2021年全国统一高考数学试卷（北京卷）.pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学一、选择题：共 10小题，每小题4 分，共 40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合4=月一1%1 ,8=x|0 W x 2 ,则A U3=().A.(-1,2)；B.(-1,2 ；C.0,1)；D.0,1 .2.在复平面内，复数z满足(l i)z =2,则z=().A.2+i ;B.2 i C.1 z j D.1 +i.3.已知f (x)是定义在上 0,1 的函数，那 么 函 数f(x)在()/上单调递增”是 函 数/(%)在 0,1 上的最大值为/(1)的().A.充分而不必要条件；B.必要而不充分条件；C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为().3+3 _.A.;B.4;2C.3+相；D.2.2 25.双曲线C:=l过点(也，且离心率为2，则该双的标准方程为().A.%2-=1 ;B.-/=1 ;C.x2-=1 ;3 3 3&4 和 也 是两个等差数列，其 中 方(1 45)为常值，4=288,%=9 6 ,伪=1 9 2，则。3=().A.64；B.1 28;C.256;D.51 2.7.函数/(x)=c o s x-c o s 2x，试判断函数的奇偶性及最大值().A.奇函数，最大值为2；B.偶函数，最大值为2；9 9C.奇函数，最大值-；D.偶函数，最大值为7.O O8.定 义：24小时内降水在平地上积水厚度(m m )来判断降雨程度.其中小雨(/2 C.土币 D.751 0 .数列 4 是递增的整数数列，且4 2 3,%+4+,=1 0 0 ,则的最大值为().A.9 ;B.1 0 ;C.1 1 ;D.1 2.二、填空题：5 小题，每小题5 分，共 25分.1 1 .(V -)4展 开 式 中 常 数 项 为 .X1 2.已知抛物线C：V=4 x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且上”|=6厕加的横坐标是作 M N，x 轴于 N ,则 S.FMN=.1 3.a-(2,1),=(2,-1),c =(O,l)，则(a+)c=；a-b=.1 4.若点P(c o s e,s i n。)与点Q(c o s(e+J),s i n(6+J)关于轴对称，写出一个符合题意的6=_.6 61 5.已知函数x)=|l g X-丘一2,给出下列四个结论：若2=0 ,则/(幻有两个零点；三左 0，使得/W有一个零点；三女 0 ,使得/(A-)有三个零点；三女 0 ,使得了(X)有三个零点.以上正确结论得序号是_ _ _ _ _ _.三、解答题：共 6 小题，共 85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.,2万1 6.已知 A3C中，c=2bcosB,C =.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求出3 C边上的中线的长度.。：；周长为4+2 6；面积为之%=；1 7.已知正方体A B C D A B C Q 一 点 E 为 A D,中 点，直线与G交平面C D E于点F .(1)证 明：点尸为片G的中点；、/?A M(2)若 点 加 为 棱A片上一点，且 二 面 角C尸-E的余弦值为Y 2.,求 美-的 值.3 A/11 8.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取 左合1检 测 法 ，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴 性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有1 0 0人，已知其中2人感染病毒.(1)若 采 用1 0合1检 测 法 ，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知1 0人分成一组，分1 0组，两名感染患者在同一组 概率为 ,定义随机变量X为总检测次 数，求检测次数X的分布列和数学期望&R;(2)若 采 用5合1检 测 法 ，检测次数P的期望为&Y),试比较&R和民力的大小(直接写出结果).3 2无19.已知函数/(x)=丁兀.(I)若a=0,求y=/(x)(1,/。)处切线方程；(2)若函数/(x)在x=-l处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.2 220.已知椭圆E：+=1(。方 0)过点A(o,-2),以四个顶点围成 四边形面积为4下.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为2,交椭圆于不同的两点8,C,直线,/C交y=-3于 点 仪N,直线z c交y=-3于 点/V,若忸M|+|PN|W15，求的取值范围.21.定义叫数列 叫：对实数。，满 足：4+P20,a2+p=0;V eN，即T%”;“，+“仁心，+“，+04，+4，+。+1 ,.(1)对于前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若 叫 是 号 数 列，求 处 的 值；(3)是否存在p，使得存在R,数列 4,对V”e N,S.品,?若存在，求出所有这样的p -若不存在，说明理由.