2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）-解析版.pdf

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知全集t/=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2,N=3,4 ,则Cu（MUN）=（）A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,42.（5 分）设 iz=4+3 i,则 z=（）A.-3-4/B.-3+4i C.3-4/D.3+4;3.（5 分）已知命题p：3AGR,siruC l；命题q：VxCR,则下列命题中为真命题的是（）A.p/q B.p tq C.p A-g D.,（pV q）x X4.（5 分）函数/（x）=sin+cosm 的最小正周期和最大值分别是（）A.3n 和鱼 B.3n 和 2 C.6n 和夜 D.6T C 和 29.（5 分）设函数/（x）=缶，则下列函数中为奇函数的是（）x 4-y 4,5.（5 分）若 x,y 满足约束条件,x-y 2,则 z=31+y的最小值为（）A.18 B.10,2 冗 257r6.（5 分）cos cos =（12 121V3A.-B.一2 317.（5 分）在 区 间（0,一）随机用2ly 3,C.6 D.4）y2 V3C.D.2 211 1个数，则取到的数小于&的概率为（）3 2 11A一 B一 C.-D.4 3 3 68.（5 分）下列函数中最小值为4 的 是（）4A.y-x+2x+4 B.厂 k问+归 位C.y 2x+22x D.y=x+焉A./（x-1）-1 B./（x-1）+1C.f （x+1）-1D.f （x+1）+110.（5 分）在正方体ABC。-AIBICIOI中，P 为 的 中 点，则直线P 8 与 ACM所成的角为（)x21 1.（5分）设 8是椭圆C：三+2=1 的上顶点，点。在。上，则|P 8|的最大值为（）5LLA.-B.V6 C.V5 D.221 2.（5分）设 a#0,若 x=a为函数/（x）a（x -a）2（x-b）的极大值点，贝!I（）A.a b C.aba2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20分。1 3.（5分）已知向量热=（2,5）,b=（A,4）,若热1，贝 i j 入=.x2 y2 _1 4.（5分）双曲线一-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为_.4 51 5.（5分）记aABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为次，B=6 0 ,a2+c2 3ac,则 b.1 6.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一图 图 图图 图三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.8 1 0.3 1 0.0 1 0.2 9.99.81 0.0 1 0.1 1 0.2 9.7新设备 1 0.1 1 0.4 1 0.1 1 0.0 1 0.1 1 0.3 1 0.6 1 0.5 1 0.4 1 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和歹，样本方差分别记为5 I2和 S 2 2.(1)求元，y,si2,5 22：(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-x2则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如 图，四棱锥P-A B C。的底面是矩形，底面A B C。，M 为 BC 的中点，且 PB A.A M.(1)证明：平 面 以 平 面 P B。；(2)若 PD=QC=1,求四棱锥P-A B C。的体积.1 9.(1 2 分)设 如 是首项为1的等比数列，数列 加 满 足 设 尸 等,已 知 m,3 a 2,9a 3 成等差数列.(1)求 珈 和 凤 的通项公式；记 5”和分别为“和伯”的前项和.证明：T n 0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求 C的方程；(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满 足 切=9QF,求直线。斜率的最大值.2 1.(1 2 分)已知函数/(x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线)，=/(x)过坐标原点的切线与曲线)，=/(x)的公共点的坐标.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中，O C 的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出O C 的一个参数方程；(2)过 点 F(4,1)作。C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲(10分)23.己知函数/(x)=x-a|+|x+3|.(1)当 a=l 时、求不等式/(x)2 6 的解集；(2)若f(x)-a,求 a 的取值范围.2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .(5 分)已知全集。