2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷 （解析版）.pdf

2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷一、填 空 题（共12小题）.1 .经 过 点（2,4）的抛物线），=以2焦点坐标是.2.把一个表面积为1 61T平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是 厘米.3.己知（i是虚数单位）是方程N -以+1=。Q e R）的一个根，则l z-l=_.1+14 .已知各项为正的等差数列 的前八项和为S“若。5+7-。6 2=0,则Su=.5 .已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为万元.家庭年收入（万元）4,5)5,6)6,7)7,8)8,9)9,10)频率/0.20.20.20.260.070.076 .某参考辅导书上有这样的一个题：A B C中，tan A与tan B是方程/-3x -1=0的两个根，则tan C的 值 为（）.你 对 这 个 题 目 的 评 价 是 （用简短语句回答）.7 .用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0）,从所有码中任选一码，则事件A =码中至少有两个1）的概率是,8 .设S,为正数列 斯 的前 项和，Sm=qSn+S,q ,对任意的“21,w N均 有 的+*4%,则q的取值为.9 .函数y=3 +J 在（0,+8）内单调递增，则实数”的取值范围是3X+11 0 .假 如（x-2）”的二项展开式中项的系数是-8 4,则（尤-）二项展开式中系数最X X小的项是1 1 .函数/（x）=c os空x,x e z 的值域由6个实数组成，则非零整数的值是1 2.如图，已知P是半径为2,圆心角为一丁的一段圆弧窟上的一点，若 标=2 前，则 元 五的值域是_.二、选 择 题（每小题5 分）.1 3.如图，P A _L 面 A B C。，4 B C D 为矩形，连接A C、B D、PB、P C、P D,下面各组向量中,数量积不一定为零的是（）A.玩 与 瓦B.P B-D A而 与 瓦D-P A 与C D1 4 .下列选项中，y可表示为x的函数是（）A.3-%2=0 xY一 叼JC.si n (arc si n x)=si n yD.lny=x11 5 .已 知 、X2 y i、yi都是非零实数，（即及+川”）2=（x i2+y i2）（X 22+J22）成立的充要条 件 是（）1 0 1x2 X1 0丫2 y11 0 1B.Yi X i 0 =o|o NX 1 0 -1C.Y1 X I 0 =0o x2 y21 6 .设点A的坐标为(a,b),0是坐标原点，向量水绕着0点顺时针旋转6后得到赢厂，贝 IJA 的坐标为()A.(co s 0 -/?s i n 6,s i n 0+f e co s 0)B.(t z co s 0+Z?s i n 0,Z?co s O-asinQ)C.(6 z s i n 0+/?co s O,t z co s 0 -Z?s i n 0)D.(Z?co s 0 -r z s i n G,f e s i n O+i/co s O)三、解答题(本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分)1 7 .已知M、N 是正四棱柱A B C D-A B G。】的棱8 C 、G O i 的中点，异 面 直 线 与 A8 所成角的大小为a r cco s 返.10(1)求证：M、N、B、。在同一平面上；(2)求二面角C-M N-G 的大小.冗1 8 .设函数/(x)=/g (1 -co s 2 x)+co s (A-+0),0 G O,).(1)讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由；(2)设。0,解关于x的不等式f (?x)-”*7)0)在第一象限的交点为4曲线1 a 4 9 a2 2 2 2是。是2 2=1 和2/=1(X X 4)组成的封闭图形，曲线。与 X1 a 4 9 a轴的左交点为M、右交点为N.2 2 2 2(1)设曲线之一 匕=1与 曲 线 至 _ 区 =1 (a 0)具有相同的一个焦点F,求线段A F1 a 4 9 a的方程；(2)在(1)的条件下，曲线C 上存在多少个点S,使得N S=N F,请说明理由；(3)设过原点。