2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷（学生版+解析版）.pdf

2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填 空 题（本大题满分54分）本大题共有2 题，L 6题每题4 分，7-12题每题5 分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分 或 5 分，否则一律得零分。1.（4 分）已知集合4=-1,0,1,2,B=x|x i,则=.2.（4 分）已知1 +，是实系数一元二次方程/+以+。=0 的根。为虚数单位），则2 +。=3.（4 分）己知关于x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为:o）则 孙=.4.（4 分）已知球的主视图的面积为工，则该球的体积为.4-5.（4 分）若（x+工）展开式的二项式系数之和为6 4,则展开式的常数项的值为一.Xx-y.O6.（4 分）已知实数x、y 满足条件 y.O,则目标函数z=2 x-y 的 最 大 值 为.x+y 17.（5 分）方程（1 呜 力 2+1。89 3;0）上至少含有2021个零点，则6 的最小值为11.（5分）已 知 a、b、机、均 为 正 实 数，且 满 足 2021a+202仍-仍=0,m+=8（22。+2*1）,则（m+工）（+工）的取值范围为_ _ _-a b m n12.（5 分）己知、6、c 为正整数，方程or2+版+c=0 的两实根为为，且I%1 1，I 9 11”的（）aA.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.（5 分）以 圆/+2+4+3=0 的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A./=4x B.y1=-4x C.y2=-8x D.y2=8x15.（5 分）已知函数/（x）（x e。），若 对 任 意 的 都 存 在 r e。，使/=-/（x）成立,称/（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）/（）=2；/（%）=/心；/（X）=JC+；/（x）=cosx.XA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个16.（5 分）数列 如 的前项和为S”，且对任意的6N*都有。”+。+1=2+1,则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）存在实 数 如 使 得 如 为等差数列；在实数胆，使得 m 为等比数列；若存在kN*使得Sk=S*+i=5 5,则实数m唯一.A.B.C.D.三、解 答 题（本大题满分76分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（1 4 分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=l,直径钻 与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为王.3（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若 E为母线S A 的中点，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.(14 分)已知函数/(x)=s i nx ,x&R .(1)设 g(x)=G f(2x)+2/2(x +g,求函数 g(x)的值域；(2)在 A A B C 中，角 A,B,C 所对应的边为a,b,c.若 f(A)=冬 b=,M B C的面积为道，求s i nC的值.19.（14分）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出ax2+49X,XG（0,50J工吨需另外投入可变成本以幻万元，已知力）=，136 35 通过市场分5 a +-86 0,x G（50,100J2 x+1析，该中药材可以每吨5 0 万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y 万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元.（1）求a 的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）.20.