2024届高考数学专项导数解题思路培养(解答题拿分秘籍)含答案.pdf

导数及其应用（解答题拿分秘籍）七专题导数及其应用1专题一：利用导数研究函数单调性问题2一、必备秘籍2二、例题讲解2三、实战练习2专题二：利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论)7一、必备秘籍7二、例题讲解7三、实战练习8专题三：利用导数研究函数恒成立问题14一、必备秘籍14三、实战练习15专题四：利用导数研究函数有解问题21一、必备秘籍21二、例题讲解21三、实战练习21专题五：利用导数研究函数零点问题28一、必备秘籍28二、例题讲解28三、实战练习29专题六：极限与洛必达法则37一、必备秘籍37二、例题讲解37专题七：极值点偏移问题40一、必备秘籍40二、例题讲解40三、实战练习4212024届高考数学专项导数解题思路培养(解答题拿分秘籍)含答案专题一：利用导数研究函数单调性问题一、必备秘籍1 1、求单调区间：定义域；求、求单调区间：定义域；求 f(x)；令；令 f(x)0，求增区间；令，求增区间；令 f(x)0 0，再于定义域取交集，再于定义域取交集例2.(2021全国高三模拟预测)已知函数 f x=lnx-x+mx(mR R)()若函数 f x在 0,2上单调递增，求实数m的取值范围；感悟升华感悟升华(核心秘籍核心秘籍)已知函数单调性问题。已知函数单调性问题。已知已知 f f(x x)在在(a a,b b)上单调递增上单调递增x x(a a,b b),),f f(x x)0 0恒成立；恒成立；已知已知 f f(x x)在在(a a,b b)上单调递减上单调递减x x(a a,b b),),f f(x x)0 0恒成立；恒成立；注意等价条件中不等式含注意等价条件中不等式含(,(,都含有都含有=)=)注意与求单调性做对比注意与求单调性做对比三、实战练习1.(2021广东高三月考)设函数 f x=lnx-a x-1ex，其中aR(1)若a=-1，求函数 f x的单调区间；22.(2021静宁县第一中学高三月考(理)已知函数 f(x)=2x+alnx-2(a0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；3.(2021甘肃兰州西北师大附中高三月考(文)已知函数 f x=aex-1-lnx+lna(e是自然对数的底).(1)当a=1时，求函数y=f x的单调区间；4.(2021甘肃高三开学考试(文)已知函数 f x=12x2-1-lnx(1)讨论 f x的单调性；5.(2021浙江省富阳中学高三开学考试)已知 f(x)=ax2+bx+5-ln2x(1)若 f(x)在定义城内单调递增，求a+b的最小值;36.(2021广西柳州高三开学考试(文)已知函数 f(x)=lnx-a2x2+ax(aR).(1)当a=1时，求函数 f(x)的最值(2)若函数 f(x)在区间1,+)上是减函数，求实数a的取值范围.7.(2021全国)已知函数 f x=e2x+a-12lnx+a2(1)若函数y=f x在 0,12上单调递减，求a的取值范围；8.(2021全国高三月考(理)已知函数 f x=12x2+kx+1，g x=x+1ln x+1，h x=f x+gx(1)若h x在 0,2上单调递减，求实数k的取值范围；49.(2021四川达州高三二模(文)已知函数 f(x)=12x2+ax+cosx(1)若 f x在0,+)上为增函数，求实数a的取值范围；10.(2021青海西宁高三一模(文)设函数 f x=ex-ax312，其中常数aR.(1)若函数 f x在 0,+上是增函数，求实数a的取值范围；11.(2021江西南昌高三开学考试(理)已知函数 f x=lnx-ax+1aR.(1)若函数y=f x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；512.(2021眉山市彭山区第一中学高三开学考试(文)已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1.(1)若y=f(x)在点(1,f(1)的切线，与直线2x-y+1=0平行，求y=f(x)过点(0,1)的切线方程；(2)设函数 f(x)在区间-23,-13内是减函数，求实数a的取值范围.6导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论)一、必备秘籍往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。二、例题讲解例3.(2021山东莱州一中高三开学考试)已知函数 f x=x-1-alnx(其中a为参数).