=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2 ,N=3,4 ,贝 i J C u (M U N)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4【解答】解：:全集 U=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2 ,N=3,4,A M U N=1,2,3,4,A C u (M U N)=5 .故选：A.2 .(5 分)设 i z=4+3 i,则 z=()A.-3-4i B.-3+4/C.3 -4z D.3+4i【解答】解：由 i z=4+3 i,得 2=警=6 驾 二 =-3 i 2-4i =3-4i.故选：C.3 .(5 分)已知命题p：3 x R,s i n _ r l：命题q：V.r G R,阴 1,则下列命题中为真命题的是()A.p/q B.p/q C.q D.-1(p Vq)【解答】解：对于命题p：3 x G R,s i n 4,x-y 2,则 z=3 x+y的 最 小 值 为(y 4,故选项B错误；对于 C,因为 2A0,所以 y=2x+22x=2x+2 卜？=4,当且仅当2，=2,即x=l 时取等号，所以函数的最小值为4,故选项C正确；1 14对于。，因为当工=一时，y=In-7 =1 4 =5 4,ee g所以函数的最小值不是4,故选项。错误.故选：C.9.（5分）设函数/G）=室，则下列函数中为奇函数的是（）A./（x-1）-1 B./（x-1）+1 C.f（x+1）-1 D.f（x+1）+1【解答】解：因为/（X）=岩=耳产=-1+系，所以函数/（x）的对称中心为（-1,-1）,所以将函数F（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=/（x-l）+1,该函数的对称中心为（0,0）,故函数y=/（x -1）+1 为奇函数.故选：B.10.（5分）在正方体A 8 C。中，P为 的 中 点，则直线P B 与 所 成 的 角为（）7 T 71 H 71A.-B.C.D.一2 3 4 6【解答】解：./P B C i 是直线P 2 与 A D1所成的角（或所成角的补角），设正方体A B C O-4 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,则 PB i=PCi=1 22+22=V2,B Ci=V22 4-22=2 e，B P=卜 +(V2)*c o s ZC i-*町2-P C _ 6+8-2 _ 0.c o s z r H C i-2XPBXBCI _ 2x 布 X2女一 22=V6,：.ZPBC=TT .直线P B与A D所成的角为 二.6故选：D.%211.（5分）设 8是椭圆C：g+y 2=l的上顶点，点尸在C上，则|尸 8|的最大值为（）5 L LA.-B.V6 C.V5 D.22【解答】解：8是椭圆C：+/=1 的上顶点，所以3（0,1）,点 P在 C上，设 P （小c o s。，s i n 0）,6 4 0,2i r）,所以|P 8|=J(遍c o s。-0)2+(sinG-l)2=74cos26-2s讥8 +2V 4 s i n26 2sin6 +6 J 4(sinx+)2+竽，当s i n O=-时，|P 8|取得最大值，最大值为|.故选：A.12.(5分)设a#0,若x=为函数/(x)=a(x-a)2 Cx-b)的极大值点，则()A.ah C.abcP【解答】解：令/(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及犬=匕是/(x)的两个零点，当a 0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则 0 a 6；当a V O时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/(x)的大致图象如下图所示，贝I baa2.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13.（5分）已知向量之=（2,5）,b=(A,T T 84),右ab,贝！入=-【解答】解:因为曰=（2,5）,b=(人,4),a/b,所以8-5 入=0,解得人=当故答案为：14.（5分）双曲线1 -y =1 的右焦点到直线x+2y-8=0 的距离为_遍_.X2 V2【解答】解：双曲线7r-=1 的右焦点（3,0）,4 5所以右焦点到直线x+2y-8=0 的距离为d=3+-8|=V5.J l2+22故答案为：V5.15.（5分）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为遮，8=6 0,a2+c2=3 砒，则b=2位 .【解答】解：.,A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为6，B=6 0,a+c=3ac,1 7-l J I r-7 0.acsinB=y/3=-acx-5-=V3=a c=4=a +c =12,2 2 2一 a2+c2_b2 I 12-b2 L 又 c o s B=-=-=b=22,（负值舍）2a c 2 8故答案为：2v L16.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 或 （写出符合要求的一组答案即可）.【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2 和 高 1,图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图，图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为.故答案为：或.