的直线/与以。(t,0)(t 0)为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1 1 一1,切点为T,直线/与曲线C 在第一象限的两个交点为P、Q,当 二 七 二 5=0丁 2对任O P 0 Q意直线/恒成立，求 f 的值.an+k si nan，anan_!21.(1 8 分)设数列 斯 满足：a+i =,an+ian,设 ai=a,san+k coSan，an 0,当(0,),be(0,),a V h 时，判断数列。是否能成等差数列，请说明理由;设 =4,b=7,k=l,求证：对 一 切 的 心 1,HG N,均 有 参考答案一、填 空 题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.经 过 点（2,4）的抛物线丫=以2焦点坐标是（0,）_.解：；抛物线）二 6 2 经 过 点（2,4）,a=抛物线标准方程为炉=y,抛物线焦点坐标为（0,1）.故答案为：（0,42.把一个表面积为16n平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则 圆 锥 的 高 是 8厘米.解：一个表面积为16n平方厘米实心铁球的半径为七可得 16n=4nR2,解得 R=2,圆锥的底面半径为2,体积为：告 冗 X 2，=兀X 解得=8,3 3故答案为：8.3.已知z=L1（i 是虚数单位）是 方 程/-奴+1=0（AGR）的一个根，则I?1+1a=1解:因为Z=1-i _(l-i)(l-i)_-2il+T-(l+i)(l-i)2则有 P+i+l=0,解得。=0,所以 I z-a 1=I z 1 =1-故答案为：1.4.已知各项为正的等差数列。的前几项和为S，若5+/-4 6 2=0,则 S1尸 22.解：由。5+7-62=0 可得：2a6-Q62=0,V H n 0,:.（26=2,11（a 1 +a 1）.Su=-!-116=22,2故答案为：22.5.已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为6.5 1 万元.家庭年收入 4,5）5,6）6,7）7,8）8,9）9,10）（万元）频率7 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：0.2 X 4.5+0.2 X 5.5+0.2 X 6.5+0.26 X 7.5+0.07 X 8.5+0.07 X 9.5=6.51 （万元）.故答案为：6.51.6.某参考辅导书上有这样的一个题：ABC中，lanA与 tanB是方程N-3 x-1=0 的两个根，则 tanC的 值 为（）.你对这个题目的评价是 错题，C 为钝角，A,8 中也有一个为钝角，构 不 成 三 角 形.（用简短语句回答）.解：错题，C 为钝角，4 8 中也有一个为钝角，构不成三角形.由韦达定理知,(tanA+tanB=3ItanA*tanB=-l.*.tanC=tann-CA+B)=-tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB1-(3-1)界。,A C 为钝角,VtanAtanB=-l l,对任意的2 1,eN 均有S“+i则q的 取 值 为 2.解：Sn+l=qSn+S9.Sn=qSn-l+S(几 2 2),c,an+l _ ,今、ctn+1 -qcin,-q(7 2),an把=1 代入 S+i=qS”+Si 得，S2qa+aa+a2,：.aiqa,满足上式，斯 是首相为s,公比为g 的等比数列，：S+iW4a“，；.Z I Vai0,q l,1-q-4/+4/一仁1,(q-2)21,f+8 时，；.(q-2)2W0,q又,：(q-T)2()，(g-2)2=0,即 g=2,故答案为：2.9.函数y=3+J 在(0,+8)内单调递增，则实数”的取值范围是(-8,4|.3X+1a解：,.y=3+,(x 0),3X+13xln3 =-9*1(3*+l)2-a,(3X+1).函数在(0,+8)内单调递增，(3+1)2-。0 即。.(3(+1)2在(0,4-00)恒成立，而了=(3V+1)2 4,故 W4,故答案为：(-8,4.10.假 如(X-工)”的二项展开式中R项的系数是-8 4,则(X-工)二项展开式中系数最X X小的项是_ _-12a.X解：(X-!)的二项展开式的通项公式为TrM=C：(-I)？