4BCP，故 E()()()1101100 2 4GEPC=，10cos10GE PCGE PC=，所以GE与PC所成的余弦值为1010()2平面PBG的单位法向量()010n=，因为333 30442 2GDADBC=，所以点D到平面PBG的距离为32GD n=，()3设()0yFz，则3322DFyz=，因为DFGC，所以230DF GCy=，所以32y=，又PFPC=，所以1z=，故 F331010301222PFFC=，所以3 52352PFFC=22【解析】（1）由1,2,3a=，1,1,2b=，知23aijk=+，2bijk=+，所以(23)(2)abijkijk+=+35jk=+，所以0,3,5ab+=；（2）设,i j k 分别为与1,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3ABi ADj AAk=，11EDADAE=()1112ADAAABAA=+112ABADAA=+第 7 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 33222,2,22ijk=+=由题11223ACABADAAijk=+=+，因为2,0AMt=，所以2AMitj=+，由1AMAC 知()()122320AM ACijkitj=+=()224242630itjt ijk itkj+=()1342423022ttt+=2t=，则()22222AMijij=22448ijij=+4442=+=