(1)求函数 f x的单调区间；感悟升华感悟升华(核心秘籍核心秘籍)本题导函数本题导函数 fx=x-ax，讨论时，讨论时a0，a0属于简单题属于简单题例4.(2021宁夏银川一中高三月考(文)已知函数 f(x)=x2-(a-2)x-alnx(aR)(1)求函数y=f(x)的单调区间；感悟升华(核心秘籍)本题 f(x)=2x-(a-2)-ax=(x+1)(2x-a)x导函数通分后，分子可因式分解；讨论时参考如下原则：最高项系数含参数，讨论时从参数=0开始讨论；因式分解后，两根大小不确定，从两根相等开始讨论；因式分解后，判断根是否在定义域内；本题最高项系数为2，不考虑原则，由于(x+1)(2x-a)=0的两个根x1=-1,x2=a2由于x1=-1不在定义域内，所以本题只考虑x2=a2是否在定义域，故讨论时可分类：a0，a07例5.(2021广西高三开学考试(理)函数 f x=x3+2x2+ax，(1)讨论 f x的单调性；感悟升华(核心秘籍)本题求导 fx=3x2+4x+a，由于不可因式分解，与上题有本质的区别；对于导函数为二次函数且不容易因式分解型的，推荐判别法：求；令0，此种情况简单，直接写结论；令0，求出此时的两个根x1,2判断x1,2是否在定义域内。本文由于定义域为R，故不用判断x1,2是否在定义域内；一般情况考题都需要判定x1,2是否在定义域内。三、实战练习13.(2021全国高三月考)设函数 f x=x+1ln x+1-ax2-x+a-1，aR(1)求 fx的单调区间14.(2021浙江舟山中学高三月考)已知函数 f x=x2-2x+alnx(aR)(1)当a0时，求函数 f x的单调区间；815.(2021山东济宁一中)已知函数 f x=x-alnx，aR R(1)求函数 f x的单调区间；16.(2021仪征市精诚高级中学高三月考)已知函数 f x=1nx-ax aR R(1)讨论函数 f(x)的单调性；17.(2021嘉峪关市第一中学高三模拟预测(理)已知函数 f x=ex-2ax-1，g x=2aln x+1，aR.(1)求 f x的单调区间；918.(2021榆林市第十中学高三月考(文)已知函数 f x=ax2-lnx-x，a0(1)试讨论函数 f x的单调性；19.(2021嘉峪关市第一中学高三三模(理)设函数 f x=ax2-a-lnx，其中aR R(1)讨论 f x的单调性；20.(2021贵州省思南中学高三月考(文)设函数 f x=2lnx-mx2+1.(1)讨论函数 f x的单调性；1021.(2021河南(理)已知函数 f x=lnx-m x2-x(m-8，且m0)(1)讨论函数 f x的单调性；22.(2021河南高三月考(文)已知函数 f x=lnx-m x2-x(m-8，且m0).(1)讨论函数 f x的单调性；1123.(2021湖南高三模拟预测)设函数 f(x)=lnx+a-1x,g(x)=ax-3(1)求函数(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间；24.(2021安徽高三月考(文)已知函数 f(x)=12x2-alnx(1)讨论 f(x)的单调性；25.(2021湖北武汉高三月考)已知函数 f(x)=lnx+a2x2-(a+1)x,aR(1)讨论函数 f(x)的单调区间；1226.(2021双峰县第一中学高三开学考试)已知函数 f(x)=x2-ax+1ex(1)讨论 f x的单调性；13导数及其应用专题三：利用导数研究函数恒成立问题一、必备秘籍分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题一般地，若一般地，若a f(x)对对xD恒成立，则只需恒成立，则只需a f(x)max；若若a f(x)对对xD恒成立，则只需恒成立，则只需a0成立，求a的取值范围28.(2021吉林长春外国语学校高三开学考试(理)设函数 f x=x2-a lnx+1a0(1)证明：当a2e时，f x0；15(2)若对任意的x 1,e，都有 f xx，求a的取值范围29.(2021全国高三开学考试(理)已知函数 f x=mex-lnxx-1x-1(1)当m=0时，求 f x的单调区间；(2)若对任意的x 0,+，均有 f x0，求实m的最小值1630.(2021孟津县第一高级中学高三月考(文)定义在 0,+上的关于x的函数 f(x)=(x-1)ex-ax22(1)若a=e，讨论 f(x)的单调性；(2)f(x)3在 0,2上恒成立，求a的取值范围31.(2021全国高三专题练习)已知函数 f(x)=alnx+bx的图象在点(1,-3)处的切线方程为y=-2x-1.