多,令 -2r=3,Xn求得屋=2r+3,可得展开式中R项的系数是C*(T)=-8 4,故 r=3,=9.则(工-工)二项展开式中第什1项的系数为(-1)故当r=5 时:系数最小，故(X-工)二项展开式中系数最小的项为第六项76=-CQ-X1=-,xyX故答案为：-3.X11.函数/(*)=c o s x,x e z 的值域由6 个实数组成，则非零整数，7的值是 1 0 或n 1 1.2兀解：根据题意，f(x)=cos-x9其周期T=2兀 =1川，n E又由x e z,则周期 0,|川 上，x 可取的值为0,1,2,，|n|-1,若函数f(x)=cos2rL X,x e z 的值域由6 个实数组成，n而其中f(l)=/(|n|-1),/(2)=/(|n|-2),若为偶数，除/(0)和/(粤)之 外，有 4 个函数值，必有=10,若为奇数，除/(0),有 5 个不同的函数值，必有=11,故答案为：1 0 或土1112.如图，已知尸是半径为2,圆心角为的一段圆弧篇上的一点，若 族=2前，则 元 五O的 值 域 是 5-2、小，5-百 为 解：以圆心为原点，平行A 8 的直线为x 轴，AB的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(T,),C(2,),设 P (2 co s 6,2 s in 0),0-3 3则 氏 诬=(2 -2 co s 0,遥-2 s in 0)(-1-2 co s 0,5/3 -2 s in 0)=5 -2 /Y s in (0+a),且 O V t a n a=V ,.*.0 a 为矩形，连接 A C、B D、PB、P C、P D,下面各组向量中,数量积不一定为零的是（）DA.五 与 而 B.丽 与 市 C,而 与 标 D,而 与 无解：对于4,直线P C与 8。不一定垂直，故向量同与而不一定垂直，所以数量积不一定为零，故选项4符合;对于8，根据题意，P A L 面 A 8 C Q,力 Qu 平面4 8 C Q,则又 A _L A B,A B C P B=P,则 4 _L 平面 PA B,P Bu平面 P A B,所以 A O_L PB,即应与五一定垂直，所以数量积一定为零，故选项8不符合；对于C,因为PA _L 面 4 8 C ）,4 B u 平面A BC。，所以尸4 _L 4 B,又 A B_L PC,P D Q P A=P,所以 A B _L 平面 PA。，又 P C u 平面P A D,所以P）_L A B,即向量而与就一定垂直,所以数量积一定为零，故选项C不符合；对于。，因为PA _L 面 A BC。，C u平面A BC。，所以PA _L C ),即向量而与可一定垂直，所以数量积一定为零，故选项。不符合;故选：A.1 4 .下列选项中，y可表示为x的函数是()A.3 -/=0 B.尸 痔C.si n(ar csi nx)=si ny D.lny=x2解：对于A：令x=0,没有y的值与之对应，故4错误，对 于&令x=4,y可以取 2,故8错误，兀对于 于 si n(ar csi nx)=x=si ny,令 x=L 则 y=2E+1-,故 C 错误,对于。y=e X、是一一对应的关系，符合函数的定义，故力正确，故选：D.1 5 .已知第、及、y i yi都是非零实数，(无a+y i”)2=(X I2+J I2)(出+浮)成立的充要解：汨、及、y i、”都是非零实数，(x i w+y i”)2=(x i2+y i2)(%22+y 22),化为：即”=X2y.对于 C 左边=1 X x i X”+(-1)X y X i 2=x i y 2 -1 2=0,因此。0工1”=1 2 y l.经过验证只有A 3。不满足充要条件.故选：C,1 6 .设 点A的坐标为(，b),。是坐标原点，向量水绕着。点顺时针旋转e 后得到丁尸,则 A的坐 标 为()A.(aco s0 -Z?si nO,dsi nO+/?co s0)B.(co sO+加i n。，bco s。-Q si n。)C.(tz si n0+/?co sO,Q co s6-/?si n8)D.(6 co s8 -asi n。,/?si n6+tz co s0)解：根据题意，设I示 1=，向量豕与X轴正方向的夹角为a,又由点A的坐标 为(a,b),则 a=r co sa,hrsina,向量示绕着。点顺时针旋转。后 得 到 市 L，贝 D A (r co s(a-0),r si n(a-0).而 r co s(a-0)=/i co saco s0+si nasi n9=co s0+&si n0,r si n(a-0)=r si naco s0 -r co sasi n0=tco s0 -asi n0,故 A的坐 标 为(aco sO+fesi nO,bcosd-asi n0),故选：B.