（16 分）已知椭圆C:+y 2=l 的左、右焦点分别为耳，F2,过点4 0,2）的直线/交椭圆C 于不同的两点P、Q .（1）若直线/经过心，求耳尸。的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点心,求直线/的方程;（3）若 福=2 而，求实数4 的取值范围.21.（18分）已知无穷实数列伍“,n w N*,若存在M 0,使得对任意 e N*,anM恒成立，则称“为有界数列；记4=|,如-弓|,=1,2,3.-1）,若存在70,使得对任意比.2,n w N*，伪+打+4+勿_1 7恒成立，则称 4 为有界变差数列.（1）已知无穷数列 q 的通项公式为q =，n e N*，判断他“是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为q=l,公比为实数q的等比数列 c,J为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列 4 和 e“都为有界数列，记 f“=de”,n e N*，证明：数列 0)上至少含有2021个零点，则的最小值为404反4 一.【解答】解：将函数x)=2sin2x的图象向左平移土个单位，再向下平移1个单位,6得到函数的y=g(x)=2sin(2x+$_ 1图象.若y=g(x)在 0,句S 0)上至少含有2021个零点，叩方程sin(2x+&)=在 0,句(。0)上至少含有2021个解.3 2则当人 最小时，满足+工=至+2020万，求得6=史 坦，3 6 411.(5分)已 知、b、加、均 为 正 实 数，且 满 足2021a+2 0 2 2-而=0，加+=8(改 为+胆)，则(加+!)(+3的取值范围为_ 2辰-2-内)_.a b m n了初欠,缶“/1 n m zn2+M2+1【解答】解：(m4 )(+一 +=mn+-m n m n mn mn(m 4-n)2 2mn+1 (加 +)？+1 .=mn 4-=mn 4-2，因为 202 k/+2020b-ab=0，而 w 2021 2020 2020 2021 0所以-+-=1,.?+=8(-+-)=8,b a a b贝lj(7+)(+!)m n65 c=mn 4-2，mn设/=mn=n?(8 ni)=-m2+Sni=(m-4)2+16,.,0m 8,/.re(0,16),/.(m+)(n+)=mn+2=Z +2.2/65 2m n mn t当且仅当，=3,即=历 时 取 等 号，t(z?2 H )(H ).2d 65 2,m n.(/+,)(+!)的取值范围为 2痴-2,+0 0).m n故答案为：2而-2,+0 0).12.(5 分)已知a、b、c为正整数，方程a)C+Z?A+c =0 的两实根为内，%，且IX 1 1%1 1，则a+Z?+c 的 最 小 值 为 11.=b2-4 c.0【解答】解：依题意，可 知%+=-，0L a从而可知,x,e(-l,0),b2-44c.0所以有，f(-l)=a-b+c0,ib.A ac故 h a +c 9cZ?=a.b,所以 6?2?2 4ac=4。=4,所以?解16.又力4+1=5,所以6=4,因 止 匕 a+b+c 有.最小值为9故答案为：11二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.13.(5 分)已知实数a w O,则“a 1”的()A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【解答】解：实数则“上 1”不一定成立，a如a 0,-0,化 为 心 =(0,*),若对任意的x e )，都存在f =,e ，满足/=-/(x)，则x=是“拟奇函数”；/(x)=x +,，定义域为X|X H0，设其定义域为。，若对任意的x e ,都存在f =X满足/=_/(*),则/(x)=x +J.是“拟奇函数”；X/(x)=c o sx ,设 =(0,万)，若对任意的工。，都存在，=万一%。，满足/(，)=一/(幻，在/(x)=c o sx是“拟奇函数”；故选：C.16.(5分)数列 的前几项和为S，a=m,且 对 任 意 的 都 有。+即+1=为+1,则下列三个命题中，所有真命题的序号是()存在实数如使得 为等差数列；在 实 数 处 使 得 为等比数列；若存在蛇N*使得Sk=S*+i=5 5,则实数m 唯一.A.B.C.D.【解答】解：a +a +i=2 +l,an+l+an+2=2n+3an +ar d-l*2n+l则 an+2-an=2,由 a i+2 =3,ai=m 得,a2=3-m.Jm+n-1,n为正奇数,%1-in t n+1,n为正偶数m=llI k=9当?