(1)若对任意x13,+有 f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；32.(2021全国高三模拟预测(理)设函数 f x=x lnx+x-a，aR R(1)若 f x-2恒成立，求a的取值范围；1733.(2021宁夏银川一中高三模拟预测(理)已知函数 f(x)=x(lnx-m-1),mR.(1)若m=2，求曲线y=f x在点(e,f(e)处的切线方程；(2)若对于任意x e,e2，都有 f(x)f(x)有解，则只需a f(x)min；xD，使得a f(x)有解，则只需a f(x)max。二、例题讲解例8.(2021辽宁高三月考)已知函数 f x=a+1x-lnx(a,bR).(1)若x 0,+时，f x0有解，求实数a的取值范围；感悟升华(核心秘籍)对于有解问题，最核心的方法是变量分离法；1、变量分离时，注意不等式的方向是否改变2、变量分离后，需构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大(小)值；往往涉及到二阶导。三、实战练习37.(2021北京顺义)已知函数 f(x)=ex-mx2(mR R)(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=-ex+e，求m的值；(2)若存在x00,1，使得 f x02，求m的取值范围2138.(2021全国)已知函数 f x=x2-2ax+alnx(aR R)(1)若 f x在区间 1,2上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)若存在x0 1,e，使得 f x0+a-2x00成立，求实数a的取值范围2239.(2021全国)已知函数 f x=xex-ex+m.(1)求函数 f x的极小值；(2)关于x的不等式 f x-x30成立，求m的取值范围.2341.(2020宿松县程集中学(文)设aR，函数 f(x)=lnx-ax.(1)若a=3，求曲线y=f(x)在P 1,-3处的切线方程；(2)求函数 f(x)单调区间(3)若 f(x)0有解，求a的范围.42.(2020河南南阳市南阳华龙高级中学高三月考(文)已知函数 f x=a x-1x-2lnx aR.(1)若a=2，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)设函数g x=-ax.若至少存在一个x0 1,e，使得 f x0g x0成立，求实数a的取值范围.2443.(2020黑龙江大庆实验中学高三开学考试(理)已知函数 f x=lnx+2ax-ax.(1)若a=-13时，存在x014,2，使得不等式 f x0-c0成立，求c的最小值；(2)若 f(x)在(0,+)上是单调函数，求a的取值范围.(参考数据e27.389,e320.08)44.(2020全国)已知函数 f x=x2-2a+1x+alnx aR.(1)若 f x在区间 1,2上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g x=1-ax，若x0 1,e使得 f x0g x0成立，求实数a的取值范围.2545.(2020全国高三月考(文)已知曲线 f(x)=ax-blnx在点x=1处的切线方程为y=(e-1)x+1，其中e为自然对数的底数(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若在区间(1,4)内，存在x使得不等式 f(x)mx成立，求实数m的取值范围2627导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、必备秘籍1 1、利用导数确定函数零点的常用方法、利用导数确定函数零点的常用方法(1 1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草图时注意有时候需使用画草图时注意有时候需使用极限极限)(2 2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值最值)及区间端点值的及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数符号，进而判断函数在该区间上零点的个数2 2、利用函数的零点求参数范围的方法、利用函数的零点求参数范围的方法(1 1)分离参数分离参数(a=g(x)后，将原问题转化为后，将原问题转化为y=g(x)的值域的值域(最值最值)问题或转化为直线问题或转化为直线y=a与与y=g(x)的图象的交点个数问题的图象的交点个数问题(优优选分离、次选分类选分离、次选分类)求解；求解；(2 2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3 3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解二、例题讲解例9.