三、解答题(本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分)1 7 .已知M、N是正四棱柱A B C D-4 B i G。的棱Bi C i、CIOI的中点，异面直线MN与 A Bi所成角的大小为ar cco sH.10(1)求证：M、N、B、。在同一平面上；(2)求二面角C-MN-G 的大小.【解答】(1)证明：连结BO,BiDi,因为例，N分别为BICI,C i d 的中点，所以 MN/BD,又在正四棱柱 A BC。-中，BBi DDi,且 BBi=DDi,所以四边形8 。山|为平行四边形，故所以 MN/BD,故 M、N、B、。在同一平面上；(2)解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正四棱柱A 8 C -4 8 i GOi 的底面边长为2,高为“(a 0),则 M(2,1,a),N (1,2,a),A (0,0,0),Bi(2,0,a),所以诵=(-l,1,0),画=(2,0,a),因为异面直线MN与ABi所成角的大小为ar cco s、苗，,j IMNAB7|2 J10所以|cos.则有 m,-x+y=0,n*NC=x-4z=0令 z=l,则 x=y=4,故 1=(4,4,1)，平面GMN的一个法向量为=(0,0,1)，所 以 卜 石,卜疑由图可知，二面角C-M N-G的平面角为锐角,所以二面角C-M N-G的大小为arccos返 1 8.设函数/(冗)=lg(1 -co s2 x)+co s(x+0),0 GO,.(1)讨论函数y=/G)的奇偶性，并说明理由；(2)设。0,解关于x的不等式f(2+x)0.4 4解：(l)/(x)=lg(1 -c o s 2 x)4-c o s (x+0)=lg(2 s i n2x)+c o s (x+0),由 s i n x W O 可得xWE(AwZ),关于原点对称，因为/(-x)=lg(2sin2x)+cos(-x+0)，当 8=0 时，f (x)=lg(2sin2x)+cosx,/(-x)=lg(2sin2x)+cos(-x)=lg(2sin2x)+cosx=/(x),所以函数y=/(x)是偶函数；T T当 0E(0,时，f (x)=/g(2sin2x)+cos(x+0),/(-x)=lg(2sin2x)+cos(-x+0),-/(-x)=-/g(2sin2x)-cos(-x+Q),所以/(-x)f(x)WO,函数y=/(x)是非奇非偶函数.1111 1 1 1 1(2)因为/(-i-x)=Zg2+/sin2(x+-)+cos(x+-+8)=/g(l+sin2%)+cos(x+-+8),4 4 4 4=/gl-cos(3兀-2x)+xos(3兀 _ 乂+g)=lg(l+sin2x)+cos(3兀 _4 2 4 4x+0),K 2 IT因为/(-(-x)V。，4 4兀371所以/g(l+sin2x)+cos(x+-+0)lg(l+sin2x)+cos(-x+0),4 4兀 2TT即 C O S(%+-+0)COS(-X+0)，4 4T T整理得 cosOcos(-+x)0,4T T所以 cos(-+x)VO,4jr jr QTT所以+2k 兀 V-+x +2Zni,kwZ,2 4 2解得?+2 k兀 x 4+2 k兀，4 4故不等式的解集x|4+2k兀 x /+2 k兀，依Z.4 41 9.假设在一个以米为单位的空间直角坐标系。-xyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台4,A 的位置为(170,200,0),上 午 10时 07 分测得飞行机器人T在 P(150,80,120)处，并对飞行机器人T 发出指令：以速度也=1 3 米/秒沿单位向量吊=(磊，-得)作匀速直线飞行(飞行中无障得物)，10秒后到达。点，再X O X O X O发出指令让机器人在点原地盘旋2 秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8 米/秒，然后保持8米/秒，再 沿 单 位 向 量 旬=(，=反，作匀速直线飞行(飞行中无障碍2 2 2 2物)，当飞行机器人T最终落在平面x O y内发出指令让它停止运动，机器人7近似看成一个点.