2021年全国高考数学演练试卷（文科）（一）附答案解析.pdf

2021年全国高考数学演练试卷（文科）（一）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1 .设i为虚数单位，则复数z =22-1在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合/=0,1,2,3,4,5,8=卜|工2一7%+1 0 0,则4。8的子集可以是（）A.3,4,5 B.4,5 C.3,5 D.43.魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他 在 仇 章 算术注J）方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数出:中的“”代表无限次重复，设 =岛，则可利用方程x =求得X,类似地可得正数J 5J 5后二:等于（）A.3 B.5 C.7 D.94.设无穷等比数列an的前n项和为无，若一的 。2 06.若变量x,y满足约束条件久+y -4=0 ,且z =4x +8y的最大值为（）,x 3y +3 0,对任意r e R,有 I f（切 4 M I4则称/（x为F函数,给出下列函数：，（力=/；/M =sinx+cosr：/（力”.”；/是 定义在R上的奇函数,且满足对-切实数4卫 均 有|/（看）-/（功9 1%-再 I-其中是尸函数的序号为A.B.C.D.8.在AAB C中，已知t a n&=s i n C,给出以下四个论断：(l)tanAcotB 1；(2)1 sinA+sinB 顾 D.8 电 0誓 当11.若双曲线C：m x2+y2=1的离心率为2k(k 0),其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，则m 的值为()A.-pC.一 312.已知数列 an 的前n项和为Sn,满足2Sn=4an+m,且数列 nan 的前6项和等于3 2 1,则ni的值等于()A.-1B.-2二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.如图，正三角形力BC边长为2,。是线段BC上一点，过C点作直线4。的垂线，交线段4。的延长线于点E,则|/1D|DE|的 最 大 值 为.14.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-I)2+(y-a)2=?相交于A,B两点，且 ABC为正三角形，则实数a 的值是.15.已知侧棱长为8的正三棱锥S-4 B C 如图所示，其侧面是顶角为20。的等腰/三角形，一只蚂蚁从点4 出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点4则/蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 程 为.入1 6.给出以下四个命题:“若a/bm2,则a K)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 9 1 0.8 2 81 9 .如图，四棱柱力B C D-a B i G D i 中，侧棱4 遇 L)A BC D,A B/DC,A B LA D,A D=C D=1,A A =A B=2,E 为 棱 的 中 点(I)证明：B C _L平面CGE；(I I)求二面角E -BC -Q的正弦值.2 0 .已知函数/(x)=ax-I nx.(I )讨论/Q)的单调性；(H)若a 6 (-8,*,求证：/(x)2ax-xea x-1.2 1 .设椭圆C：接+=1960)的两个焦点为&,尸2,点8 i 为其短轴的一个端点，满足|瓦瓦+瓦 玲=2|瓦可|+|瓦西|=2,瓦冗瓦瓦=-2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M(l,0)作两条互相垂直的直线%,12,设%与椭圆交于点4,B,与椭圆交于C,D,求 前 西的最小值.2 2 .在平面直角坐标系x O y中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线2的极坐标方程为0 =g(p e R),曲线C的参数方程为优二:鬻(。为参数).q s i n c 7(1)写出直线2与曲线C的直角坐标方程；(2)过点M平行于直线I的直线与曲线C交于4、B两点，若|M*“M B|=3,求点M轨迹的直角坐标方程.23./(%)-I nx-a x有最大值，且最大值大于0.(I)求a的取值范围；(口)当a =1时，f(x)有两个零点 1、x2(xi x2)证明 30.(参考数据：仇0.9一0.1)参考答案及解析1 .答案：B解析：解：复数z =2 i-l 在复平面上对应的点(-1,2)在第二象限，故 选:B.利用复数的几何意义即可得出.本题考查了复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.