(2021重庆市秀山高级中学校高三月考)已知函数 f(x)=xex+ex.(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)讨论函数g(x)=f(x)-a(aR R)的零点的个数.28感悟升华感悟升华(核心秘籍核心秘籍)本题讨论本题讨论g(x)=f(x)-a(aR R)零点的个数，将问题分解为零点的个数，将问题分解为y=f(x)与与y=a交点的个数，注意在利用导函数交点的个数，注意在利用导函数求求 f(x)单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限x-时，时，f(x)0，从而将草图画的更准确；，从而将草图画的更准确；三、实战练习46.(2021河南高三开学考试(文)若函数 f x=ax3-bx+4，当x=2时，函数 f x有极值-43(1)求函数的递减区间；(2)若关于x的方程 f x-k=0有一个零点，求实数k的取值范围47.(2021陕西西安中学高三月考(理)已知函数 f x=ex-1-ax aR.(1)试讨论函数 f x的零点个数；(2)若函数g x=ln ex-1-lnx，且 f g x0.(1)若g x=f x+alnx，讨论函数g x的单调性；(2)已知m x=2f x-xlnx+2+ax-2a+2，若m x在12,+内有两个零点，求a的取值范围.3455.(2021贵州贵阳一中(文)已知函数 f(x)=13x3-12ax2(aR R)在0,1上的最小值为-16(1)求a的值；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+b(bR R)有1个零点，求b的取值范围3536导数及其应用专题六：极限与洛必达法则一、必备秘籍法则1 若函数 f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxaf x=0 及limxag x=0；(2)在点a的去心邻域 a-,a a,a+内，f(x)与g(x)可导且g(x)0；(3)limxafxgx=l，那么 limxaf xg x=limxafxgx=l。法则2 若函数 f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxf x=0 及limxg x=0；(2)A0，f(x)和g(x)在-,A与 A,+上可导，且g(x)0；(3)limxfxgx=l，那么 limxf xg x=limxfxgx=l。法则3 若函数 f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxaf x=及limxag x=；(2)在点a的去心邻域 a-,a a,a+内，f(x)与g(x)可导且g(x)0；(3)limxafxgx=l，那么 limxaf xg x=limxafxgx=l。注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的xa,x+,x-,xa+,xa-洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理00，0，1，0，00，-型。3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，0，1，0，00，-型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。limxaf xg x=limxafxgx=limxafxgx,如满足条件，可继续使用洛必达法则。二、例题讲解例10.若不等式axsinx对于x 0,2恒成立，求a的取值范围？当x 0,2时，原不等式等价于asinxx.记 f(x)=sinxx，则 f(x)=xcosx-sinxx2=cosx(x-tanx)x2.且x 0,2时，xtanx，所以 f(x)sinxxasinxxmaxa f(x)max；f(x)max=f(0)。limx0f(x)=limx0sinxx=limx0cosx1=1.所以a1。感悟升华(核心秘籍)本题在求 f(x)max=f(0)发现 f(0)=sin00没有意义属于00型；从而可以使用洛必达法则；在使用洛必达法则时，一定要先判断是否符合洛必达法则使用的标准；例11.