=1 时，“为等差数列，对；念 不可能为等比数列，错；当为偶数时，$J(n+1),当 为奇数时，$(n-1)(n+2),n 2 0 n m 2,*Sk=Sk+=5 5,，S&=5 5,且以+1=0,k(k+l)_ z(i)当 k 为偶数时，2 a,解 得 严m+k+1-1=0 鼠“(,(k-l)(k+2)_(/)当为奇数时，m 2 ，解得-m+k+l+l=0二 机不唯一，错.故选：A.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1 7.(1 4 分)如 图，已知圆锥S O 底面圆的半径尸=1,直 径 钻 与 直 径 8垂直，母线SA与底面所成的角为三.3(1)求圆锥S O 的侧面积；(2)若 E为母线SA的中点，求二面角E-8-B的大小(结果用反三角函数值表示).【解答】解：(1).圆锥SO底面圆的半径r =l,直径/记与直径8垂直,母线SA与底面所成的角为三.3.SA=2 二圆锥SO的侧面积5恻=7irl=2n.(2)E为母线SA的中点，E4=l,SO垂直圆O所在的平面，Cu圆O所在的平面，:.C D L S O,-.CDA.AB,SO AB=O,SO、M u 平面 S 3,.。，平面5。4,.OEu 平面 SOA,:.O E C D,.A B Y C D,.NEOB 是二面角 E-C Q 8 的平面角，在 ABOE 中，OB=OE=,BE=E ,cos NEOB=,2二面角E C8的大小为乃-arccos.218.(14 分)已知函数/(x)=sinx,xw R .(1)设 g(x)=6 f(2 x)+2/2(x+g,求函数 g(x)的值域;(2)在 A A B C 中，角 A,B,C所对应的边为a,b,c.若/(A)=与，b=,AAB C的面积为6，求 s in C的值.【解答】解：(1)g(x)=/3f(2x)+2/2(x +)=/3 s in2x+2 s in2(x +),=G s in 2x+2 cos2 x =73 s in 2 x +cos 2 x-l=2 s in(2 x +)+1,6因为一掇hn(2 x +*)1 ,所以-掇/(九)3,故函数的值域-1，3 ；(2)f(A)=s in A=,2所以A=工或A=红，3 3因为=Ibcs in A =G ,所以c=4,当4 二工时，a2=Z 72+?-/?12,y163（1+2公）所以2+1（2,3）,A 3因为几 H 2(A W 1)A山 11 1 H T殂】2 1】25 16 而405 4由 4+一 一，口 J得4-2+一，即 一一 2 0,使得对任意 e N*,|可|,M恒成立，则称。为有界数列；记2=l q+|-q l，=1，2,3,.一 1),若存在T 0,使得对任意儿.2,HWN*，4+4+4+勿加丁恒成立，则称 4 为有界变差数列.(1)已知无穷数列 q 的通项公式为q=，“eN*,判断他“是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；(2)已知首项为G=1，公比为实数q的等比数列%为有界变差数列，求 q的取值范围；(3)已知两个单调递增的无穷数列 4 和 e“都为有界数列，记 f“=de”,n e N*，证明：数列%，n则6；=|“川-q|=q-a,*,(i=l,2,3,4.，-l).:.b+&+&+.+bn_x=4 q =1 ,则T.1即可，则数列 a为有界变差数列.（2）c=qi,则b：=|aM-a；|=|-q|=|-11|I1,当q =l 时，则=0,显然满足题意.当 q =-l 时，则=2,则+4+4+.+2-=2(-1),若 2(1)”T ,则 F 1 舍去.2当q x l时，则 也 是首项为|q-l|,公比为国|的等比数列，贝!Ia +仇 +4 +2 T =|q-11，1-1 1若0|q|l时，一 l时，|4一1|上皿巴趋向于无穷大,与题意矛盾，舍去.1T 4 1综上可得，q的取值范围为(T,0)0(0,1.(3)证明：因为”“和 ,为有界数列，则 存 在 必0,使得对任意的“w N*,Id,/,M恒成立，则存在2。，使得对任意的w N*,Iq l,”?恒成立，b dMeM|-|J,.e,.|=14+C+i-d,eM+J,e,+I-d；e；l=1(4+i-4)/+(eM-ei)di,I(4+i-4)%|+|(%-e,)d,|,又因为 和 e“为单调递增的有界数列，bj=|dMeM-diei 软dM d.eM|+1 eM e,I -I dt Mt(dM-di)+M2(ei+l e,)则 b,加式4+-4,)+M、(%|-)，则4 +仿 +4 +T殁 帕2(4,-4)+M(4 -q)%(|4,|+i 4 I)+必(I e,|-1 q I)?M2-2Mt+Mc 2M=4MM所以存在r.4MM2即可，则数列 力 为有界变差数歹u.