答案：D解析：解：由小-7 刀+10 0,得2 X5,:,B=xx2 7 x +1 0 0 =x2 x 5,又 4=0,1,234,5,A C B=3,4,则力C l B 的子集可以是 4.故选：D.求解一元二次不等式化简集合B,然后利用交集运算求得A C B,则答案可求.本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题.3.答案：B解析：解：设=X,则 =悔 ，解得：=5或0(舍去).故选：B.设1 5 而 沅 W=x可解决此题本题考查方程思想，考查数学运算能力，属于基础题.4.答案：D解析：解：由一 0,所以q=?一1，所以一 1 q 1,因为S”=专 罗，当0 q l时，S n 递增，当一l q 0时，S n 递减，48错误；当0 q l时，S 最小项S i，没有最大项，当-l q 0,a2 0,C I4 0且 。，Sn 最小项 S 2,没有最大项，C 错误，D 正确.故选：D.由已知分析等比数列的公比范围，然后结合求和公式分析 S 的单调性，结合选项可求.本题主要考查了等比数列的单调性的判断，通项公式及求和公式，属于中档题.5.答案：B解析：本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.通过sin2a Wcos2a=1,化为sin(2a 与)=；,可得2a g=2卜 +?或2/OT+兀 一 k e Z.即可3 2 S o o判断出.解:sin2a p3cos2a=1 化为sin(2a g)=g,2a-?=2kn+/或2/C T T 4-zr-7,k E Z.3 6 6当k=0时，可得a=?或得.sin2a-陋cos2a=1”是“a=会必要不充分条件，故选：B.6.答案：CX y+2 N 0解析：解：由约束条件x+y-4 0 作出可行域如图，,x 3y+3 4 0化目标函数z=4%+8y为y=2 o由图可知，当直线y=x+?过C时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4 x 1 +3 x 8 =28.Z O故选：C.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.7.答案：C解析：本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可.对于，|/(x)|m x,显然不成立，故其不是广函数；对于，/(x)=sinx+c o s x,由于x=0时，不成立，故不是F 函数；对于，/(X)=-y-.I 痴|=，都 有(x)|m|%|，x*+x+1 x+x+l 3 号故其是F函数；对于，/(%)是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数石,%2均有1/(%1)/(#2)1 4 2%为 21，令%1=X,无 2=0，由奇函数的性质知，/(0)=0,故有，(x)|2田.显然是F函数故选Co8.答案：B.A+B解析：解：(1)由tan W=s in C,得 扁=sin(A+B)=2s讥 Wcos2 COS2 2ui-f.A+B r.A+B 2 4+8即sin-=2sm-cos.2 2 2所以整理求得cos(4+B)=0 4+8=90.tanA-cotB=tanA-不一定等于 1,所以(1)不正确.(2)sinA 4-sinB=sinA+cosA=痘 sin(4+45)V 45 4+45 135,y sin(A+450)1,.1 sinA+sinB 0,海2兽考点：本题考查了函数的单调性点评：掌握常见基本函数的单调性是解决此类问题的关键11.答案：C解析：解：双曲线C：7n/+y 2 =1可化为y 2 一 卫=1,m：Q =1,b=/C =1 97 7 n 7 m ,双曲线C：皿/+、2 =1的离心率为2似4 0),其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率,故选：C.y.2双曲线C:g2+y 2 =1 可化为y 2 一 卫=1,利用双曲线c：+y 2 =1 的离心率为2 k(k 0),m其中k 为双曲线C 的一条渐近线的斜率，建立方程，即可求出m的值.本题给出一个含有字母参数的双曲线的标准方程，在已知其离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题.1 2.答案：B解析：解：依题意得：当n=l时，有2 s i=4%+小，解得：的=-最当n 2 时，由 2 5 在=4 an+z n n 2 S _ i =4 斯-1 +小，两式相减可得：2 0n=4an-4 0n_ i，即：an=2 an_1；故a”=%2n-1=-m -2n-2,nan=m n -2n2,故数列也斯 的前6 项和为一：(1 X 2 1+2 x 2 2 +3 x 2 3 +6 x 26).令X =1 x 2】+2 x 2 2 +3 x 2 3 +6 x 26.