已知函数 f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若 f(x)在x=-1时有极值，求函数 f(x)的解析式；(2)当x0时，f(x)0，求a的取值范围.37感悟升华(核心秘籍)本题构造g(x)=ex-1x，aex-1x等价于ag(x)min，而g(x)min=g(0)=e0-10，属于00型，符合洛必达使用的基本条件，从而可以使用洛必达法则；三、实战练习56.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,bR)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若x1,+)，不等式 f(x)(m-2)x-mx恒成立，求实数m的取值范围.57.设函数 f(x)=1-e-x.(1)证明：当x-1时，f(x)xx+1；(2)设当x0时，f(x)xax+1，求a的取值范围.3858.设函数 f(x)=sinx2+cosx如果对任何x0，都有 f(x)ax，求a的取值范围【解析】f(x)=sinx2+cosxax，若x=0，则aR；若x0，则sinx2+cosxax等价于asinxx(2+cosx)，即g(x)=sinxx(2+cosx)则g(x)=2xcosx-2sinx-sinxcosx+xx2(2+cosx)2.记h(x)=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x，h(x)=2cosx-2xsinx-2cosx-cos2x+1=-2xsinx-cos2x+1=2sin2x-2xsinx=2sinx(sinx-x)因此，当x(0,)时，h(x)0，h(x)在(0,)上单调递减，且h(0)=0，故g(x)0，所以g(x)在(0,)上单调递减，而limx0g(x)=limx0sinxx(2+cosx)=limx0cosx2+cosx-xsinx=13.另一方面，当x,+)时，g(x)=sinxx(2+cosx)1x113，因此a13.39导数及其应用专题七：极值点偏移问题一、必备秘籍1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数 f(x)在x=x0处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为Mx1+x22,b，而往往x0 x1+x22。如下图所示。图1 极值点不偏移图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数 y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点 x0，方程 f(x)的解分别为 x1、x2，且 a x1 x2x0，则函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0左偏，简称极值点x0左偏；(3)若x1+x22x20，则令F(x)=f(x)-f2x0 x.(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出 f(x)与 f(2x0-x)的大小关系(5)转化，即利用函数 f(x)的单调性，将 f(x)与 f(2x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x之间的关系，进而得到所证或所求提醒若要证明 fx1+x22的符号问题，还需进一步讨论x1+x22与x0的大小，得出x1+x22所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负二、例题讲解例12.(2021贵州省思南中学高三月考(文)设函数 f x=2lnx-mx2+1.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当m=1时，若在 f x定义域内存在两实数x1，x2满足x12.40感悟升华(核心秘籍)极值点偏移是高考高频考点，也是难点，考生常常望而却步，极值点偏移最常用构造法1、通过分析法分析出证明结果所需要构造的函数：如本例：通过分析：在 0 x1，F(x)=f(x)-f(2-x)02、通过分析法，开始解题；构造F(x)=2lnx-2ln(2-x)-4x+4通过对F(x)求导，得到F(x)在(0,1)上单调递增，即：F(x)F(1)=0；3、替换：如本例已经证明 f(x)f(2-x),0 x1，得到 f(x1)f(2-x1)由题意 f x1=f x2替换得到：f(x2)2-x1，即x1+x22；总结：极值点偏移：1、分析；2、构造F(x)并判断F(x)的单调性；3、替换4、得证。