初高中数学教研微信系列群简 介：目前有15个 群(13个高中群，2个初中群),共5000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗 旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2曲于本群是集 研究一写作一发表(出版r于 一 体 的“桥 梁 ，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物(简 写)+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研(不喜欢研究的谢绝)的教师好友(学生谢绝)加 入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学参考答案与试题解析第一部分(选择题共4 0分)一、选 择 题：共10小题，每小题4分，共4 0分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合4=刀|一1 兀1 ,3=x|0 V x W 2,则 A US=()A.(-1,2)B.(-1,2 C.0,1)D.0,1【思路分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【解析】：由题意可得：A UB =x-1XW2，即A U 3 =(-1,2故 选：B.2.在复平面内，复数z满足(l i)z =2,则2=()A.2+i B.2-z C.1-z D.1 +z【思路分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【解析】：由题意可得：z =L=追 不=三，=1 +乙故 选:D.1-z (l-z)(l +z)23.已知/(x)是定义在上 0,1 的函数，那 么 函 数Ax)在()/上单调递增”是 函 数/(x)在 0,1 上的最大值为了”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【思路分析】利用两者之间推出关系可判断两者之间的条件关系.【解析】：若函数“X)在 05上单调递增，则/(x)在 0,1 上的最大值为了，若/(X)在 0,1 上的最大值为了，比如X)=X ，3)但/(x)=(x-g)在0,1为减函数，在1,1为增函数，故/(x)在 0 上的最大值为了推不出“X)在 0 上单调递增，故”函数 X)在 0 上单调递 增 是/(x)在 05上的最大值为了”的充分不必要条件，故 选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为()B.4A.2C.3+6D.2【思路分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【解析】：根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥0-A B C ,其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3x，xl xl +且如叵，故 选：A.2 4 1 22 25.双曲线C:*-点 =1过点,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为（）A.%2_二=1 B.-/=1 C.x2-=D.叵-y2=i3 3 3 3【思路分析】分析可得匕=后,再将点（、行，石）代入双曲线的方程,求出。的 值，即可得出双曲线的标准方程.2 2【解析】：。“二工a 二？,贝U c =2a ,b =4=瓜则双a 曲 线3的a方程为 一 马=1，将点（五，的坐标代入双曲线的方程可得a豪=5=i,解得=1,故 方=6,2因 此，双曲线的方程为v 一上=1.故选：A.36.4 和 2 是两个等差数列，其 中 去（1 4心5）为常值，4=288,%=9 6 ,4=1 9 2,贝 岫=（）A.64 B.1 28 C.256 D.51 2【思路分析】由已知条件求出4的 值，利用等差中项的性质可求得&的值.【解析】：由已知条件可得/吟,则&=她=9 6；：2=64,因 此，=1 9 2+64=1 28故 选：B.7.函数，（x）=c o s x-c o s 2x,试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为29 9C.奇函数，最大值为w D.偶函数，最大值为三OO【思路分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【解析】：由题意,=COS(-X)-cos(-2x)=cos X-/又/(x)=cos x-cos 2x=-2 cos2 x+cos x+1=-2 cos x 1 9所以当cosx=:时，/(%)取最大值g.4 8故 选：D.cos2x=/（x）,所以该函数为偶函数,19-8+28.定 义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（10mm）,中雨（10mm-25mm）,大 雨（25mm-50mm）,暴 雨（50mm-100mm），小明用一个圆锥形容器接了 24小时雨 水，如 图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【思路分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【解析】：由题意，一 个 半 径 为 一 =100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为一x哈=50（mm），高为150（mm）的圆锥,所以积水厚度公咚鹭2*5（9，属于中南故 选：B.9.