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和歹，样本方差分别记为s j和 S 22.(1)求元，y,s2,S 22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-友警I 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).【解答】解：(1)由题中的数据可得，%=(9.8+1 0.3+1 0.0+1 0.2+9.9+9.8+1 0.0+1 0.1 +1 0.2+9.7 )=1 0,1y =x(1 0.1+1 0.4+1 0.1+1 0.0+1 0.1+1 0.3+1 0.6+1 0.5+1 0.4+1 0.5)=1 0.3,s/=芸 x (9.8 -1 0)2+(1 0.3 -1 0)2+(1 0-1 0)2+(1 0.2-1 0)2+(9.9-1 0)2+(9.8-1 0)2+(1 0-1 0)2+(1 0.1 -1 0)2+(1 0.2-1 0)2+(9.7 -1 0)2=0.0 3 6；S 22=X X (1 0.1 -1 0.3)2+(1 0.4-1 0.3)2+(1 0.1 -1 0.3)2+(1 0.0 -1 0.3)2+(1 0.1 -1 0.3)2+(1 0.3 -1 0.3)2+(1 0.6 -1 0.3)2+(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.4-1 0.3)2+(1 0.5-1 0.3)21=0.0 4；(2)y-x=1 0.3 -1 0 =0.3,SI2+S22 0.036+0.04-=-=0.0 0 7 6,1010因为(号 产=0.225 0.0 0 7 6,所以歹一元2寄I故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.1 8.（1 2分）如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，尸 ，底面A B C。，M为BC的中点,且 PB LA M.（1）证明：平面R 1 M J L平面P B Z）；（2）若尸 =Q C=1,求四棱锥P-ABC。的体积.【解答】（1）证明：尸。_1底面4 88,AMu平面A B C。，：.PDA M,又；P B _ L A M,P D C P B=P,PB,POu平面 P 8 O.平面 PB D.平面 PA M,平面期M _ L平面PB D-,（2）解：由 P D _ L底面 A B C。，：.P D即为四棱锥P-A B C D的高，AD P B是直角三角形；A 8 C 底面是矩形，P D=D C=1,M为2 c的中点，且P B L A M.设AO=8C=2 m 取CP的中点为F.作ERLC。交于E,连接 M F,A F,A E,可得 M FPB,EF/DP,那么 且 所=.A E=J/+4 a 2,A M=V a2+1,A F=/EF2+A E2.那么 A M F 是直角三角形，O P B 是直角三角形，.根据勾股定理：B P=2+4。2,则 知 尸=；由 A M F 是直角三角形，可得 AA/2+M F2=A F2,解得尸孝.底面A B C D的面积S=V 2,则四棱锥 P-A B CD 的体积 V=i-/i.S =|x l x V 2=y.1 9.（1 2分）设“”是首项为1的等比数列,数列 加 满足尻=等，己知m,3a 2,9 a 3成等差数列.（1）求 丽 和 瓦 的通项公式;记 S”和 7”分别为“和 b 的前项和.证明：Tn .【解答】解：（1）Va i,3a 2,9 a 3成等差数列，6a 2=a i+9 a 3,a”是首项为1 的等比数列，设其公比为q,则 6令=1+9/，：.q=i,方=等=&）%(2)证明：由(1)知 3妙T,尻=”(扔,lx l-G 力 3%一 工 -21 3一品(聂1，Tn=lx(i)1+2 x (1)2+-+n-(1)n,1 1 2 1,1 n+1-Tn=1 X(-)2+2 x(-)3+-+n-(-)n+1,-得,|?n=1 l-(|)n-n(1)n+1,F=一 式 扔,：=(犷 T.妙 _ *x (扔-0)的焦点尸到准线的距离为2.(1)求 C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点尸在C 上，点。满足属=9QF,求直线。斜率的最大值.【解答】(1)解：由题意知，p=2,.=4 x.(2)由(1)知，抛物线 C：y2=4x,F(1,0),设点。的坐标为C m,),则QF=(1 -m,-r i ),PQ=9QF=(9 9m,-9n)P 点坐标为(10m-9,10M),将点P 代 入 C 得 1002=40L 36,整理得m100n2+364025n2+910，n _ 10九 _ 10 工m=257+9=25n+l 于Q当n-百 时取最大值.1故答案为：21.(12 分)已知函数/(x)=/-/+1.(1)讨论/(x)的单调性;(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.【解答】解：(1)，(x)=3x2-2x+a,=4-12 m当(),即时，由于/(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时/(x)0,则f (x)在 R 上单调递增；当 (),即a v/时，令/(x)=0,解得=3a,冷=1孚 比，令，(x)0,解得 x Vi i 或 x x 2,令，(x)-a,求a的取值范围.-2.x 2,x 一34,-3 x 1V/(x)26,.仔 7 一 3 阈 一3 V X -a,则|a+3|-a,两边平方可得/+6+9。2,解得。一不即的取值范围是(,，+8).