例13.(2021黑龙江大庆中学(文)已知函数 f x=x2lnx-ax+1(1)若 f x0恒成立，求实数a的取值范围(2)若函数y=f x-ax3+ax-1的两个零点为x1，x2，证明：x1x2e241感悟升华(核心秘籍)1、通过分析法分析出证明结果所需要构造的函数：如本例：通过分析：在1a2a-x1F1a=0；3、替换：如本例已经证明h2a-x-h x0，得到h2a-x1h x1由题意h x1=h x2=0替换得到：h2a-x1h x2，利用h x在1a,+上单调递减得到1a2a-x12a，进而得证原命题。三、实战练习59.(2021江苏周市高级中学高三开学考试)已知函数 f x=sinxex，x 0,(1)求函数 f x的单调区间；(2)若x1x2，且 f x1=f x2，证明：x1+x224260.(2021安徽六安一中高三(理)已知函数 f x=xlnx-ax2+x aR R.(1)证明：曲线y=f x在点 1,f 1处的切线l恒过定点；(2)若 f x有两个零点x1，x2，且x22x1，证明：x1x28e2.61.(2021江苏南通高三)已知函数 f x=ln ax+12ax2-2x，a0.(1)求函数 f x的增区间；(2)设x1，x2是函数 f x的两个极值点，且x12.4362.(2021黑龙江齐齐哈尔(理)已知函数 f(x)=lnx+1ax(aR,a0).(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当a=2时，若关于x的方程 f x=m有两个实数根x1，x2，且x11.4463.(2021新疆布尔津县高级中学(理)已知函数 f x=xlnx-ax+a.(1)若x1时，f x0恒成立，求a的取值范围；(2)求证:12+13+1nlnn(n2且nN N*)；(3)当a=1,0b1时，方程 f x=b有两个不相等的实数根x1,x2，求证:x1x21.4564.(2021江西萍乡高三二模(理)已知函数 f x=ln x+a-x-1x+a，函数g x满足ln g x+x2=lnx+x-a(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若g x有两个不同的零点x1、x2，证明：x1x2m-1成立，求实数m的取值范围；(2)当m=1时，若在 f x定义域内存在两实数x1，x2满足x124766.(2021北京昌平临川学校)已知函数 f(x)=16x3-2ax+8lnx(1)若函数 f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若函数 f(x)存在两个极值点x1,x2，求证：x1+x2467.(2021全国高三)已知函数 f x=exx2-3，其中e为自然对数的底数.(1)求函数 f x的单调区间和极值；(2)设方程 f x=a a0的两个根分别为x1，x2，求证：x1+x224950导数及其应用（解答题拿分秘籍）七专题导数及其应用1专题一：利用导数研究函数单调性问题2一、必备秘籍2二、例题讲解2三、实战练习2专题二：利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论)7一、必备秘籍7二、例题讲解7三、实战练习8专题三：利用导数研究函数恒成立问题14一、必备秘籍14三、实战练习15专题四：利用导数研究函数有解问题21一、必备秘籍21二、例题讲解21三、实战练习21专题五：利用导数研究函数零点问题28一、必备秘籍28二、例题讲解28三、实战练习29专题六：极限与洛必达法则37一、必备秘籍37二、例题讲解37专题七：极值点偏移问题40一、必备秘籍40二、例题讲解40三、实战练习421专题一：利用导数研究函数单调性问题一、必备秘籍1 1、求单调区间：定义域；求、求单调区间：定义域；求 f(x)；令；令 f(x)0，求增区间；令，求增区间；令 f(x)0，fx0即x-22x0，又因为x 0,+，所以x-20即x2令 fx0即x-22x0，又因为x 0,+，所以x-20即0 x)0 0，再于定义域取交集，再于定义域取交集例2.(2021全国高三模拟预测)已知函数 f x=lnx-x+mx(mR R)()若函数 f x在 0,2上单调递增，求实数m的取值范围；【答案】()-,-2；【分析】()先确定函数 f x的定义域，并对函数 f x求异，再根据函数在 0,2上单调递增列出不等式组，即可求解；【详解】()由题意，函数 f x的定义域为 0,+，且 fx=1x-1-mx2=-x2+x-mx20恒成立设-x2+x-m0，x(0,2)，m-x2+x恒成立m(-x2+x)min解得m-2，则m的取值范围为-,-2感悟升华感悟升华(核心秘籍核心秘籍)已知函数单调性问题。