已知圆C:Y +y2=4,直线/：丁 =乙+根，当攵变化时，/截得圆c弦长的最小值为2,则 血=（）A.2 B.+y/2 C.+yf3 D.+y5【思路分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出?【解析】：由题可得圆心为（0,。）,半径为2,Iwl则圆心到直线的距离d=,VF+i则弦长为2 J4 Y-,V k2+i则当攵=0时，弦长取得最小值为2=2，解得加=土石故 选：C.1 0.数列 q 是递增的整数数列，且 2 3,4+的+4 =1 0 0 ,则的最大值为()A.9 B.1 0 C.1 1 D.1 2【思路分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【解析】：若要使 尽可能的大，则 力 ,递增幅度要尽可能小，不妨设数列%是首项为3,公差为1的等差数 列，其前项和为S.，则 可=”+2,S”=y x l l =881 0 0 ,所以的最大值为1 1.故 选：C.二、填 空 题：5小 题，每 小 题5分，共25分.1 1 .(V -)4展 开 式 中 常 数 项 为 .X【解析】：试题分析：(V1)的展开式的通项广=(-l)，C；x1 2-4r,令厂=3 得常数项为 7；=(1)3 =T.1 2.已知抛物线C:y2=4 x,焦点为F 为抛物线C 上的点，且|尸必=6,则 M 的 横 坐 标 是;作 MN _ L x 轴于 N,则.【思路分析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求S,F M N.【解析】：因为抛物线的方程为V=4 x ,故。=2 且尸(1,0).因 为|烟=6,xM*=6,解 得 知=5 ,故 =2&,所以S w =g x(5-l)x2有=4右，故答案为：5,475.1 3.a =(2,1),6=(2,-1),=(0,1),则(+=;a b=【思路分析】根据坐标求出a+6 ,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【解析】:v a =(2,l),=(2,-l),c =(0,l),：.a+b=(4,0),(5+)-c =4 x 0 +0 xl =0 ,.Z 3=2 x 2 +l x(l)=3.故答案为:0 ;3.jr rr1 4.若点P(c o s 6,s i n。)与点Q(c o s(0 +7),s i n(e+力 关 于 轴对称，写出一个符合题意的(9 =_.O O77TT【思路分析】根据P,Q在单位圆上，可得仇。关于)轴对称，得出。+2+。=+2k兀,%G Z求解.6 6/、/【解析】：P(c o s O,s i n，)与 Q c o s 外 看 卜 i n O+r71J J 关于)轴对称,6TT TT、冗即 aeH 关于y轴对称，6 T1。=乃+2左 4,k e z，则 e =攵 乃H,kG Z,6 6 1 254当后=()时，可取6 的一个值为.故答案为：(满 足 攵 乃+即可).1 5.已知函数x)=|l g x|-2，给出下列四个结论：若攵=0，则/(幻有两个零点；0，使得/W有一个零点；0,使得/(X)有三个零点.以 上 正 确 结 论 得 序 号 是.【思路分析】由/(x)=。可得出|怆%|=履+2,考查直线y=Ax+2与曲线g(x)=|lgx|的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【解析】：对于，当 左=0时，由/(力=随 才-2=0，可得 或x=100，正确；100对于，考查直线了=依+2与曲线y=Igx(0 xl)相切于点P&-1g。,kt+2=-Igz对函数y=T g x求导得y=一一，由 题 意 可 得，1 ，解得xlnlO K=-I HnlO所 以，存 女=-l g e =丘+2过点(1,0)时，+2=0，解得左=-2,et-100,100,k=-lg ee所 以，当-&lg e%-2时，直线y=H+2与曲线y=-lgx(O xl)有两个交点，e若函数/(X)有三个零点，则直线y=履+2与曲线y=-lgx(oxl)有一个交点，所 以，ge0因 此，不存在 l)相切于点P(f,lgr),kt+2=gt对函数y=lgx求导得=下 二，由题意可得 1 ，解得xlnlO k=-zlnlO所 以，当0 女 黑 时，函数/(X)有三个零点，正确.t-100ek=超土100e【归纳总结】已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：(1)转 化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；(2)列 式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；(3)得 解，即由列出的式子求出参数的取值范围.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.2万16.已知在 AABC 中，c=2bcosB,C =.