(1)求从尸点开始出发2 0秒后飞行机器人T的位置；(2)求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离(精确到米).解：(1)由已知可得机器人T在1 0秒后到达。点，则。点的坐标为(1 5 0,8 0,1 2 0)+1 3 X 1 Q X (冬，圣，)=(1 8 0,2 0 0,8 0),X O X O在。点原地盘旋2秒再移动8秒后到达的位置为：(1 8 0,2 0 0,8 0)+8 X 8 X(/,卷)=0)在第一象限的交点为A,曲线1 a 49 a2 2 2 2是C是2二 工 =1 (IWXWXA)和工(XXA)组成的封闭图形，曲线C与x1 a 49 a轴的左交点为M、右交点为M2(1)设曲线112 2 2?一=1与 曲 线&一 工=1(0)具有相同的一个焦点广，求线段A尸a 49 a的方程；(2)在(1)的条件下，曲线C上存在多少个点S,使得N S=N F,请说明理由；(3)设过原点。的直线/与以。G,0)(Z 0)为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1 11,切点为7,直线/与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q,当 二7七二万=0丁对任O P 0 Q意直线/恒成立，求,的值.2 2 2 2解：(1)若曲线2匕=1与曲线区=11 a 4 9 a则 1+4=4 9-a9 解得 6 7=2 4,所 以 双 曲 线 的 方 程 为 椭 圆 的 方 程 为22 4(2乂2-J联立|2 t,解得x=1,y=土 空，x2 y ,5 5EK因为A在第一象限，所以A的坐标为(卷，管)，管-0当F(5,0)时，直线A F的方程为y-0=-5(5-524当F (-5,0)时，直线A F的方程为y-0=-1 9+1).5(2)在(1)的条件下，N(7,0),当 尸(-5,0)时，NF=12,椭 圆C中不存在S点，不符合题意，(0)具有相同的一个焦点F,2 2=1.L9 24x-5),即 y=-x+-(工W x W 5),3 3 5 3 1 5(x+5),即 y=-x+-(-5 W xW5 4 4当 F(5,0)时，NF=2=NS,所以S是以N为原点，半径为2 的圆，即(x-7)2+y 2=4,(x-7)2+y2=4联立4 2 2,得 25 N-6 8 6 x+3 3 8 1=0,-x-4-,-y-1,49 24=(-6 8 6)2-4 X25 X3 3 8 1。，所以方程组有两组解,所以存在两个S点，使得NS=NF.(3)设圆。(X-f)2+y 2=内,直线/的方程为)，=丘,y=kx联立422 y _ _ 1一 2 4T得 2=2424-k 2因为|0|=f,k=tanZTOD,cosZ T O D=后所以|O7 1=|OD H cos/rO =后所以而2=xp2+y p2=(1+N)xp2=(l+N)而2=X Q2+),Q2=(+N)XQ2=(1+N)i2424-k2,1P套E所以:1 124-k 21 k2+2 =r i 49 24=讲=於.OP 0Q 24(/+1),2Tk-111+k2,所 以1 -+士+%=凡24 49 24所以户=黑,49解得t=.7 an+ksinan，anan_!21.(1 8 分)设数列 如 满足：=设i=，az-n+kcosa n，=b.(1 )设 b=k=-R,若数列的前四项。1、。2、。3、4 满足 S3=4 23,求 ；6J T T T(2)己知心 0,24,吒 N,当 Q C (0,),he(0,),。人时，判断数列 ”是否能成等差数列，请说明理由；(3)设。=4,b=7,k=1,求证：对一切的21,均有 解：(1)若 a 学即 a bf 即 a a29 所以。3=2+依ins,r/口 5 兀 兀 T T可得 7-=器，同理可得，无解.6(2)若 为等差数列，因为2=人 1=。，所以。+-2=2 一 斯 递增,d=q =ksina-i 0,因为攵0,所 以 如(0,n),又因为 如 递增，所以小一1 一定会出现大于m 且不满足d 0,所以矛盾,所以数列 不能成等差数列；7 K(3)证明：n=1 时，a =a=4 -；2假设=k 时，a*akak_1则“二”+1 时，以+尸ak+c o s ak ak ak-l次在第一、二象限时，s i g V I V，；成立；队在第三、四象限时，siiwVO,四+1 二二成立;2四在第一、四象限时，cos以 V I V 工gL 成立；7H或在第二、三象限时，cos或 0,所以或+1V成立;7所以对一切的 2 1，W N,均有小V 4i.2