已知函数单调性问题。已知已知 f f(x x)在在(a a,b b)上单调递增上单调递增x x(a a,b b),),f f(x x)0 0恒成立；恒成立；已知已知 f f(x x)在在(a a,b b)上单调递减上单调递减x x(a a,b b),),f f(x x)0 0恒成立；恒成立；注意等价条件中不等式含注意等价条件中不等式含(,(,都含有都含有=)=)注意与求单调性做对比注意与求单调性做对比三、实战练习1.(2021广东高三月考)设函数 f x=lnx-a x-1ex，其中aR(1)若a=-1，求函数 f x的单调区间；【答案】(1)(0,+)上 f x单调递增；【分析】2(1)由题设得 fx=1x+xex，结合定义域判断其符号，即可知单调性.【详解】(1)由题设，f x=lnx+x-1ex且x0，则 fx=1x+xex0，在(0,+)上 f x单调递增.2.(2021静宁县第一中学高三月考(理)已知函数 f(x)=2x+alnx-2(a0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；【答案】(1)单调增区间是(2,+)，单调减区间是(0,2)；【分析】(1)先利用导数的几何意义求得a，从而得到函数，再利用导数法求单调区间；【详解】(1)直线y=x+2的斜率为1函数 f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=-2x2+ax，所以 f(1)=-212+a1=-1，所以a=1所以 f(x)=2x+lnx-2，f(x)=x-2x2由 f(x)0解得x2；由 f(x)0解得0 x0，求导 fx=ex-1-1x，由 fx0求解；【详解】(1)当a=1时，f x=ex-1-lnx，x0，fx=ex-1-1x单调递增，当0 x1时，fx1时，fx0，f x单调递增，所以函数y=f x的单调递减区间为 0,1，单调递增区间为 1,+.4.(2021甘肃高三开学考试(文)已知函数 f x=12x2-1-lnx(1)讨论 f x的单调性；【答案】(1)在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增；【分析】(1)求导函数 f(x)，由 f(x)0得增区间，由 f(x)0得减区间；【详解】解：(1)f x的定义域为 0，+，fx=x-1x=x2-1x令 fx0，得0 x0，得x1所以 f x在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增5.(2021浙江省富阳中学高三开学考试)已知 f(x)=ax2+bx+5-ln2x(1)若 f(x)在定义城内单调递增，求a+b的最小值;【答案】(1)-4ln2;(2)证明见解析；(3)1.【分析】(1)由 f(x)在定义城内单调递增，得到 f(x)=2ax+b-2lnxx0在x 0,+上恒成立，取x=12，可得a+b-4ln2;【详解】(1)f(x)=2ax+b-2lnxx，x 0,+，因为 f(x)在定义城内单调递增，所以 f(x)=2ax+b-2lnxx0在x 0,+上恒成立，3则取x=12，可得a+b+4ln20，所以a+b-4ln2，所以a+b的最小值为-4ln2;6.(2021广西柳州高三开学考试(文)已知函数 f(x)=lnx-a2x2+ax(aR).(1)当a=1时，求函数 f(x)的最值(2)若函数 f(x)在区间1,+)上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)最大值是0，无最小值；(2)-,-121,+).【分析】(1)由a=1，得到 f(x)=lnx-x2+x，然后利用导数法求解；(2)求导 f(x)=1x-2a2x+a，根据函数 f(x)在区间1,+)上是减函数，由 f(x)=1x-2a2x+a0在区间1,+)上恒成立求解.【详解】(1)当a=1时，f(x)=lnx-x2+x，则 f(x)=1x-2x+1=-2x2-x-1x=-2x+1x-1x，当0 x0，当x1时，f(x)0，所以当x=1时，f x有最大值0，无最小值；(2)f(x)=1x-2a2x+a，因为函数 f(x)在区间1,+)上是减函数，所以 f(x)=1x-2a2x+a0在区间1,+)上恒成立，令g x=1x-2a2x+a，则gx=-1x2-2a20，所以g x在区间1,+)上递减，所以g xmax=g 1=-2a2+a+1，则-2a2+a+10，即2a2-a-10，即 2a+1a-10，解得a-12或a1，所以实数a的取值范围-,-121,+).7.