则2 X =1 x 22+2 x 23+-+6 x 27,由 -可得：-X =2 1+2 2 +2 3 +2 6 -6 X 2 7=-6 x 27=-5 x 27-2,则 X =6 4 2,3 2 1 =-X 6 4 2 =,4 2解得：m =-2.故选：B.先由题设条件得到：即=2M-再由的=-三求得an，进而求得几品，再由其前6 项和等于3 2 1 求得m的值.本题主要考查数列的通项公式的求法及前n 项和的求法，属于基础题.13.答案：；4解析：解：因为A a B C 是正三角形，所 以 正 前=2 x 2c o s 6 0。=2,又因为4 0 ICE,所 以 而 谓=0,不 妨 设 前=2 B C(O A 1),则 配=(1-2)f i t =(1-4)(而-AB)，所 以 方 屁=近(反+方)=而 比 +而 3=而 比,又 因 为 近=A B+B D=A B+A B C =A B+A(A C -A B)=-A)A B+A A C 所 以 而 屁=(1-A B+A A C -(1-2)4C-(1-2)45=(1-AY AB-AC-(1-A)2 AB2+2A(1-A)4C-A l-A)AC-AB=-4A2+6A-2=-4(A-|)2+J(0 A 1),所以当A=:时，|4 D|E|取最大值.故答案为：4设 前=4 近(0 4 1)，用4 以及题目中特殊向量荏前:=2,赤 荏=0 来 表 示 同 诟，再求最值.本题考查向量在几何图形中的应用，应用加法，减法，共线向量去表示，属于中档题.14.答案：0解析：解：直线ax+y-2=0与圆心为C的 圆-+(y-a/=竽相交于4,B两点，且A4BC为正三角形，圆心C(l,a),半径r=后=殍,圆心到直线a x +y 2=0的距离d =卑 =/恪2 _(吗2,Va+1 k 3 7解得Q=0.故答案为：0.推导出圆心C(l,a),半径r=后=号,圆心到直线ax+y-2 =0的距离/=器 善=(?)2一(誓)2,由此能求出a的值.本题考查实数值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.15.答案：83解析：此题考查了多面体侧面展开的问题，属基础题.需把三棱锥侧面展开，因为爬行两周，故需展开两次成并列的六个三角形，利用两点之间线段最短得解.解：需要把三棱锥侧面展开两次，形成共顶点的六个等腰三角形，如图：线段44,的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，由己知可知SA=S4=8,/.ASA=120,求得44=!AS2+AS2-2SA-SAcosASA=873.故答案为8V5.16.答案：解析：本题考查四种命题的关系与真假判定.对各个命题逐一判断，进而得出答案.解：“若。病 b m2,则a b 的逆命题为：“若a b,则am2 2.706,7 16X9X11X14由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关；(2)(12)记题设事件为4则所求概率为PQ4)=普/生=刍C16 16(ii)根据题意，X服从超几何分布，P(X=fc)=P，k=0,1,2,3,C9X的分布列为X 的期望 E(X)=0 x 5+l x H +2 x V +3 x 2=l.X0123P521152K3U84解析：由 题 设 知 片=嘲 鬻 詈=2.932 2.7 0 6,由此得到结果;(2)(i)记题设事件为4,利用组合数公式得P(A)=忠 空 生，由此能求出事件男士和女士各至少有1 人发言”的概率；5)根据题意，X 服从超几何分布，P(X=k)=零+,k=0,1,2,3.由此能求出X的分布列和期C9望.考查独立性检验、互斥事件的概率、超几何分布、分布列、期望，以及分析解决实际问题的能力.1 9.答案：(1)证明：因 为 侧 棱 1 底面4 B C D,48 u平面4 B C D,ADu平面4 B C D,所以4 遇_ 1.4 8,A iA lA D,A B 1AD,所以A C,A Ar,A B 两两互相垂直，以4 为坐标原点建立空间直角坐标系，B i(0,2,2),6(1,2,1),C(l,0,l),E(0,l,0),(0,0,2),BC=(1,0,-1).C E=(-1,1,-1).B CCE =lx(-1)+0 x 1 +(-1)x (-1)=0.所 以 阮 1而，所 以 就 _ LC E,又C C)I A、A,所以C C i J 底 面 4 B C D,则B C l C C i，C E C C C、=C,C E,C C；u 平面。加/，所以B C 1 平面C G E,(2)解：函=(-1,2,1),肩=(0,2,0),设平面C E B 1 的一个法向量为沅=(X i，y i，z i),设平面C G i 的一个法向量为五=(x2(y 2.z2)所以 沆,C E =0(-X i +y i -Z j =0 xi =V明 以(沆 西=0(-X 1 +2 乃+句=0=L =-岑令%=2,则%1 =3,Z i =-1,所以沆=(3,2,-1)，伊.