高三数学一轮复习讲义 直线、平面垂直 学生.docx
课题：直线、平面垂直的判定与性质 知识点一、直线与平面垂直的判定与性质1.判定定理（1）定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作：.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们的唯一公共点叫做垂足。（2）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（3）符号语言：注意：在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”2、性质定理（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行。（2）符号语言： 注意：直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系。知识点二、平面与平面垂直的判定与性质1、判定定理（1）平面与平面的位置关系：如果两个平面没有公共点，则两平面平行若,则。如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若,则与相交。（2）判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直（3）符号语言：（满足条件与垂直的平面有无数个）（4）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。 即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”。注意：应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直。口诀为：见到垂面做垂线.2、性质定理1.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2.符号语言：如果，,注意：解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线。知识点四、平面与平面所成的二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。2.表示方法：如棱为，面为的二面角，记作二面角。3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。4.二面角的取值范围：。注意：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直。【典型例题】【例1】如图所示，四棱锥的底面是边长的为1的正方形，侧棱，则它的五个面中，互相垂直的共有（ ）A3对 B4对 C5对 D6对【例2】设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【例3】如图，为正方体，下面结论： 平面； ； 平面其中正确结论的个数是（ ）A B C D【例4】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，点是的中点，且平面平面.求证:（1）平面；（2）平面.【例5】如图，在直三棱柱中，,分别是,的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【例6】如图，已知三棱柱中，底面，分别是棱的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【巩固练习】1.BC是RtABC的斜边,PA平面ABC,PDBC于D点,则图中共有直角三角形的个数是（ ）A.8个 B.7个 C.6个 D.5个2.如图，在三棱锥中，若，是的中点，则下列命题中正确的是（ ）A平面平面 B平面平面 C平面平面，且平面平面 D平面平面，且平面平面3正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A平面 B平面平面 C平面 D平面平面4如图，是直角三角形，平面，此图形中有 个直角三角形5在四棱锥中, 面,为正方形，为中点.（1）求证：/平面；（2）求证：.6如图, 在直三棱柱中，,，点是的中点，（1）求证：；（2）求证：；【课后练习】 正确率：_1.如图，在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ）A B C D2已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号是 .平面平面PBC 平面平面PAD 平面平面PCD 3已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是（ ）A若，则必有 B若，则必有C若，则必有 D若，则必有4如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是 A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC5在三棱锥中，已知底面，分别是线段上的动点，则下列说法错误的是（ ）A当时，一定是直角三角形B当时，一定是直角三角形C当平面时，一定是直角三角形D当平面时，一定是直角三角形6如图，在长方体中，则下列结论中正确的是( ) A. B.平面 C. D.平面7若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）；A个 B个 C个 D个8如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB； OC平面PAC；MO平面PAC； 平面PAC平面PBC其中正确的命题是（ ）A B C D9在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC10如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面是 中点,（1）证明:平面；（2）证明:平面平面11如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E，F分别是AP，AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD12.如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足为,点分别是棱的中点求证:（1）平面平面; （2）13如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，平面平面，且，,分别为，的中点（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求四棱锥的体积第 9 页 共 9 页学科网（北京）股份有限公司