(2021全国)已知函数 f x=e2x+a-12lnx+a2(1)若函数y=f x在 0,12上单调递减，求a的取值范围；【答案】(1)a-1-ln2；【分析】(1)首先求出函数的导函数，依题意可得 fx0在 0,12恒成立，两边取以e为底的对数，即a-2x-1n4x在 0,12恒成立，令g x=-2x-ln4x，根据函数的单调性求出参数的取值范围；【详解】解：(1)fx=2e2x+a-12x因为函数 f x在 0,12单调递减，所以 fx=2e2x+a-12x0在 0,12恒成立，两边取以e为底的对数，即a-2x-1n4x在 0,12恒成立，设g x=-2x-ln4x，gx=-2-1x-1)，可得x0对x 0,2恒成立，即可得hxmax，根据h x单调性，可得hxmax=k+730在 0,2恒成立，即可得答案.【详解】解：(1)由题意得h x=12x2+kx+1+ln x+1+1(x-1)，hx=x+k+1x+1，令 x=x+k+1x+1(x-1)，x=1-1(x+1)2=x x+2(x+1)20对x 0,2恒成立，x=x+k+1x+1，即hx在 0,2上为增函数hxmax=h2=k+73h x在 0,2上单调递减hx0对x 0,2恒成立，即hxmax=k+730，k-739.(2021四川达州高三二模(文)已知函数 f(x)=12x2+ax+cosx(1)若 f x在0,+)上为增函数，求实数a的取值范围；【答案】(1)0,+)；(2)2.【分析】(1)求得 f(x)=x+a-sinx，根据题意转化为当x0时，不等式asinx-x恒成立，设g(x)=sinx-x，利用导数求得g x的单调性与最大值，即可求解.【详解】(1)由题意，函数 f(x)=12x2+ax+cosx，可得 f(x)=x+a-sinx，因为 f x为0,+)上的增函数，可得当x0时，f(x)=x+a-sinx0恒成立，即asinx-x恒成立，设g(x)=sinx-x(x0)，可得g(x)=cosx-10，所以g x为减函数，可得g(x)g(0)=0，所以a0，即实数a的取值范围是0,+)10.(2021青海西宁高三一模(文)设函数 f x=ex-ax312，其中常数aR.(1)若函数 f x在 0,+上是增函数，求实数a的取值范围；【答案】(1)ae2；【分析】(1)由已知结合导数与单调性的关系可将问题转化为 fx=ex-ax240在 0,+上恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值，然后构造函数即可求解；【详解】(1)因为函数 f x在 0,+上是增函数，所以 fx=ex-ax240在 0,+上恒成立，即a4exx2在 0,+上恒成立，设函数h x=exx2x0，则hx=x-2exx3，当x 0,2时，hx0，所以函数h x在 0,2上单调递减，在 2,+上单调递增，则h xmin=h 2=e24，所以a4e24，解得ae2；11.(2021江西南昌高三开学考试(理)已知函数 f x=lnx-ax+1aR.(1)若函数y=f x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；5【答案】(1)a-4；【分析】(1)对函数 f x求导得 fx，利用给定单调性列出恒成立的不等式即可推理作答；【详解】(1)f x定义域为(0,+)，由 f x=lnx-ax+1得 fx=1x+ax+12，因函数y=f x在定义域上单调递增，于是得 fx=1x+ax+120在x 0,+恒成立，即a-x+1x+2在x 0,+恒成立，而-x+1x+2-2x1x+2=-4，当且仅当x=1x，即x=1时取“=”，则a-4，所以实数a的取值范围是a-4；12.(2021眉山市彭山区第一中学高三开学考试(文)已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1.(1)若y=f(x)在点(1,f(1)的切线，与直线2x-y+1=0平行，求y=f(x)过点(0,1)的切线方程；(2)设函数 f(x)在区间-23,-13内是减函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)3x-4y+4=0,x-y+1=0；(2)2,+).【分析】(1)求出导函数 f(x)，由 f(1)=2求得a值，再计算 f(1)后可得切线方程；(2)由 f(x)0在-23,-13内恒成立，分离参数转化为求函数的最值【详解】解：(1)由y=f(x)在点(1,f(1)的切线，与直线2x-y+1=0平行，f(1)=2 f(x)=x3+ax2+x+