国=0=(2y2=0=仔=01沅 鬲=0 1-2 +2y2+z2=0 lz2=x2,令小=1，则Z 2 =1，所以元=(1,0,1),所以c os你 =襦=+/+%：)2 g+1 2 =当所以si n(沅 =W，所以二面角E -B.C-G的正弦值为手.解析：(1)建系，证 明 而1 C E，同时利用C G J L底面A B C D,得到B C 1 C C ,最后根据线面垂直的判定定理可得结果.(2)分别得到平面C E B 1、平面C C】B i的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.本题主要考查线面垂直的证明，二面角的余弦值的求解，空间向量的应用等知识，属于中等题.2 0.答案：解：(I)因为/(x)=a x mx,=a -x 0,a R,若a 0,则(x)0恒成立，所以，此时f(x)的单调递减区间为(0,+8);若a0,则令/(x)=乎 0时，解得出 ，尸(x)0时，解得0 x /。)的单调递减区间为(0,今，单调递增区间为弓,+8);综上：当a 0时，/(x)在(0,上单调递减，在6,+8)上单调递增.(I I)证明：令g(%)=/(%)2ax+xeaxr=xeaxr ax Lnx,%0,则 g(x)=eaxr+a x ea x _ 1 a =(a x +l)(eax1 4，由于ea x-l 一 三=空 二2,X X设r(%)=xeax1 1,rz(x)=(1 4-a x)ea x-1,由a G (8,令 0 =1 +ax 0=%V ,所以r(x)在(0,-上单调递增；由 r(X)0=l +a x x 一，所以 r(x)在(一，+8)上单调递减.1 1 ,a w/，T(X)max(.ea x-l _ l x则g(x)在(0,-上单调递减；在(一?,+8)上单调递增，gM min=9(一,设t=一：(o,e2,g(-)=h(t)=-l n t +l(0 t e2),h(t)=/i(e2)=0；-5(%)0,故/(x)2ax xea xr.解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论，属于难题.(I)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间；(H)先移项构造函数g(x)=/(x)-2ax+xea xr=xea xx-ax-In x,通过研究g(x)的单调性，即问题转化为求证g(x)的最大值大于等于0即可.21.答案：解:(1)不妨设Fi(-c,0),F2(C,0),BK0,b),则 I 瓦瓦+瓦 瓦 I=2b=2,b=1,则BF；-=c2+b2=2,则c=V3a2=b2+c2=4,.椭圆C的方程式+y2=i；(2)当直线h 与*轴重合时,则4(2,0),B(2,0),C(1号，D(l.-y).则 尼 丽=3 x l x 也 x 立=兰，2 2 4当直线直线，1不与轴重合时，设直线=/ny+l,AQi，%)，8(%2，丫 2)，(x=my 4-1 m S 3 o o(x2+=4 整理得：(m2+4)y2+2m y-3 =0,.乃.+力=一2诉m，月 内3二(?n2+l2),AC DB=(MC-MD)=-M C-M D-M A-MB 0=或 m 0,/(%)0,此时函数y =f(%)在(0,+8)上为增函数，函数y =/(%)无最大值；当a 0时，令/(x)=0,得x=：,当0%0,此时函数y =f(x)单调递增;当时，f(x)0,解得0 a ,综上所述，实数a的取值范围是(0,；(H)证明：当a=J时，/(x)=I nx-x,定义域为(0,+8),(乃=工一；=子，由(I)可知，函数y =/(%)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+8),由于函数y =/(%)有两个零点%1、%2(xi%2)，贝数%i 3%2 f。2)-f Q)=f g -/碟)=(Zn X i _ 打)_(嗒 _ 今=3 2 n x i-打+常 仇3 0,构造函数g(x)=3lnx-1 +-Zn 3 0(0 x 九(3)=6 0,则g Q)0.所以，函数y =g(x)在区间(0,3)上单调递减，0%!g(3)=31 n3-1 +T-ln30 =ln0.9+1 0,即 f G)-4 X 4=g(X1)0,即 f 3)人 v 0%!=Y 3 且不 3,而函数y =/(x)在(3,+8)上为减函数，30所以，%2M 因此，xlx2。两种情况讨论，分析函数y =f。)的单调性，求出函数y =f(x)的最大值，即可得出关于实数a的不等式，进而可求得实数a的取值范围；(口)利用导数分析出函数y =f(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+8),可得出0/3X2,/(X2)-/(g)=&)一/(|)=。跖-茨-(畤-第=3%尹 十 仇 3 0,构造函数g(x)=3 bix -：+矍-m 3 0(0 x 0,进而得出/(不)/(第，再由函数y =f(x)在(3,+8)上的单调性得证.本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.