(1)求8的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 A 3 c存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.c=:周长为4+2 6 :面积为乎；【思路分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解；(2)若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【解析】：(1).,c=2Z?cosB,则由正弦定理可得sinC=2sin3cos3,.sin2B=sin =,vC=,力,2 8 e(0,当，,解得5=?;3 2 3 I 3；3 J 3 6(2)若选择：由正弦定理结合(1)可得：=*-=后，b sin B2与c=后 矛 盾，故这样的 A8C不存在；7 1若选择：由(1)可得A=，设AAHC的外接圆半径为R ,O则由正弦定理可得a=8=2/?sin 工=R,c=27?sin =73/?,6 3则周长。+匕 +c=2R+&R=4+2 6,解得 R =2，则。=2,c=2/3,由余弦定理可得8 c边上的中线的长度为：可+V-2 x 26X 1 XCOS-=A/7;若选择：由(1)可得A=J，即。=匕，则S A8c=LsinC=4 a 2 x 3 =M，解得。=0，6/2 2 2 4则由余弦定理可得8C边上的中线的长度为：+、吗x*=卜+*x*=浮.17.已知正方体A6CO Ag G 2,点E为A Q中 点，直线5 G交平面C0E于 点 尸.C lA(1)证 明：点尸为四G中 点；(2)若点M为棱A片上一点，且二面角M-C F-E的 余 弦 值 为 好，求 整 的 值.【思路分析】Q)首先将平面C D E进行扩展，然后结合所得的平面与直线片C的交点即可证得题中的结论;(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数/I的值.【解析】：如图所示，取8 C的 中 点?，连结DE,EF,FC,由于ABC。-为正方体，瓦 尸 为 中 点，故EFIICD ,从而E,F,C,。四点共面，即 平 面 即 平 面C Q E F ,据此可得：直 线 交 平 面C Q E于 点/，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故 点 尸 与点尸重合，即点F为5 G中点.(2)以点。为坐标原点，。4。,。方向分别为 轴，V轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系。-xyz ,=2(0 2 0 ,解 彳 导 左 1._ 30k 25,5、1 n又 X +工2 =7,XIX2 77,故当“2 ,所以 XMXN 4+5/4+5/又|PM|+|PN|=风 +/|=fy+，%十，kx-1 kx2-150k 30 Z2 例 -（X+W）=4+5/4+5公k2xtx2-Z c（X 1+x2）+l 25k2 30k24+5/-4+5/,=5闷故5网41 5即网4 3,综 上，一3左1 或 1 Z W 3.21.定义J 数列 4 :对实数夕，满 足：4+p 2。,a2+p=O；Si0?若存在，求出所有这样的p;若不存在,说明理由.【思路分析】Q)由题意考查知的值即可说明数列不是此数列；(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定为的值；(3)构造数列a=a“+P,易知数列也“是 人 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数P的值.【解析】：(l)由性质结合题意可知0 =/G 4+4+2,4+&+2 +l =2,3,矛 盾，故前4项2,-2,0的数列，不可能是R,数列.(2)4 N O,4=。，由性质4.+2 e+1，因 此%=4或=4+1,4=0或4=1 ,若%=,由性质可知生 4 ,即 0或 +1 0 ,矛 盾；若4 =1,4=4+1 ,由4 4有4+1 1，矛盾.因此只能是%=L。3=.又因为%=4 +。3或。4=%+%+1,所以4=；或4=0.若q=g，则4 =%e a 1+4+0,.+/+0+1)=24,2 +1 =1,2,不满足的=。，舍去.当6=0，则 叫前四项为：0,0,0,1,下面用纳法证明。布用=1，2,3),。4“+4=+1 (eN)：当=()时，经验证命题成立，假设当n 0)时命题成立,当=攵+1时:若，=1 ,则“4伏+1)+1=a4 J t+5 aj+(4k+5-j)利用性质:%+。软+5-1Je N*,l W/W 4%+4=伙,Z +1,此时可得：。软+5=%+1 ；否 则，若%h 5 =%,取左=0可 得：%=0 ,而由性质可得：%=4 +a4 c 1,2,与%=0矛盾.同理可得：%+。软+6-/6.,1/4 4%+5 =伙,左+1,有。必+6=左 +1；%+。软+8-/W N*,2,奴+6=伙+1,左+2,有&A+8=左+2；%+3+7 J./e N*,1 W /W 4Z +6=伙+1 ,又因为 a4k+1 a4k+3,有 a4k+1=k+l.即当=攵+1时命题成立，证毕.综上可得：4=。，%=4x1+1 =1 .令a=a“+P ,由性质可知：V九e N*,b,n+n=am+n+P&ain+p +a+p,am+p+an+p+1 =bm+bn,bm+bn+,由于=4+P 2 0，d=4 +=，”,1 =+0,S9 Si。=4o=04*2+2=-(2 p)2 0,因此 =2，此时,。2,，4o 4。,O(J 1 1)，满足题意.【归纳总结】本题属于数列中的“新定 义 问 题 ，新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考直的还是基础数学知识，所 以 说 新题 不一定是 难 题，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.